我国机动车保险中的同质性保单的赔付次数模型分析

邢婧

摘 要：随着生活水平的提高，保险在人们生活中作用越来越大，也有越来越多的专家学者开展了对保险市场的研究。机动车保险是一类索赔比较频繁的保险。文章首先介绍了国内机动车保险的发展现状，接着讨论了机动车保险业内存在的各种道德风险问题。然后利用泊松分布对同质性保单的索赔次数进行了模拟和分析。

关键词：机动车保险；道德风险；同质性保单

中图分类号：F840.6 文献标识码：A 文章编号：1006-8937（2014）2-0025-02

1 国内机动车保险行业发展过程与现状

自新中国成立后，我国机动车保险行业曲折发展。中国人民保险公司自20世纪50年代初期就开办了机动车保险业务。但由于当时的经济发展水平比较落后以及人们对保险的意识还处于初级阶段，机动车保险业务开办不久就引起了人们的争议，有相当一部分人认为机动车保险对肇事者予以经济补偿是导致交通事故的增加的原因，机动车保险对社会产生了负面的影响。在这样的情形下，中国人保公司在1955年停办了机动车保险业务。到了20世纪70年代中期，随着经济的发展以及对外开放的增多，以各国驻华使者为代表的外国人对保险的要求，人保公司开始办理机动车辆保险业务，但此时的保险业务主要以涉外业务为主。直到1980年我国才全面恢复国内保险业务，为了适应国内企业和单位对机动车保险的需要，中国人保公司才逐步恢复了对内汽车保险业务。到了21世纪的今天，越来越多的家庭拥有了私家机动车，机动车保险是一个被人们普遍使用的保险。

2003年，我国开始对机动车辆保险管理制度进行改革，主要体现在让市场决定费率。保险公司也蓬勃发展，根据市场需求不断推出个性化的保险产品。这样的改革无疑是保险行业的进步，但由于管理不成熟，也带来了一些问题。比如，有些公司在开发新险种时一味的注重价格而不注重服务；偏重于注重技术，而不注重消费等。更重要的是公司开发新产品时缺乏数据支撑，无法根本解决产品的同质化问题，保险公司之间寻在恶性竞争，最终导致近年来机动车保险赔款次数金额都大幅增长，出现大面积保险公司亏损现象，十分不利于行业的健康发展。

保险业中存在道德风险是导致机动车保险业不良发展的一个重要方面。由于保险产品本身是一种知识含量高的特殊商品，投保人和保险公司之间存在信息不对称的现象。另外，保险公司的管理不够完善，对投保人的信息把握也不够准确，这样也增长了骗保的可能性，造成不良的后果。事实上，道德风险是存在于保险公司和投保人双方的。一方面，保险公司这一方存在道德风险。举例来说，有些不良的机动车保险代理人片面夸大机动车保险的增值功能，刻意隐藏产品存在的风险，这势必会让投保人造成盲目购买，出事故后无法赔付，承受经济损失。另一方面，投保人这边也存在道德风险。主要体现在投保人可能隐瞒自己的个人信息，利用超值投保故意出现来骗保。或者抓胡保险公司工作环节漏洞，事故后投保，或者夸大事故损失，甚至无标投标，假造事故，骗取更多的赔偿。这样也会造成保险公司的巨大损失。除以上欺诈行为，有些投保人在买了保险后，开车疏忽，加大了事故的发生概率和事故的损失大小，这也是道德风险常见情形。

2 同质性保单组合的索赔次数建模

机动车辆保险存在很大道德风险，且索赔比较频繁情况下，在制定合理的保费之前，有必要对机动车辆保险索赔模型有个比较合理的建模。同质性保单是指保单组合中的每份保单都有相同的索赔频率并相互独立。所以我们研究保单组合的索赔次数模型可以转化为研究单个保单的索赔次数模型。个体保单出现事故是小概率事件，所以我们不妨假设个体保单的索赔次数过程N（t）有这样三个特性：第一，在一段时间[t，t+Δt]内的索赔次数与时间长度Δt有关，与起始时间t无关，并且在起点时间的赔付次数为零，即N（0）=0；当时间间隔Δt小到一定程度时，该保单最多只有一次赔付，并且发生一次赔付的概率与时间间隔长度Δt成正比，而索赔次数是两次或者两次以上的概率是Δt的高洁无穷小量，如下：

P[N（t）=1]=λt+o（t）

P[N（t）=0]=1-λt+o（t）（1）

P[N（t）≥2]=o（t）

第三，在两段不重合的时间段内发生的索赔次数是互相独立的，即N（t）是一个平稳独立的增量过程，有：

P[N（t，t+s）=k]=P[N（t）=K]（2）

且N（t）和N（t，t+s）相互独立。

我们可以证明，满足这些条件的随机过程是泊松过程，即：

P[N（t）=k]=e-1λ，k=0，1，2，3，…（3）

在式（3）中令，则上式简化为：

P[N（t）=k]=e-λ（4）

根据以上推导很容易看出，在单位时间内，同质性保单组合的索赔次数服从参数为的泊松分布。

如果我们考虑道德风险的影响，假设投保人的行动会影响事故发生的概率和损失大小，假定同质性保单组合中每次索赔金额相同，均为l，a代表投保者的开车的努力水平，投保人努力的负效应函数用c（a）表示，显然索赔金额与投保者努力水平成相反关系，所以可以假设投保人发生事故所造成索赔k次的概率为：

P[N=k]=e

现假定投保人与保险公司的V-N-M效用函数分别为u，v在各自的定义域上的二阶导数小于或等于零，即u"≤0，v"≤0。在存在道德风险的情况下，我们建立委托代理模型时要考虑激励相容约束，所以建立了最优保险契约模型如下：

（1-+0（1））u（ω0-δπ）+（）ku（ω0+s（k）-lk-δπ）-c（a）（5）

s.t.（1-+0（1））δπ+（）kv（δπ-s（k））=0（6）

激励相容约束隐含在（5），即最大化代理人的效用如下：

（1-+0（1））u（ω0-δπ）+（）ku（ω0+s（k）-lk-δπ）-c（a）（7）endprint

≥（1-+0（1））u（ω0-δπ）+（）ku（ω0+s（k）-lk-δπ）-c（a'）?a'∈[a，a]

a=argmax（

1-+0（1））u（ω0-δπ）

+

（

）ku（ω0+s（k）-lk-δπ）-c（a）

即使下式成立：[（）k（1-）]u（ω0+s（k）-lk-δπ）-c'（a）=0。现在对此模型构造Lagarange函数：

L（S（k），δ）=（1-+0（1））u（ω0-δπ）+（）ku（ω0+s（k）-lk-δπ）-c（a）+P[（1-+0（1））δπ+（）kv（δπ-s（k））]+q[（）k（1-）]u（ω0+s（k）-lk-δπ）-c'（a）]（8）

由于此方程为离散方程，对于保险赔偿方案的一阶条件为：

（）ku'（ω0+s（k）-lk-δπ）-p（）kv'（δπ-s（k））+q[（）k（1-）]u'（ω0+s（k）-lk-δπ）=0（9）

记ω0+s（k）-lk-δπ为p1，δπ-s（k）为q1，则：

=（10）

由此可见，在存在道德风险的情形下，最优保险契约是不可能实现帕累托最优的风险分担。

当然我们应该注意的是，包含个相互独立并且服从参数分别为的泊松分布的同质性保单组合的集合，其索赔次数不一定仍服从泊松分布，原因是这个保单集合有可能是非同质的，除非原个同质性保单组合的索赔次数相等，才能确定保单组合是同质性的。以上讨论的假设是比较理想的，在保险行业实践中运用泊松摩西时我们要注意三个问题：第一，我们再讨论中假设泊松分布索赔的发生完全随机，与时间起点无关，在实践中有可能出现反例；第二，我们对独立性的假设只是近似成立。保险实践中，即使在两段不想交的时间段，索赔次数也可能因为一些共同因素而互相关联；第三，在例如机动车碰撞保险等特殊险种中，一次事故可能会引起多次索赔，也就是，相当短的时间内可能会又多次索赔发生，这时我们可以认为多次索赔合为了一次索赔。

3 结 语

本文具体讨论了机动车保险市场在存在道德风险的情形下同质性保单的索赔次数模型，用泊松分布进行了模拟，得到其最优保险契约不可能实现帕累托最优的风险分担得结论。

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