问渠那得清如许，为有源头活水来

冯建梅

【案例背景】

数学教学中有很多有关公式、定理的教学，有的教师认为只要直接让学生知道公式、定理的内容就可以了，因此非常注重“结果教学”，不会用太多时间安排学生进行探索研究，而是把时间主要安排在公式定理的应用上。对于文科生更是如此。而我自己在学习、实践过程中深深地感受到“问渠那得清如许，为有源头活水来”的深刻意味。在日常的教学中，比较注重基础知识的生成，思想方法的渗透，并坚信如果持之以恒，必将收获沉甸甸的喜悦。

【案例描述】

那是一次月考，试卷的16题、20题错误率很高，但有十几个学生的解法很好，讲评课上就请这些学生讲解。他们的讲解让我欣喜若狂，觉得自己的坚持是多么的有价值。

16.若直线m被两平行线l1：x-y+1=0与l2：x-y+3=0所截得的

线段的长为2■，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°，其中正确答案的序号是 。

这道题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离等有关知识点，考查数形结合的思想，是直线知识命题中不多见的较为复杂的题目。

我请做对这道题的A学生讲解，A学生自信地来到讲台上，开始了他的讲解：首先，我们要研究已知条件，题目已知的是两条直线的方程，老师不是常建议我们要充分地利用数形结合思想吗，所以，我准备用数形结合研究这个问题。从图象可以看出，这是两条平行线，当然大家从表达式也可以得出同样的结果。其次，直线m位置不确定，故我想到老师说的“我们要有小马过河的精神”去尝试比划，结果问题还就变得简单了！大家把我手中的直尺看作直线m，随着直线m位置的变化，不难发现，直线m被这两条平行线所截得线段長在不同的位置，长短是不一样的，被截得的线段没有最长的，有最短的。其中最短的就是两平行线间的距离。两平行线间的距离d=■，又因为2■=2d，可说明直线m与两条平行线不垂直，且直线m与直线l1的夹角为30°，符合条件的直线m有两条。再次，因为直线l1的斜率为1，倾斜角为45°，利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和”这一定理，可得直线m的倾斜角为30°+45°=75°或45°-30°=15°。故选①⑤。

他的讲解让我更加坚定，在学生学习的过程中，知识是基础、方法是骨架、思想是灵魂，只有以思想方法统领知识才能在解题过程中以不变应万变，去攻克一道道难题。

20.已知曲线C：x2+y2-2x-4y+m=0，

（1）若曲线C表示圆时，求m的取值范围；

（2）若曲线C与直线x+2y-4=0交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值。

从试卷的解答看，此题的解法有三种，前两种解法是通过联立方程组，利用根与系数的关系，再结合图形解决问题的。而第三种解法很有新意，是在原有知识的基础上举一反三解决问题的。

解法三：（D学生）

我们之前学习直线系方程和圆系方程时有这样的结论。

过直线L1：A1x+B1y+C1=0与直线L2：A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为（A1x+B1y+C1）+λ（A2x+B2y+C2）=0（除直线L2）。

过圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为（x2+y2+D1x+E1y+F1）+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（除圆C2）。

因为OM⊥ON，所以M、N、O三点共圆，不妨设为圆D，则圆D是过直线与圆C交点M、N的圆，故它的方程可以仿照上述结论设为：（x2+y2-2x+4y+m）+λ（x+2y-4）=0，则圆心坐标为D（-■，-λ+2）.

因为圆D过原点O，所以有m+λ·（-4）=0 ①；

因为OM⊥ON，所以MN为直径，圆心D在直线MN上，

所以有-■+2·（-λ+2）-4=0 ②；

联立①②，解得λ=■，m=■。

听到这里，感慨万千，此学生如果没有对之前知识的深刻理解，又怎么会进行知识的迁移，从而举一反三呢？

【案例反思】

1.学生具有能够自主思考与探索的天性，教师要大胆将问题抛给学生，给学生留有思考和探索的空间。在学生“再创造”的过程中，得到的结论是否正确并不重要，重要的是他体验了从无知到有知，从模糊到清晰，从不会到会的历程，这对他的学习品质及人格力量的形成有着不可低估的重要价值。

2.在教学中充分重视定理、公式的推导过程有以下几点好处：

（1）学生通过自身活动所获得的知识与能力，远比别人强加的要理解得透彻、掌握得更好，也更具有实用性，便于知识的迁移，能力的发展，一般来说，还可以保持较长久的记忆。

（2）推导过程包含了发现，而发现是一种乐趣，因而通过“推导公式定理”来进行学习能引起学生的兴趣，并激发学生深入探索研究的学习动力。

3.教学中教师要及时肯定和鼓励学生自己的成果，逐步帮助学生树立自信，遇到问题要有“小马过河”的精神去尝试。学生的想法、问题是在学生探究探索的过程中产生出来的，这也为教学提供了发展的土壤和养分，这样的课堂才具有生命的价值。

在日后的教学中，我将继续坚持基础知识的生成、思想方法的渗透，相信可爱的学生会有更多令人惊喜的表现，让我们静静等待花儿的绽放吧！

（作者单位 山西省太原市实验中学）

？誗编辑 张珍珍