重视过程教学，有效提升数学“课题学习”复习效益

柯炳春

目前，中考考场虽然无法直接考查“课题学习”的实践过程，但试题的设计可以呈现学生独立利用数学知识和数学能力观察、发现、分析和解决问题的过程，呈现学生自主探索研究的课题学习过程。因此，在初中数学“课题学习”的复习教学中，仍应重视过程性教学，以更好地促进学生理解知识，发展应用意识和思维能力，提高复习效益。重视复习问题的选择，以让学生能够经历数学知识的产生、形成和发展过程，是我们在实际教学中可采用的有效方法.

一、重现数学知识的产生过程，提高建模能力

《2014年福建省数学学科考试大纲》指出，课题学习要结合实际，会提出、探讨一些具有挑战性的研究课题，经历“问题情境—建立模型—求解—解释与应用”的基本过程.进而体验从实际问题抽象出数学问题、建立数学模型，综合应用已有的知识解决问题的过程.建模能力是初中数学课题学习的核心能力之一.因此，在课题复习教学过程中，教师要重视依托实际问题为背景重现数学知识的产生过程，让学生重温从实际问题中提炼出数学问题，进而转化成数学模型的过程，以促进学生建模能力的提升.

例1 一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度.如图1，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立向高AM与其影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m.已知：李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高度CD的长（精确到0.1m）.

本题依托学生身边的实际问题为背景，贴近学生的生活现实，围绕着初中数学的核心知识呈现数学知识的产生过程进行合理设置问题，有利于引导学生日常注意从身边的事物与活动中发现数学问题、提炼出数学问题.在问题解决的过程中，让学生重温“问题情境—建立模型—求解”的基本过程，学会从实际问题中提炼出数学问题，建立数学模型，培养学生的建模能力，有效提升课题学习复习效益.

二、展现数学知识的形成过程，培养研究方法

经历数学知识的形成过程，是学生获取感性知识，习得学习、研究问题方法的主要来源.《课程标准（实验稿）》在课题学习的具体目标培养提出在学习过程中要获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识.数学课题学习为学生营造了一种“研究”的气氛，学生在教师的指导下，以课题为中心展开研讨活动，通过动手实践、自主探索和合作交流等学习方式来“做数学”；实际上是给学生提供了一个自主学习的体验和实践机会，让学生在学习的过程中接触到一些有研究和探索价值的题材和方法，帮助学生全面认识数学、理解数学.因此，在课题复习教学过程中，应当重视选题，重新展现“知识背景-知识形成-揭示联系”的数学知识的形成过程，让学生经历必要的猜想与验证、分析与研究的数学思维活动；促进学生在“研究”活动中进行独立思考、自主探索、发现知识、寻找规律，提升学生的综合与实践能力，培养数学的学习、研究方法.

例2 阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：

sin30°=■，cos30°=■，则sin230°+cos230°= ；①

sin45°=■，cos45°=■，则sin245°+cos245°= ；②

sin60°=■，cos60°=■，则sin260°+cos260°= ；③

……观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A= .④

（1）如图2，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；

（2）已知：∠A为锐角（cosA>0）且sinA=■，求cosA.

本题利用学生掌握较为扎实的“锐角三角函数”知识为背景，从特殊的锐角函数值这一基础的数学知识入手，让学生经历“特殊-猜想-一般”和“猜想-论证-应用”的数学学习、研究历程.在问题解决的过程中，学生通过自主的计算、猜想、概括等数学思维活动，亲身经历数学知识的形成过程，进一步加深对相关数学知识的理解，认识数学知识之间的联系，体验数学的研究活动的真谛，获得数学活动经验的积累与提升，有效培养数学研究方法.

三、呈现数学知识的发展过程，提升学习能力

数学教学应当关注学生的长远发展，课堂教学不仅要关注学生的数学学习现况，而且重视激发学生后续的学习潜力，不可忽视对数学学习能力的培养，为终身教育和可持续发展做准备.从课题学习的教学功能上分析，数学课题学习追求的目标不仅是知识的获得和问题的解决，更重要的是使学生去经历、去尝试数学学习、研究活动，通过数学学习活动学会数学的思维，获得创造性数学思维活动的经验，感悟数学的思想方法，培养学生的实践能力和创新意识，提高数学学习能力.因此，在课题学习的复习教学中，应当重视呈现数学知识的发展过程，引导学生去体验、感受知识扩充、拓展的经过，以及向前发展的方向、知识之间的联系与综合，获得数学学习能力的提升.

例3 在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（lx） （x为自然数）.例：如图3，直线a分别交AB、AC于P、N点，则 PN是△ABC的一条相似线.

应用：（1）如图3，∠A=90°， ∠C=55°，PN是△ABC的一条相似线，则∠ANP= 度.

（2）如图3，∠A=90°，设∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC的相似线（其中l1⊥BC， l2∥AC），此外还有 条.

探究：如图4，∠A=90°，∠B=30°，当■为何值时，P（lx）截得的三角形面积为△ABC面积的■？

本题以学生熟悉的“相似形”为背景，发展导出“三角形相似线”这一新概念，并从定义、舉例、应用、探究四个逐步深入的方式进行设置问题.在问题解决过程中，有效地促使学生进行动手操作、观察发现、思考归纳、推理论证等数学思维活动，认识、理解、应用、探究的数学学习历程；有效地将学习过程中的观察、思考、发现、概括、创新等数学思维活动暴露出来，有利用于学生数学学习能力的提升.

课题学习的内容是具有打挑战性的，各地中考数学试卷中与“课题学习”有关的试题，从显性上看似乎是在考查基础知识及应用能力等，但从隐性上看却在考查学生在解决一些具有挑战性问题的策略、方法和能力.这相当于在考查学生在平时课题学习的过程中所积累下来的包括建模、探究、学习能力、学习策略、发现、创造等数学能力.因此，在“课题学习”的复习教学时，要善于选择课题，有效引导学生亲身经历数学知识的产生、形成和发展过程，诱导学生主动进行数学探究、实验、概括、应用等思维活动，加深理解相关的数学知识，发展数学思维能力，掌握基本的科研方法，提高数学建模、探究、学习、发现、创造等课题学习的核心能力，使课题学习的复习效益得于有效提升.