问渠那得清如许,为有源头活水来

2014-04-29 12:49冯建梅
新课程·下旬 2014年4期
关键词:倾斜角平行线数形

冯建梅

【案例背景】

数学教学中有很多有关公式、定理的教学,有的教师认为只要直接让学生知道公式、定理的内容就可以了,因此非常注重“结果教学”,不会用太多时间安排学生进行探索研究,而是把时间主要安排在公式定理的应用上。对于文科生更是如此。而我自己在学习、实践过程中深深地感受到“问渠那得清如许,为有源头活水来”的深刻意味。在日常的教学中,比较注重基础知识的生成,思想方法的渗透,并坚信如果持之以恒,必将收获沉甸甸的喜悦。

【案例描述】

那是一次月考,试卷的16题、20题错误率很高,但有十几个学生的解法很好,讲评课上就请这些学生讲解。他们的讲解让我欣喜若狂,觉得自己的坚持是多么的有价值。

16.若直线m被两平行线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的

线段的长为2■,则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°,其中正确答案的序号是 。

这道题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离等有关知识点,考查数形结合的思想,是直线知识命题中不多见的较为复杂的题目。

我请做对这道题的A学生讲解,A学生自信地来到讲台上,开始了他的讲解:首先,我们要研究已知条件,题目已知的是两条直线的方程,老师不是常建议我们要充分地利用数形结合思想吗,所以,我准备用数形结合研究这个问题。从图象可以看出,这是两条平行线,当然大家从表达式也可以得出同样的结果。其次,直线m位置不确定,故我想到老师说的“我们要有小马过河的精神”去尝试比划,结果问题还就变得简单了!大家把我手中的直尺看作直线m,随着直线m位置的变化,不难发现,直线m被这两条平行线所截得线段長在不同的位置,长短是不一样的,被截得的线段没有最长的,有最短的。其中最短的就是两平行线间的距离。两平行线间的距离d=■,又因为2■=2d,可说明直线m与两条平行线不垂直,且直线m与直线l1的夹角为30°,符合条件的直线m有两条。再次,因为直线l1的斜率为1,倾斜角为45°,利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和”这一定理,可得直线m的倾斜角为30°+45°=75°或45°-30°=15°。故选①⑤。

他的讲解让我更加坚定,在学生学习的过程中,知识是基础、方法是骨架、思想是灵魂,只有以思想方法统领知识才能在解题过程中以不变应万变,去攻克一道道难题。

20.已知曲线C:x2+y2-2x-4y+m=0,

(1)若曲线C表示圆时,求m的取值范围;

(2)若曲线C与直线x+2y-4=0交于M、N两点,且OM⊥ON(O为坐标原点),求m的值。

从试卷的解答看,此题的解法有三种,前两种解法是通过联立方程组,利用根与系数的关系,再结合图形解决问题的。而第三种解法很有新意,是在原有知识的基础上举一反三解决问题的。

解法三:(D学生)

我们之前学习直线系方程和圆系方程时有这样的结论。

过直线L1:A1x+B1y+C1=0与直线L2:A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0(除直线L2)。

过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(除圆C2)。

因为OM⊥ON,所以M、N、O三点共圆,不妨设为圆D,则圆D是过直线与圆C交点M、N的圆,故它的方程可以仿照上述结论设为:(x2+y2-2x+4y+m)+λ(x+2y-4)=0,则圆心坐标为D(-■,-λ+2).

因为圆D过原点O,所以有m+λ·(-4)=0 ①;

因为OM⊥ON,所以MN为直径,圆心D在直线MN上,

所以有-■+2·(-λ+2)-4=0 ②;

联立①②,解得λ=■,m=■。

听到这里,感慨万千,此学生如果没有对之前知识的深刻理解,又怎么会进行知识的迁移,从而举一反三呢?

【案例反思】

1.学生具有能够自主思考与探索的天性,教师要大胆将问题抛给学生,给学生留有思考和探索的空间。在学生“再创造”的过程中,得到的结论是否正确并不重要,重要的是他体验了从无知到有知,从模糊到清晰,从不会到会的历程,这对他的学习品质及人格力量的形成有着不可低估的重要价值。

2.在教学中充分重视定理、公式的推导过程有以下几点好处:

(1)学生通过自身活动所获得的知识与能力,远比别人强加的要理解得透彻、掌握得更好,也更具有实用性,便于知识的迁移,能力的发展,一般来说,还可以保持较长久的记忆。

(2)推导过程包含了发现,而发现是一种乐趣,因而通过“推导公式定理”来进行学习能引起学生的兴趣,并激发学生深入探索研究的学习动力。

3.教学中教师要及时肯定和鼓励学生自己的成果,逐步帮助学生树立自信,遇到问题要有“小马过河”的精神去尝试。学生的想法、问题是在学生探究探索的过程中产生出来的,这也为教学提供了发展的土壤和养分,这样的课堂才具有生命的价值。

在日后的教学中,我将继续坚持基础知识的生成、思想方法的渗透,相信可爱的学生会有更多令人惊喜的表现,让我们静静等待花儿的绽放吧!

(作者单位 山西省太原市实验中学)

?誗编辑 张珍珍

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