为“数学地思考”而教

陈红娟

数学地思考是数学知识的本质特征。主要体现在数学的思维方式，涉及抽象思维、形象思维、统计观念、合情推理与演绎推理能力等诸多方面。这些数学思维方式帮助人们面临各种问题情境（包括非数学问题）时，能够从数学的角度去思考问题，能够发现其中所存在的数学现象，并运用数学的知识与方法去解决问题。张奠宙先生曾说：数学是“思考、思考、再思考”的学科。围绕数学思考展开的数学教学，可以称为“数学思考”教学。

朱乐平老师执教的“用字母表示数”一课，为我们在如何体现“数学思考”方面做了很好的诠释。“用字母表示数”是由具体的、确定的数过渡到用字母表示抽象的、可变的数，是学生从算术走向代数认识上的一个飞跃。如何在学生的头脑中实现由“具体的数”向“抽象的字母”跨越呢？这也是小学数学教学中大家感兴趣的课题，其内容主要包括用字母表示数、用字母表示运算定律和计算公式、用字母表示数量关系三部分内容。本文拟结合朱老师执教的这一课例，就如何进行“数学思考”的教学提出看法。

一、课例剖析

【片段描述1】用字母表示具体数——扑克牌中的字母

课件逐个出示扑克牌A、2、3……10，学生一起依次往下说；接着着重引出J、Q、K，代替11、12、13；然后老师挑出两张（出示：7和K），这两张哪一张大，为什么？（等待20秒左右，学生逐渐活跃起来发表不同意见）

【分析】

扑克牌中的字母和数列中的字母本身仅代表某一个特定的数。此时，字母和数之间存在的一一对应关系，在儿童的数学理解中，扑克牌中的字母可以“代替”某一个数，显然，“代替”不等于“表示”。片段一中“老师挑出两张（出示：7和K），这两张哪一张大，为什么？” 朱老师这样的启发式提问，引导学生参与有条理地思考并表达自己的思考过程。当然我们应注意逐步发展学生有条理的思考和表达能力，可以让学生经历佐证、对具体情况进行解释、运用自己的语言说明理由、严格证明等阶段。

【片段描述2】用字母表示计算公式——储蓄罐中的字母表示式子

出示一个储蓄罐，在发现罐子里面硬币的个数可以用C表示后，接连出示4个问题：1.又放进了3个硬币是多少？C+3；2.拿出2个硬币是多少？C-2；3.每个罐里都有C个硬币，那么3个储蓄罐里有几个硬币？C×3；4.一个储蓄罐的钱平均分给5个人，每个人得多少？C÷5。

【分析】

我们知道，要理解字母可以表示“未知数”本身并不难，但要真正理解“含有字母的式子”可以表示一种运算，又可以表示运算结果，对学生而言有相当的难度。在学生形成的经验中，一切含有运算符号的式子，都只能表示一种运算。“C+3”既可以表示将C和3合并到一起的运算或过程，同时它也是一个独立的对象（概念的两重性，“过程—对象”），通俗地说，“C+3”也是一个结果。

该片段朱老师运用学生熟悉储蓄罐的学情，通过大量的学生猜测、解释、归纳，得出“都是有可能的，这样有很多种可能的”用字母C表示。在这样的基础上，朱老师以“我再放进去三个一元硬币，那么它现在里面有多少钱了呢”为题，引导学生进行富有针对性的思考。其目的不言而喻，希望学生能够对其作为结果的“C+3”有一个初步的把握。

当面临实际问题时，学生通过实验、归纳、类比、概括等发现其中蕴含的一般性规律，并运用自己的语言描述，最终运用数、图形、符号等概括地将这个规律表示出来，这是一个运用数学的思维方式进行思考的过程。这一过程超越了具体问题的情境，深刻地揭示了存在于一类问题中的共性和普遍性，把学生的认识和思考提高到一个更高的水平。

需要特别指出的是，学生在表示具体情境蕴含的一般规律时，常常会有自己特有的表示，而数学自身则提供公认的常规的数学表示，如何让两者之间建立自然的对接是我们需要思考的。朱老师给了我们一个很好的范例，他让学生自己提出一些例子，并引导学生去解释，在积累一些经验后，自然地引入到数学表示上。

【片段描述3】用字母表示数量关系——年龄情境中的字母表示数量关系

教师提一个简单情境“小红的爸爸比小红大30岁”，而后将这一情境细分出4个小问题：1.引出小红年龄是a，爸爸年龄就是a+30；2. a是什么意思？a与4有什么不同？提问后，让学生静静思考，接着花5分钟时间让学生说说对这句话的理解；3.4+30与a+30有什么不同；4.比较a与a+30，谁大，大多少？谁小，小多少？

【分析】

含有字母的式子不仅可以表示运算和结果，还可以表示具体的数量和数量间的关系。该片段朱老师深入浅出的教学，让学生亲身体验了将实际问题抽象成数学模型的过程。

一开始朱老师与学生一起思考，引导学生试着用含有字母的式子去概括其中不变的函数关系。接着借用问题“a=1，什么意思？这时候的a+30呢？”启发学生思考，这个思考过程也是思维过程，是借助归纳推理来“探究成因”的过程。同时，在这些探索与思考过程中，学生积累了活动经验。

在此基础上，朱老师提出：“想一想：4与a有什么不同？”这一提问把学生推向深深的思辨之中，而这种思辨背后所潜藏着“字母可以表示变化的数”的一种把握——“a是一个未知数，而4是一个已知数。也可以说，a是一个变量，4是一个定量。”我们相信这样的把握是完美的，更希望这样完美的表述能深深种在学生学习的心田中。朱老师作了一次追问：“什么叫作一个已知，一个是未知，也可以说一个是变化的变量，一个是确定的定量？没有听懂的同学当然要认真听，听懂的要想好，如果你来说，你说哪几句话？”在学生思辨、表达、内化过程中，朱老师又通过举例子的方式让学生对字母可以表示变化的数获得了更深的体验。紧接着，朱老师提问：“4+30与a+30有什么不同？”三次提问，一次追问，每一次都指向了“具体数”与“字母表示的数”的关系，这种关系恰恰是字母和含有字母的式子所能够表示的丰富内涵。endprint

同时，我们应该看到朱老师引导学生思考的一些做法：1.与学生一起思考；2.培养学生的归纳推理能力；3.帮助学生积累活动经验。

二、反思

（一）转变重结果轻过程的教学观念

数学教学应重视过程教学，不能仅停留在表面形式上。数学教学应该不只是教知识、教技巧，还要教数学思考、教思想，把数学的学术形态转换为教育形态，努力去体现数学的价值，培养能力，培育意识、观念，形成良好的品质。重视过程教学，就是要重视学生思维的真实过程，重视解决问题时的思考过程，就是要在教学中坚持数学思考的培养离不开学生亲身经历的原则，尽可能地创设合理的、有价值的问题情境。

（二）学会独立思考，积淀活动经验

我们希望学生在积极的思维参与中领悟数学的本质和核心，这种思维积极参与的数学活动有利于达到对数学知识的深刻理解和融会贯通。数学学习中善于问为什么、善于寻根究底、善于浮想联翩和联系推广，是思维真正参与到数学学习活动的重要方面。引领学生进行有效的独立思考需要解决两个问题：“你是怎样想的？”“你是怎么想到的？”独立思考是学生在学习情境中借助于数学语言在头脑中默默地进行的，是数学语言的“内在表达”。它常常表现出简化的、压缩的、跳跃的，从而思考的过程和结果都具有模糊性。

1.重点解决“你是怎样想的”。数学交流中，我们应引导学生充分交流“你是怎样想的”，同时要引导学生交流“还有没有其他的想法”“他的想法和你的有什么不一样”，给学生充分展示自己的思考过程，并从他人的思考过程中探索新的思考方法，从而慢慢习惯于“学会思考”。

2.关键解决“你是怎么想到的”。在数学交流过程中（包括争辩别人的反驳观点），学生可以更好地理解和使用数学语言和符号，可以组织和强化自己的思考，可以理清独立思考的过程，巩固独立思考的结果，同时通过思考他人的想法和策略来丰富和扩展自己的知识和思维。

因此，我们应积极创设数学交流的环境，让学生将自己的思考过程、思考结果用数学语言通过口头或书面表达出来，处于混沌姿态的数学思考就能逐渐明晰起来，从而促进学生独立思考能力的提高。当然，独立思考能力发展是逐渐深化的过程。从“会独立思考问题”到“能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己思考过程与结果”，再到“能独立思考，体会数学的基本思想和思维方式”。

（三）学会数学地思考，体验数学化过程

当面临实际问题时，学生通过实验、归纳、类比、概括等发现其中蕴含的一般性规律，并运用自己的语言描述，最终运用数、图形、符号等概括地将这个规律表示出来，这是一个运用数学的思维方式进行思考的过程。这一过程超越了具体问题的情境，深刻地揭示了存在于一类问题中的共性和普遍性，把学生的认识和思考提高到一个更高的水平。三个片段都实现了数学地思考过程。我们时常发现学生在表示具体情境蕴含的一般规律时，常常有自己特有的表示方式。这种带有个人色彩的表示，尽管缺少常规表示的精确性和普遍性，但这些表示对学生个人是有意义的，并且对促进学生的理解起着重要作用，有助于问题的解决。这些个人特有的表示方式，提供了一个能使学生对其他表示（包括常规的数学表示）的本质和作用进行认识的经验基础。而数学自身则提供公认的常规的数学表示，如何实现从个人特有的自我表示到数学表示的飞跃？朱老师的教学给我们提供了一个范例。如“想一想：4与a有什么不同”，朱老师在提出问题后，让学生自己来表达，在学生的不断表达与修正（在没有教师的肯定下，学生表达会开放一些，回答会越来越趋向数学表示）后，接着追问，“什么叫作一个已知，一个是未知，也可以说一个是变化的变量，一个是确定的定量？”使学生认识到数学表示方法的特点，由此实现从自己的表示向数学表示的飞跃。

（浙江省温州市少年艺术学校 325000）endprint