初中数学几何定理的运用

吴春雷

摘要：教师在教学时经常需要面对不同的学生，如何根据不同的情况采取相应的措施显得非常必要。一些学生到了初三仍对几何证明题书写感到困难，思考时没有明确的目的。本文针对这些情况，充分重视了“定理教学”，采取了先集中讲授再平时渗透的方法，提出了从定理的基本要求出发，通过建立表象、组合定理、联想定理等教学对策，从而使学生具备“用定理”的意识。

关键词：建立表象；组合定理；联想定理

几何证明从来都是初中数学的重点和难点，纵观本人带的数届学生在几何证明题上都学的各有差异。往往是几何证明题学生会证的，却不会书写或书写不完整；或者知道步骤的原因和结论，但讲不出定理的内容。更多的学生面对几何题在证明时凭感觉。针对学生表现出的各种问题本人决定狠抓“定理教学”。通过一段时间的复习，学生普遍反映在证题和书写时有了“依靠”，也发现了定理的价值，基本树立了“用定理”的意识。

那么，学生在证题时到底是由哪些原因造成思维受阻，产生解题的困惑呢？我把它归纳为以下几点：

⑴不理解定理是进行推理的依据。其实如果我们把一道完整的几何证明题的过程进行分解，发现它的骨干是由一个一个定理组成的。而学生书写的不完整、不严密，就因为缺乏对定理必要的理解，不会用符号语言表达，从而不能严谨推理，造成几何定理无法具体运用到习题中去。 ⑵找不到运用定理所需的条件，或者在几何图形中找不出定理所对应的基本图形。具体表现在不熟悉图形和定理之间的联系，思考时把定理和图形分割开来。对于定理或图形的变式不理解，图形稍作改变（或不是标准形），学生就难以思考。 ⑶推理过程因果关系模糊不清。

针对以上的原因，我在教学中采取了一些自救措施。

一、教學环节

对几何定理的教学，我在集中讲授时分5个环节。第1、2 环节是理解定理的基本要求；第3 环节是基本推理模式，第4 环节是定理在推理过程中的呈现方式，提出了“模式+定理”的书写方法；第5 环节是定理在解题分析时的导向作用，提出了“图形+定理”的思考方法。程序图设计如下：

基本要求 →重新建立表象 →推理模式 → 组合定理 → 联想定理

二、操作分析和说明

⒈定理的基本要求 要想正确书写证明过程的前提是学会对几何定理的书写，因为几何定理的符号语言是证明过程中的基本单位。因而在教学中我采取了“一划二画三写”的步骤，让学生尽快熟悉每一个定理的基本要求，并重新整理了初中阶段的定理，集中展示给学生。

例如定理：直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。

一划：就是找出定理的题设和结论，题设用直线，结论用波浪线，要求在划时突出定理的本质部分。

二画：就是依据定理的内容，能画出所对应的基本图形。

三写：就是在分清题设和结论的基础上，能用符号语言表达 ，允许采用等同条件。

如：∵△ABC是Rt△，CD⊥AB于D（条件也可写成：∠ACB=90°，∠CDB=90°等）

∴△ACD∽△BCD∽△ABC 。

⒉重新建立表象 从具体到抽象，由感性到理性已成为广大数学教师传授知识的重要原则。“表象”就是人们对过去感知过的客观世界中的对象或对象在头脑中留下来的可以再现出来的形象，具有一定的鲜明性、具体性、概括性和抽象性。由于几何的每一个定理都对应着一个图形，这给我在教学中提供了一定的便利。我要求学生对定理的表象不能只停留在实体的形象上，而是让学生有意识的记图形，想图形，以形成和唤起表象。这对理解、巩固和记忆几何定理起着重大的作用。

⒊ 推理模式 从学生各方面的反馈情况看，多数学生觉得几何抽象还在于几何推理形式多样、过程复杂而又琢磨不定，往往听课时知道该如何写，而自己书写时又漏掉某些步骤。怎样将形式多样的推理过程让学生看得清而又摸得着呢？为此，我们在二步推理的基础上，经过归纳整理，总结了三步推理模式。即：条件 → 结论 → 新结论 。这一环节我们的目的是让学生先理解证明题的大致框架，在具体书写时有一定的模式，有效地克服了学生书写的盲目性。

⒋组合定理 基本推理模式中的骨干部分还是定理的符号语言。因而在这一环节，我们让学生在证明的过程中找出单个定理的因果关系、多个定理的组合方式，然后由几个定理组合后构造图形，进一步强化学生“用定理”的意识。由于学生自己主动找定理，因而印象深刻。在证明过程中确实是由一个一个定理连结起来的，也让学生体会到把定理（不排除概念、公式等）镶嵌在基本模式中，就能形成严密的推理过程。实践表明：经过“模式+定理”书写方法的熏陶后，学生基本具备了完整书写的意识。

⒌联想定理 分析图形是证明的基础，几何问题给出的图形有时是某些基本图形的残缺形式，通过作辅助线构造出定理的基本图形，为运用定理解决问题创造条件。图形固然可以引发联想（这也是教师分析几何证明题、学生证题的基本方法之一），但对于识图或想象力较差的学生来说，就比较困难，他们往往存有疑问：到底怎样才能分解出基本图形呢？在复杂的图形中怎样找到所需要的基本图形呢？因而我们从另一侧面，即证明题的“已知、求证”上给学生支招，

即由命题的题设、结论联想某些定理，以配合图形想象。

三、几点认识

复习的效果最终要体现在学生身上，只有通过学生的自身实践和领悟才是最佳复习途径，因此在复习时，我们始终坚持主体性原则。在组织复习的各个环节中，充分调动学生学习的主动性和积极性：提出问题让学生想，设计问题让学生做，方法和规律让学生体会，创造性的解答共同完善。

“没有反思，学生的理解就不可能从一个水平升华到更高的水平”（弗赖登塔尔）。我们认为传授方法或解答后让学生进行反思、领悟是很好的方法，所以我们在教学时总留出足够的时间来让学生进行反思，使学生尽快形成一种解题思路、书写方法。

集中讲授能使学生对几何定理的应用有一定的认识，但如果不加以巩固，也会造成遗忘。因而我们也坚持了渗透性原则，在平时的解题分析中时常有意识地引导、反复渗透。

（作者单位：新疆乌鲁木齐第十中学初中数学组 830000 ）