高考立几的证明与错因分析

葛剑

摘 要： 高考对立体几何的考查题型基本稳定，常考一道填空题和一道解答题，且以容易题和中档题为主，在高考数学复习中比较容易轻视，认为学生已经掌握了基本知识与技能，具有较强的解题能力，只要再稍加练习就可以了。但其实很多学生在高考立体几何解答题的证明中失分是非常严重的，本文着重强调立体几何在高考数学复习中的重要性。

关键词： 高考 立体几何 证明 错因 复习策略

立体几何内容既承担着对逻辑思维能力的考查，又承载着对空间想象能力的考查。注重空间线线、线面、面面的平行与垂直关系的判定，淡化空间角和空间距离的考查。以平行或垂直的证明为主，简单的线段长、体积表面积计算为辅。考纲对立体几何的要求是：柱、锥、台、球及其简单组合体；柱、锥、台、球的表面积与体积；平面及其基本性质；直线与平面平行、垂直的判定及性质；两平面平行、垂直的判定及性质。下面以考纲为基准，谈谈立体几何的常见证明、错误原因及应对策略。

一、立几的常见证明

1.线线关系的证明：线线平行的证明除了平面几何中常用的中位线定理、平行四边形性质及平行线分线段成比例定理的逆定理之外，在空间立体几何中，常用方法有平行公理、线面垂直性质定理、线面平行性质定理、面面平行性质定理等。线线垂直的证明在平面几何中主要有勾股定理、等腰（边）三角形底边上的中线和底边垂直、菱形（正方形）对角线互相垂直等，在空间立体几何中主要由线面垂直的定义逆用得到。

2.线面关系的证明：线面平行的证明主要由线面平行判定定理和面面平行的性质得到。线面垂直的证明常用方法是线面垂直判定定理和面面垂直性质定理。

3.面面关系的证明：面面平行的证明主要由面面平行判定定理得到。面面垂直的证明主要由面面垂直的判定定理得到，有时可用两平面所成的二面角为直二面角得到。

立体几何的证明多以空间几何体为载体，判断空间线、面平行与垂直等位置关系。平行中线线平行是核心，垂直中线面垂直是关键。在证明过程中要由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。利用题设条件的性质适当添加辅助线也是解题的常用方法。

二、错误原因分析

1.识图、作图障碍。图形语言是立体几何学习过程中进行交流的数学工具，是现实对象的空间关系的载体。由于学生对立体几何图形的认知缺乏空间想象，往往不易建立空间概念，在头脑中难以形成较准确、直观的几何模型，从而反映在做没有立体几何图形或只有部分图形题时不会根据题意画出图形或辅助线，或画出的图形不易辨认，甚至作出错误的图形，误导了解题且不易查错，从而影响解题。

2.概念理解不透，条件使用不清。理解与掌握数学概念是学好数学、提高数学能力的关键，但学生往往对于基本概念的理解仅仅停留在机械的识记上，不注意概念的内涵和外延，易混概念间的区别和联系，认为记住了概念就掌握了概念。对于如正三棱锥与正四面体、长方体与平行六面体、直三棱柱与正三棱柱、球面与球等等基本概念的区别不太理解，什么几何体什么条件在证明时可以直接使用不清楚。

3.思维定势，臆造定理致错。

4.思维混乱，语言书写障碍。数学思维是对数学对象的本质属性和内部规律的间接反映，并按照一般思维规律认识数学内容的理性活动。学生思维能力是否深刻、是否具有逻辑性将直接影响证明过程的表达，在证明时有的同学甚至有解题思路，但思维混乱，书写条理不清晰。并且立体几何一开始就借用集合符号表示空间中的点、线、面之间的关系，使用符号语言进行推理、论证。但由于符号本身具有抽象性，极易错写、漏写，这就共同导致证明过程的混乱和错误。

三、立几证明复习策略

1.强化系统知识，提升思维水平。立体几何中涉及的概念、性质和定理比较多，知识点之间的联系也比较紧密。学生在平时练习中要注意归纳和概括，对知识点准确把握，尤其是一些很关键的定理的运用，掌握对一类题目的常规解法，高考教学复习时更要不断总结反思，强化系统知识。

2.重视能力培养，促进缜密思维。在立体几何教学过程中教师应努力培养学生的空间想象能力，可以利用多媒体辅助教学生动、形象、具体的特点创设符合教学内容的情境，展示形象直观的空间几何体及动态的图形变化，给学生直观的感受，化抽象为具体，引导学生深入认识立体图形的位置及变换。

教师在教学过程中应着重强调立体几何中定理的运用条件，只有定理的所有条件都具备了，才能推出相关结论。切忌条件不全就下结论，教师应当适当示范，并注意通过对不准确或错误推理案例的警示强化推理语言的叙写，逐步使学生养成缜密的推理习惯。

3.加强规范训练，重视解题细节。教师应重视常规证明题的规范训练，切忌语言表达不够规范、过程不够严谨，因果关系不充分，图形中各元素关系理解错误，符号语言书写错误或条理不清晰等，从不起眼的细节抓起，只有夯实基础，规范训练，学生的基本知识和基本技能才能唤起高层次的数学思维，提高逻辑推理能力，才能正确地解决各种问题。

近年来高考对立体几何证明题的考查一般以多面体为载体，线面平行与垂直、面面平行与垂直的判定和性质的应用为主。由于立体几何证明题属于常规题、中档题，因此立体几何的教学复习应紧扣教材，熟练掌握课本中的每一个概念、每一个定理的种种用途，突破识图、作图的道道难关，同时要注意总结证明平行、垂直的常用方法和技巧，注意符号语言的书写，做到条理清晰段落分明，在解题过程中进行反思，在反思中总结、提炼，不断提高空间想象能力及分析问题和解决问题的能力。