电力系统电压稳定分析方法综述

王卓欣，李禹鹏

（国网上海市电力公司浦东供电公司，上海 200122）

现代电力系统由于采用了多种控制措施（如短路快速切除、配置先进励磁控制系统等），功角失稳事故的发生概率大为减少。由于负荷的持续增长、大功率远距离交直流输电的出现，电力电子装置的广泛运用，电压稳定性问题已经成为威胁电力系统安全的主要问题［1］。而电力系统在某初始运行状态下遭受扰动，通过电压稳定性分析，可以确定系统中所有母线电压维持在可以接收范围内的能力［2］。

作为电压稳定运行与控制的基础，电压稳定性理论得到了长足发展。虽然电压稳定机制尚未有统一清晰的解释［3－5］，但目前研究人员根据实际情况对分析问题做一定简化后提出的电压稳定分析模型，可对大多数电压稳定问题进行解释，并得到众多有意义的结论。常见的电压稳定分析方法有灵敏度法、连续潮流法、时域仿真法、小扰动法等［6］。依照电压稳定分析是否关联系统的动态变化特性，可将已有的方法分为静态分析方法和动态分析方法两大类。本文重点分析有关电压稳定问题的数学模型，并通过分析典型的静态分析方法和动态分析方法，为电压稳定分析提供参考。

1 电压稳定数学模型

根据电压稳定性定义，可用1组微分代数方程的初值问题，描述扰动后的电压变化轨迹，考察扰动后的电压轨迹是否可以收敛到稳定平衡点。对于电压稳定分析的数学描述，与暂态功角稳定分析的数学描述类似，但电压稳定现象通常具有很长的时间跨度，所涉及到的动态元件的响应速度相差很大，因此其数学模型可表示为不同时域范围上的微分代数方程［7］。系统的暂态和瞬时过程，可用微分代数方程表示：

式中：˙x为具有快速动态的系统状态变量；y为可瞬时变化的系统变量；zC为具有慢速动态的系统状态变量；zD为离散变量；p为可变参数。

系统的中长期过程，可用连续／离散时间动态方程表示：

zD（k＋1）＝hD（x，y，zC，zD（k），p） （3）

zC＝hC（x，y，zC，zD，p） （4）

式中：k为离散时间，k＝0，1，2，…。

电压稳定分析模型特点，如表1所示。

表1 电压稳定分析模型特点

由表1可知，式（1）至式（4）包含了研究系统电压稳定问题的全部模型［7］，可通过研究该类微分—差分—代数方程组获得电压稳定性信息。显然，这是十分困难的。在具体工作中，通常根据关注的时域范围，忽略某些没有必要考虑的动态过程，并根据具体的研究目的选取不同的分析方法。本文将从数学模型式（1）至式（4）出发，对现有典型电压稳定静态和动态分析方法进行归纳比较。

2 电压稳定静态分析方法

2.1 分析方法

由微分方程理论可知［4］，若式（1）至式（4）无平衡点，则系统必然发生电压崩溃。电压稳定静态分析方法是将微分代数方程平衡点是否存在，作为判断系统电压稳定性的依据。

令

很显然，式（1）至式（4）的平衡点，即式（5）至式（8）的解。式（5）至式（8）可简写为：

式中：u为除p之外所有的变量向量。

式（9）包含了电压稳定静态分析的所有模型，实际应用中包括常规潮流模型和各种动态元件的平衡点方程［9］。

静态分析方法主要研究式（9）的解随参数p的缓慢变化的状况。实际中参数p的变化是任意的，为了研究方便，通常选取1种最有代表性的变化模式来研究。

式中：p0为初始参数向量；d为参数增长方向向量；λ为标量，表示参数向量沿指定方向的增长大小。

式（9）可进一步简化为：

参数λ对式（11）解的影响，可表示为优化问题：

该优化问题即求解式（11）的最优解λmax，λmax被称为静态电压稳定极限点，对静态电压稳定分析具有重要意义。对式（12）应用Kuhn-Tucker最优化条件［4］可知，静态电压稳定极限点处的雅可比矩阵φu为奇异阵，而各种电压稳定静态分析方法均建立在此结论基础之上。

2.2 特征值分析法

根据线性代数理论，矩阵的奇异性条件之一为该矩阵有1个特征值为0。因此，可在当前运行点下将式（11）的雅克比矩阵φu进行特征值分解，找到其中模最小的特征值，该特征值的模可以表示当前运行点处雅可比矩阵的奇异程度，也就是静态电压稳定裕度的度量［10］。

上述方法可做进一步修改。不失一般性，以式（11）作为潮流方程为例，其在当前运行点（u，λ）处的修正方程为：

式中：ΔP为节点有功功率平衡量；ΔQ为无功功率平衡量；Δθ为电压相角；ΔU为电压幅值修正量。

假设ΔP＝0，得到：

式中：：＝表示“定义为”。

由文献［6］可知，JQU和φu在包括鞍结分岔点的任何运行点处均具有相同的奇异性，因此JQU可以代替φu作为电压稳定裕度的度量。且由JQU的定义可知，其维数约为φu的一半，因而对其进行特征值分解可节省大量时间。此外，根据文献［10］的报道，随着参数的增长，JQU的最小特征值，比φu的最小特征值具有更好的线性，更适合作为预测系统电压稳定裕度的指标。

特征值分析法是很多静态电压稳定分析方法的基础，具有理论分析上的价值，但由于提供信息单一，计算量较大，因而在工程实际中很少单独使用。

2.3 模态分析法

特征值分析法只利用到矩阵φu或者JQU中距离原点最近的特征值这一信息，文献［11，12］对特征值分析法做进一步改进。对JQU进行特征值分解：

式中：ξ为JQU的右特征向量；Λ为对角特征值矩阵；η为左特征向量。

由式（14）、式（15）可得：

由式（16）可知，JQU的特征值及其对应的右特征向量和左特征向量（模态向量），确定了相应母线的Q—U灵敏度，因此该方法被称为模态分析法。

模态分析法［3］可以用来指明系统在当前运行条件下的相对不稳区域，在电压稳定分析中的应用较广泛。利用模态分析法，构造出一种指明系统电压稳定薄弱线路和薄弱节点的指标，通过算例验证了方法的有效性［13］。

2.4 灵敏度分析法

工程上常把U—Q曲线上某点的斜率作为该运行点下某母线电压稳定性和电压稳定裕度的度量。实际上，JQU逆矩阵的对角元素的值代表了相应母线处U—Q曲线在该运行点处的斜率，即该点处的U—Q灵敏度，通过其数值的正负可以判断该母线处的电压稳定性状况［1］。因此，JQU的逆矩阵即最基本的灵敏度矩阵。

更一般地在式（9）的平衡点处，用η（u，p）表示任何感兴趣的量，则η（u，p）相对参数p变化的灵敏度可由式（17）［4］求得：

式中：▽pη为η（u，p）在参数向量p张成的空间中的梯度场；▽uη为η（u，p）在变量向量u张成的空间中的梯度场。

当系统趋向于静态电压稳定极限点时，式（17）定义的灵敏度将逐渐趋于无穷大［14］，这可作为判别和监视系统静态电压稳定性的依据。由于灵敏度法具有严密的数学背景，并且意义明确，所以其在电压稳定分析与控制方面有着比较广泛的应用［15－20］。

2.5 连续潮流分析法

若得到式（11）的解随着λ变化的完整轨迹，即可获得需要的静态电压稳定信息，进而确定静态电压稳定极限点或当前运行点的静态电压稳定裕度。该方法经过文献［21-23］的发展，在理论性和实用性方面均已比较完善。随着参数λ的变化，式（11）的解会有如下两个变化阶段：

1）当参数λ从0逐渐增大，且距离静态电压稳定极限点尚远时，取λ为所谓的“延拓参数”，逐步求解式（11）。

2）当平衡点距离静态电压稳定极限点足够近时，式（11）的雅可比矩阵φu的病态性会逐渐增强，这时，如果继续增大参数λ，会导致求解式（11）的牛顿迭代过程不收敛。此时，需要选取某电压幅值变量（通常选取最小者或者减小最快者）作为延拓参数，并减小该延拓参数，求解式（11）得到下一个解点处u中除延拓参数外的余下分量以及参数λ的值。若λ开始变小，则说明运行点已经越过了静态电压稳定极限点。

连续潮流法可以提供许多关于静态电压稳定裕度的信息，但需要较长的计算时间，因此常与灵敏度法、特征值分析法结合使用［24－25］。

2.6 崩溃点分析法

在静态电压稳定研究中，临界点具有重要意义。连续潮流法虽然可以得到临界点在内的完整曲线，但由于数值计算方法的近似性，并不能直接获得临界点的准确值。直接求取静态电压临界点时，应用牛顿法求解式（11）的“决定性系统”，得到的解即式（11）的临界点［26］。电力系统中常用Moore-Spence方程描述“决定性系统”［27］：

式中：l为n维任意向量；v为φu（u，λ）的右特征向量。

由文献［27，28］可知，当（u，λ，w）是式（18）的正解时，（u，λ）为式（11）的临界点。

崩溃点分析法理论背景明确，其难点在于分析实际电力系统时方程维数较高，求解相对困难。文献［26，29］提出了两种降阶求解式（18）的方法，应用效果良好。此外，文献［26］指出，崩溃点法和连续潮流法结合使用，可提高连续潮流在崩溃点处的计算准确性；文献［30，31］结合崩溃点法和连续潮流法，详细分析了交直流混合系统的静态电压稳定性，取得流入良好的应用效果。

3 电压稳定动态分析方法

3.1 数值积分法

3.1.1 暂态时域仿真

数值积分法是研究大扰动后暂态电压稳定性的最准确实用的方法，其研究的时域范围小于10 s，涉及到发电机机电暂态过程、励磁系统、调速系统、快速无功补偿装置、HVDC和异步电动机的动态响应过程。

暂态时域仿真的数学模型与式（1）至式（4）类似，但不考虑参数p的缓慢变化，慢动态过程式（4）也被忽略，则暂态时域仿真数学模型变为：

显然，暂态电压稳定分析数学模型式（19）、式（20）与暂态功角稳定分析数学模型完全一致。因此，可以使用相同的数值积分方法，对暂态电压稳定问题进行时域仿真分析。但在暂态电压稳定分析中，发电机励磁［18］、快速无功补偿装置［32］以及负荷的动态特性［33－35］与电压稳定性密切相关，因此在使用暂态功角稳定分析程序进行暂态电压稳定分析时，需要格外注意以上三种动态模型的建立。总体来说，基于数值积分的时域仿真法，目前仍是暂态电压稳定研究中应用最广泛的方法。

3.1.2 中长期时域仿真

许多影响电压稳定性的系统元件的响应时间会持续数分钟，历史上的电压崩溃事故也证实了这一点。典型的影响中长期电压稳定的因素有投切电容器、励磁限制、有载调压变压器、负荷恢复特性等。此外，影响暂态电压稳定性的发电机等因素，对中长期电压稳定性也会产生影响。因此，完整的中长期电压稳定分析研究对象，包括式（1）至式（4）描述的短期、长期、离散以及连续动态变化过程。

在基于数值积分方法的中长期时域仿真中，需把离散变量作为连续变量处理［36］，即把式（1）至式（4）中的离散长期变量zD和连续长期变量zC，用连续长期变量z统一表示；离散长期过程hD和连续长期过程hC，用连续长期过程h统一表示。这样，式（1）至式（4）变为：

式中：x为快动态过程状态变量；y为代数变量；z为慢动态过程的状态变量。

式（21）至式（23）包含了快动态过程和慢动态过程，因而该模型为刚性系统。刚性系统仿真中的步长有3种处理方法［3，12，36－39］：一是采用足够小的步长进行数值积分；二是在快动态过程结束后加大积分步长；三是根据系统行为自动调整步长。第1种方法与暂态稳定分析方法没有区别，后两种方法中变量的变化率可作为调整步长的判据。由于加大了步长，需采用隐式积分法保证数值稳定性，并且需采用微分代数方程联立求解，以保证收敛性。

文献［40-42］对基于数值积分法的中长期电压稳定时域仿真的求解方法和建模要求进行了论述，并通过算例分析进行验证。目前，用于中长期时域仿真的系统建模，仍需要更深入的研究［43］。

3.1.3 准稳态长期时域仿真法

采用数值积分法求解微分代数方程，即式（21）至式（23），可对大扰动后的中长期电压稳定性进行精确分析，但该方法计算时间较长，难以考虑参数连续增长和离散动作元件对系统的影响。而在分析中长期电压稳定性问题时，相比于慢动态过程，快动态过程会很快结束。因此，可以把短期动态方程式（1）用平衡点方程式（5）表示，以提高计算速度。长期时域仿真准稳态法［7］的数学模型为：

应用准稳态方法处理快动态过程的合理性，可参见文献［4，6］。准稳态长期时域仿真原理示意图，如图1所示。

图1给出了应用准稳态法得到的扰动后连续3个步长范围内的时域仿真曲线［14］。其中，纵坐标表示某条母线的电压幅值；h表示时间步长；点A到A′、B到B′的变化，由通常代表LTC和发电机过励磁限制动作的离散动态过程式（25）引起；点A′到B、B′到C的变化，由表示负荷慢速恢复特性［8］的长期连续动态过程式（26），或者系统参数随时间的缓慢变化引起。图1中各点的计算流程如图2所示。

文献［7，17，18，44］应用该方法对标准算例和实际电力系统算例进行分析，结果表明在进行中长期电压稳定分析时，准稳态方法的精度满足要求，并且计算速度较快。但文献［14］指出，使用该方法需要注意两方面问题：一是扰动较大时，准稳态方法可能会忽略短期的电压不稳定过程，为此文献［14］推荐，在暂态时域内采用数值积分求解式（1）至式（2），在快动态过程消失后采用准稳态方法求解式（1）至式（4）；二是系统发生电压崩溃时，可能会导致暂态方程式（1）不存在平衡点，此时将无法使用准稳态方法进行分析，但在实际应用中，电压崩溃之后的系统电压稳定性，通常是没有实际意义和研究价值的。

3.2 基于微分方程定性理论的小扰动分析方法

时域仿真方法研究大扰动后的电压稳定性非常有效，而对于系统平衡点附近的小扰动稳定性可采用微分方程定性理论进行分析，通过研究微分方程解的一般性质来进行分析。研究平衡点处的小扰动稳定性，不需要考虑式（1）至式（4）中参数p的影响，一般认为离散动态元件不动作。因此，小扰动稳定性研究的数学模型与式（21）至式（23）完全一致。在大多数情况下，非线性微分代数方程组，即式（21）至式（23）的一次线性近似系统，可用来研究原系统在平衡点处的局部性质，此时可应用成熟的线性系统理论进行分析。

一次线性近似系统可表示为：

式中：Δ为相应变量的扰动量；方程左侧为各变量扰动量对时间的变化率；系数矩阵中的各分量为式（21）至式（23）对各变量的偏导数。

电压稳定问题涉及时间范围通常较宽［1］，同时涉及到几乎所有的电力系统机电和机械动态过程。如果对所有动态元件建立模型并进行线性化，则会带来极大的分析难度。因而，如何根据研究目的建立尽可能简化、又能准确反映系统动态过程的模型，成为小扰动分析的关键［45］。

严格来说，即使研究局部性质时，一次线性近似系统也不是总能替代原系统。文献［46］指出，只有系统双曲平衡点（该平衡点处的1阶线性系统的系数矩阵没有虚轴上的特征值）附近的局部稳定性，才可以由线性化方法来分析，而对于系统的非双曲平衡点，则需要采用中心流形理论［47］来分析其局部稳定性。

3.3 基于分岔理论的电压稳定动态分析方法

历史上电压失稳事故表明，随着系统某些参数缓慢变化，系统电压可能会出现突然崩溃现象［48］，该现象可用分岔理论来分析。

对式（1）至式（4），不考虑离散变量（或将离散变量连续化），并把描述快动态过程和慢动态过程的微分方程用统一的微分方程~f（·）表示，则应用分岔理论分析电压稳定的数学模型为：

应用一次线性近似系统描述上述模型可得：

假设gy非奇异，则可消去Δy，进而可得：

根据现有研究成果［14］，在单参数微分代数方程式（28）至式（29）中，存在3种分岔现象。

1）鞍结点分岔 在鞍结分岔点，1对平衡点重合并消失。该分岔现象对应于母线电压的快速崩溃，在电压失稳中经常出现。式（28）至式（29）所述系统，处于鞍结分岔点的判别条件为Fx奇异。实际上，鞍结点分岔属于静态分岔范畴。

2）Hopf分岔 在Hopf分岔点处，Fx的1对共轭特征值穿越虚轴。该分岔对应于系统的振荡失稳。文献［27，28］详细分析一般形式单参数微分系统Hopf分岔的理论基础和计算方法；文献［46］对电力系统中Hopf分岔的计算和应用做了全面的总结。

3）奇异诱导分岔 在奇异诱导分岔点处，式（32）中矩阵gy奇异。文献［49］给出了电力系统奇异诱导分岔点的完整计算方法；文献［50］对电力系统奇异诱导分岔现象进行了深入研究。

研究表明，分岔理论可以深刻解释电压失稳机理，但由于电力系统的高度复杂性，分岔理论尚不能作为分析系统电压稳定性的工程实用方法。

4 电压稳定分析方法的模型演化

在电压稳定数学模型式（1）至式（4）的基础上，根据不同研究目的，并且在计算精度和速度之间进行取舍，可对原模型进行不同程度的简化，进而得到许多具有使用价值的电压稳定分析方法。电压稳定分析数学模型演化示意图如图3所示。

由图3可以看出，分析电力系统电压稳定问题所采用的各种实用方法，均可以归结为对非线性微分—代数系统的研究。当研究系统参数缓慢变化下的系统行为时，可只关注微分—代数系统的平衡点条件，进而研究对象转化为非线性代数方程；当研究小扰动下的系统行为时，可对原非线性微分代数系统进行线性化，把研究对象转化为线性微分方程；当研究大扰动下的系统行为时，可使用数值积分方法求解非线性微分代数方程，对系统进行时域仿真分析。

图3将现有的电压稳定分析方法归纳于一个统一的数学框架中，有利于分析具体问题时选取合适的数学工具，并为发展新的电压稳定分析方法以及利用数学理论探索电压稳定机理提供有利条件。

图3 电压稳定分析数学模型演化示意图

5 结论

本文在统一的数学模型框架内对各种电压稳定静态分析方法和动态分析方法的理论基础、数学模型、物理意义和适用范围进行了分析。

电压稳定静态分析方法中，特征值分析法和灵敏度法可以得到度量当前运行点下静态电压稳定裕度的指标；连续潮流法可以得到系统电压随负荷增长的完整曲线；崩溃点法可以准确快速得到该曲线上的转折点，二者可以结合使用。从理论上说，静态分析方法研究的是系统动态方程的平衡点存在性问题，只能给出电压稳定的必要条件，但由于静态分析方法简单快速，因此得到广泛应用。

电压稳定动态分析方法是深入理解电压稳定机理和进行电压稳定控制的重要基础和工具。其中，时域仿真法方法成熟、结果精确，是进行离线分析和验证控制效果的必要工具；小扰动分析法具有完整的理论基础，但在电压稳定模型的建立和提高计算速度方面仍有发展空间；分岔分析法具有严格的非线性系统理论基础，可以分析电压稳定的动力学本质，沟通静态分析方法和动态分析方法，但不适合分析实际电力系统的电压稳定问题。

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