浅谈高等几何与初等几何的关系

代珊妮　李湘

摘要：几何学是数学的重要组成部分之一，对提升学生观察图形的能力、空间想象力、逻辑推理的能力等具有重要的作用。高等几何和初等几何作为几何学的重要模块，在学习思维上具有很多相似之处，初等几何的学习为几何学打下了坚实的基础，高等几何是在初等几何的基础上进行延伸和扩展的一门课程。研究高等几何和初等几何之间的关系，可以更好的实现它们之间的过渡和衔接，提升学生的学习效率。

关键词：高等几何初等几何关系

数学是初高等教育中必不可少的重要组成部分，几何学作为数学的基本分支之一，是数学教育中的重点内容。为了平衡初等几何和高等几何之间的教育，实现初等几何向高等几何的有效过渡，深入探讨初等几何和高等几何之间的关系是非常必要的。下文笔者将从几何学的基本概念出发，对高等几何在几何学中的重要地位进行阐述，随后详细介绍初等几何和高等几何的关系。

一、几何学的基本概念

几何学是研究空间关系的数学分支，包括平面几何、立体几何、黎曼几何等多种类型，在初等几何学习中，主要涉及一些平面几何和简单立体几何的学习；高等几何中会包含大部分的立体几何以及黎曼几何等的学习。几何学在日常生活中有重要的应用，比如建筑的结构设计、空间分配与计算等，学习几何学可以为中学生未来的工作生活打下良好的基础。

二、高等几何在几何学中的重要地位

高等几何的解法是基于克莱因提出来的想法深入理解的，即是以变换群的理论为中心，基于一些定理，再对平面内的几何知识进行解释，通过对于欧式几何，解析几何，空间几何，代数几何等几何的综合，解决所需的几何实际问题。在几何学的历史上，高等几何有重要的总结前人的作用，代表了最高的几何地位。

三、高等几何与初等几何的关系

高等几何是一种通过观察来解决几何问题的方法，这种解决问题的几何方式不仅仅抽象而且很难以理解，但是对于复杂的几何模型，这种高等几何的方式往往很有用处，然而对比于高等几何而言，初等几何是一种直观的几何方式，能够很快速的测量出简单的数学模型，得到最优的解决方式。

（一）包含和被包含的关系

在几何的历史上，初等几何是基于欧式几何发展而来的。欧式几何的定义是在正交变换下，图形的形状和性质都保持不变的内容。由于正交变换群是相似变换的一种，仿射变换群射影变换群的一种类型，在数学上可以表示为，欧式几何包含于相似度几何，相似度几何包含于仿射几何，仿射几何包含于射影几何。

欧式几何的内容思路可以分为射影性质、射影不变量、仿射性质、仿射不变量、相似性质、相似不变量、磨量性质、度量不变量等等，也就是说在内容上，欧式几何包含相似度几何，相似度几何包含仿射几何，仿射几何包含射影几何。从以上可以得知，欧式几何涉及的内容在几个几何中最大，影射几何所包含的内容在几个几何中最小。不同几何内容在课堂上的教学重点也很不一样，欧式几何是通过对图像的直观描述，对于空间架构的绘制最后开发人类的逻辑空间能力，让学生一步一步地走上处理图像之间的关系；解析几何的重点在于对图像的性质研究，对空间几何结构组织描述；高等几何在欧式几何的基础上上融合解析几何的各种特点，也就是说高等几何的学习可以让我们的思考更加全面，分析更加透彻，明白的指导各种几何之间存在的优缺点，并合理搭配使用，因此高等几何和初等几何之间的关系是包含和被包含的关系。

（二）拓展和延伸

高等级和对于初等几何而言，是一种知识和概念上的拓展和延伸。在概念上，中学生的学习知识中对于初等几何也有一部分的研究，这是高等几何的范畴。但是由于高等几何等于中学生而言，涉及面太广泛了，知识太充盈了，不能深入浅出的分析几何问题，所以在中学阶段一般不提倡使用高等几何方式解题，在中学生的几何知识中，主要涉及的是圆和曲线之类的简单几何图案。因为初等几何存在一些问题，对于很多的知识存在很大的局限性，无法很好的解释一些独特的现象，如果掌握了高等几何，就可以利用高等几何中的相关知识来观察高等几何与初等几何之间的联系和区别。

（三）提供理论依据

高等几何中对中心投影、度量不变形、仿射不变性、射影不变量和二次曲线的射影性质、等内容都进行了分析和研究，这些都能为我们学习几何学遇到的困难进行解答。比如我们会思考：一个圆形学遇到的困难进行解答。比如我们会思考：一个圆形可以用三个点唯一表示？在学习了初等几何之后，我们无法利用这些只是解答我们的问题，但是学习和掌握了高等几何知识之后，我们就可以找到这个答案。因此学习高等几何可以提高我们解决问题的能力，促进我们在大几何学范畴内讨论问题，理解问题，而不是单纯的记住问题，可以对于所学的知识用到实处，提高学生的能力。

四、总结

综上所述，高等几何对初等几何而言，有着重要的指导作用，在中学生学习几何知识的过程中，如果学会了高等几何，那么在对于初等几何的思路将会更加开阔和解法多样化，而且在逻辑方式和三维空间分析能力上将会有大幅度的提升。高等几何对于中学生而言，有助于加深对初等几何的理解和概括能力，从而对于其中的问题将会有更加清晰的思路，这不再是掌握和模仿课本上的初等几何知识，却是提高思考问题的方式和解法，可以把这种方式应用到别的学科，这些类比、等效、相似等等方式，可以促进中学生的空间想象能力，提升辩证唯物主义的思想，提高思想觉悟和逻辑思维，对于学生有大幅度的成绩提升。

参考文献：

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