期权价格的影响因素的实证分析

作者简介：

蒋贤辉（1985-），安徽合肥，安徽大学经济学院 专业：金融学 学位：硕士研究生。

摘 要：本文从期权的Black-Scholes-Merton定价公式以及影响期权价格的因素的敏感度因子定义出发，关于期权价格的影响因素对期权价格的影响大小作了实证分析，在此基础上讨论了Delta对冲以及gamma对冲的重要意义。

关键词：Black-Scholes-Merton定价公式；期权的风险敏感度因子；Delta对冲

一、Black-Scholes-Merton定價公式

对于不支付红利的标的资产的期权，看涨期权的价格：

c=S0N（d1）-KertN（d2）

看跌期权的价格：

p=KertN（-d2）-S0N（-d1）

其中，d1=ln（S0/K）+（r+σ2/2）TσT。

d2=ln（S0/K）+（r+σ2/2）TσT=d1-σT；

其中，S0表示标的资产现在的价格，K表示执行价格，r表示无风险利率，c表示看涨期权的价格，p表示看跌期权的价格，σ表示标的资产波动率，N（d1）表示正态分布中随机变量小于等于d1的概率，N（d2）表示随机变量小于等于d2的概率。

二、 期权的风险敏感度

影响期权价格的因素有很多，标的资产价格，标的资产价格波动率，到期时间，市场利率等因素的影响，各因素对期权价格的影响作用是不同的，下面我们首先关于这些因素对期权价格的影响的指标作一介绍，然后在Black-Scholes-Merton定价公式的基础上对这些因素影响大小，以及怎样对冲这些因素做一个简单的实证分析。

（一） 期权风险敏感度指标

1、 Delta

Delta是我们进行风险对冲时的第一个需要考虑的指标，他衡量的是期权的价格随标的资产价格变化的灵敏度。Delta定义为期权价格变化对标的资产价格变化的比率，这一比率越高，意味着期权价格对标的资产价格变化越敏感。我们用数学公式可以表示为：

看涨期权：Δ=ΔcΔS，看跌期权：Δ=ΔpΔS

如果一项组合的价格不随标的资产价格变化，那么这个组合就处于delta中性。我们可以通过在期权裸露情况下买入或卖出△份标的资产使该组合处于delta中性。

2、 θ、（Theta）

一个期权组合的θ定义为，该组合价格的变化对时间变化的比率，它被定义为有价证券的时间损耗。

θ=ΠT

由于资产价格变化是不确定的，而时间减少是确定的，所以对冲资产价格变化是有意义的，而对冲时间的变化是没有意义的。

3、Γ（gamma）

某种标的资产组合的gamma值，定义为该种资产组合的delta值变化对标的资产价格变化的比率。该比率值较大，意味着该组合的delta值对标的资产价格变化比较敏感；否则，该比值较小，意味着该组合的delta值对标的资产价格变化不敏感。

Γ=2ΠS2

4、 ν（vega）

某种标的资产的vega值定义该种资产的价格变化对于标的资产波动率变化的比率。用公式表示为：

υ=Πσ

这一比率绝对值越大，该证券组合的价值对于波动率的变化敏感；反之，如果vega的绝对值很小，波动率的变化对证券组合的价值影响较小。

5、ρ（Rho）

Rho定义为有价证券组合的价值变化与利率变化之间的比率。用公式表示为：

ρ=Πr

它衡量证券组合的价值对利率变化的敏感性。这一比率越大，证券组合的价值对利率变化越敏感。

（二） 期权的风险敏感度的实证分析

假设标的资产为某商品期货，现在价格为S0=3600元，执行价格为K=3600元，到期时间为115天，标的资产的价格波动率为σ=25%，市场无风险利率为r=3%

我们用Black-scholes公式计算可以得到看涨期权现在的价格为c=217元。假设期货价格上升到ST=3700，期货盈利100元，其它条件不变，我们计算得出期权的价格上升到c=277元，期权盈利为60元；如果标的资产价格下降到ST=3500，期货亏损100元，期权的价格下降到c=166元，期权亏损51元。我们看到标的资产变化价格变化了，期权的价格也跟着变化，但是期权价格的变化又并非完全由标的资产价格变化来决定。那么在这个变化过程中，由标的资产价格变化而引起期权价格变化的作用有多大呢？

1、Delta的贡献

我们由期权的定价公式以及期权Delta值的定义，可以得出在期货价格为S=3600元，K=3600元，时间为115天时，期权的Delta=0.555，因此可以认为当期货价格从3600元上升到3700元，由标的资产价格变化而引起期权价格的变化，即Delta的贡献为55.5元，当期货价格从3600元下降到3500元，由标的资产价格变化而引起期权价格的变化，即Delta的贡献为-55.5元。

2、 gamma的贡献

我们在上面对Delta的分析中，已经得出标的资产价格变化对期权价格的影响，但是我们知道标的资产价格变化之后，Delta值也会变化，因此标的资产价格变化对期权价格的影响不仅是直接的，而且会通过对Delta值的影响而间接地影响期权的价格。我们通过black-scholes公式及gamma值的定义得出当标的资产价格为S=3600元，执行价格为K=3600元，时间T=115天的gamma值为0.000782，由gamma值定义，可以得出当标的资产价格变化100元时，gamma值对价格的影响是3.9。

3、 其它部分对价格的贡献

除了上述的两个因素外，我们还可以看出当标的资产价格变化100元，期权的价格对期权价格变化的影响是0.6，因此影响是比较小的。这些因素是时间，标的资产价格的波动率，以及市场率。

4、 Theta的贡献

假設其他条件不变，标的资产价格S=3600，执行价格还是K=3600元，波动率还是σ=25%，利率为r=3%，时间往后退迟了一天，期权的价格从c=217.81变化到c=216.81，我们可以看出标的时间对期权价格的影响为216.81-217.81=-1.01元，这个作用非常小。

5、 vega的贡献

同样的，假设标的资产价格没有变化，执行价格，时间都没有变化，只有标的资产波动率发生了变化，从波动率为σ=25%变化到σ=26%，期权的价格从c=217.81变化到c=225.80，期权的价格变化了225.80-217.81=7.99元，这个影响也并不是很大。

6、 Rho对期权价格的贡献

最后我们来看看市场利率对期权价格的影响，假设其他条件不变，只有利率发生了变化，从r=3.0%变化到r=3.1%，期权的价格从c=217.81变化到c=218.37，期权的价格变化为218.37-217.81=0.56，利率对期权价格的变化也是非常小。

三、 Delta对冲及gamma对冲

从上面我们的讨论可以得出，标的资产价格，波动率，市场利率，时间这些因素中，只有标的资产价格对期权价格的波动影响是最大的，我们在风险对冲中，关键是要把标的资产对期权价格影响对冲掉。首先，我们应该对冲Delta，使组合处于Delta中性。

我们可以通过卖出1份期权，买进△份标的资产来对冲标的资产价格对期权的影响。

当期权价格上涨了100，期权价格变化-60元，对冲盈亏为55.5元，因此对冲后组合的盈亏只为-4.5元，规避了标的资产价格的影响。另外，如果标的价格下跌100，期权获利51元，对冲头寸亏损55.5元，组合的盈亏为-4.5元，虽然不对冲会带来额外的利润，但是对冲却可以避免更大的损失。

除了对冲Delta风险，我们还需要调整买进（卖出）标的资产的头寸，即对冲gamma风险。

我们可以按照先对冲Delta风险使组合处于Delta中性状态，然后再来对冲gamma风险。

例如我们在标的资产价格为S=3600元，执行价格为K=3600元，卖出一手期权，买入△份标的资产，然后当价格上升到S=3700时再买入0.075份标的资产，或者当价格下降到S=3500时，卖出0.080份标的资产从而对冲标的资产对期权价格的二次导影响，达到新的Delta中性。（作者单位：安徽大学经济学院）

参考文献：

[1] 期权、期货及其他衍生产品（第八版）[M] 约翰·赫尔（John C.Hull）著

[2] 期权投资从入门到精通（第三版）[M] 托马斯·迈克卡菲斯（Thomas McCafferty）著