巧用几何直观 妙解“鸡兔同笼”

许勇

我国古代有一趣题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？这四句话的意思是说有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚，问笼中各有几只鸡和几只兔？

这就是著名的“鸡兔同笼”问题。解答这类题目一般用“假设法”来求解。如果假设这35只全是鸡，每只鸡有2只脚，35只鸡就有35×2=70只脚，但实际上有94只脚，相差94-70=24只脚。这是因为把兔看成了鸡。我们知道，每把一只兔看成一只鸡就会少4-2=2只脚，那么把多少只兔看成鸡就能少24只脚呢？这样，就可以求出兔的只数是：24÷2=12（只），则鸡就有35-12=23（只）。当然，也可以假设这35只全是兔，解题思路同上。随着大家对“鸡兔同笼”问题的深入研究，出现了一些另类解法，比如“砍足法”和“抬足法”等。

经过分析和研究，我发现了这样一种解法（如图1）：用两个长方形的长分别表示每只鸡和每只兔的脚数，宽分别表示鸡和兔的只数。因为长方形的面积=长×宽，所以，两个长方形的面积分别表示鸡的总脚数（每只鸡的脚数×鸡的只数）和兔的总脚数（每只兔的脚数×兔的只数），两个长方形的面积和就表示鸡和兔一共有94只脚。通过“数形结合”，将“鸡兔同笼”问题转化成了几何中的“面积问题”。原来要求鸡和兔各多少只，就可以根据两个长方形的面积和以及两个长方形的长，分别求出它们的宽。怎样来求两个长方形的宽各是多少呢？因为每只鸡有2只脚，每只兔有4只脚，所以，下面的长方形的长实际是上面长方形的长的2倍，我们把下面的长方形从中间切开，平分成左右两部分，就可以把原来的组合图形拼成一个新的长方形（如图2）。

由于新长方形的面积是94（94只脚），长是2（每只鸡的脚数），则宽就应该是：94÷2=47。这时新长方形的宽（鸡的只数+兔的只数+兔的只数），比原来两个长方形的宽（鸡的只数+兔的只数）多47-35=12，实际多出的12就是兔的只数，当然鸡就是35-12=23（只）。

除此之外，还有另外一种拼法（如图3）。

原来的组合图形通过变形，仍然可以拼成一个新的长方形。这时新长方形的面积是94（94只脚），长是4（每只兔的脚数），宽就应该是94÷4=23.5（兔的只数+鸡的只数的一半），比原来两个长方形的宽（鸡的只数+兔的只数）少35-23.5=11.5，实际上少的11.5就是鸡的只数的一半，因此鸡的只数就是11.5×2=23（只），则兔的只数是35-23=12（只）。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》把几何直观作为十大核心概念之一提出来，足见当前数学教育界在修订数学课程标准、实施课程改革时对几何直观的关注度，也充分说明几何直观对于学生的数学学习的重要性。那么，什么是几何直观呢？几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于学生探索解决问题的思路、预测结果。在“鸡兔同笼”问题的新解中，我就是充分利用几何直观，把抽象的数量关系转化为适当的几何图形，从图形的直观特征中发现了数量之间的联系，实现了“数”与“形”的相互转化，达到了化难为易、化繁为简、化隐为显的目的。在“鸡兔同笼”问题的教学中，如果教师能引导学生运用“数形结合”的方法去分析问题和解决问题，学生学起来就会轻松愉快，容易掌握且印象深刻。更重要的是，学生能从中充分体验到几何直观的作用和优势，从而有效地发展他们的几何直观能力。

（作者单位：重庆市开县汉丰第五中心小学）

我国古代有一趣题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？这四句话的意思是说有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚，问笼中各有几只鸡和几只兔？

这就是著名的“鸡兔同笼”问题。解答这类题目一般用“假设法”来求解。如果假设这35只全是鸡，每只鸡有2只脚，35只鸡就有35×2=70只脚，但实际上有94只脚，相差94-70=24只脚。这是因为把兔看成了鸡。我们知道，每把一只兔看成一只鸡就会少4-2=2只脚，那么把多少只兔看成鸡就能少24只脚呢？这样，就可以求出兔的只数是：24÷2=12（只），则鸡就有35-12=23（只）。当然，也可以假设这35只全是兔，解题思路同上。随着大家对“鸡兔同笼”问题的深入研究，出现了一些另类解法，比如“砍足法”和“抬足法”等。

经过分析和研究，我发现了这样一种解法（如图1）：用两个长方形的长分别表示每只鸡和每只兔的脚数，宽分别表示鸡和兔的只数。因为长方形的面积=长×宽，所以，两个长方形的面积分别表示鸡的总脚数（每只鸡的脚数×鸡的只数）和兔的总脚数（每只兔的脚数×兔的只数），两个长方形的面积和就表示鸡和兔一共有94只脚。通过“数形结合”，将“鸡兔同笼”问题转化成了几何中的“面积问题”。原来要求鸡和兔各多少只，就可以根据两个长方形的面积和以及两个长方形的长，分别求出它们的宽。怎样来求两个长方形的宽各是多少呢？因为每只鸡有2只脚，每只兔有4只脚，所以，下面的长方形的长实际是上面长方形的长的2倍，我们把下面的长方形从中间切开，平分成左右两部分，就可以把原来的组合图形拼成一个新的长方形（如图2）。

由于新长方形的面积是94（94只脚），长是2（每只鸡的脚数），则宽就应该是：94÷2=47。这时新长方形的宽（鸡的只数+兔的只数+兔的只数），比原来两个长方形的宽（鸡的只数+兔的只数）多47-35=12，实际多出的12就是兔的只数，当然鸡就是35-12=23（只）。

除此之外，还有另外一种拼法（如图3）。

原来的组合图形通过变形，仍然可以拼成一个新的长方形。这时新长方形的面积是94（94只脚），长是4（每只兔的脚数），宽就应该是94÷4=23.5（兔的只数+鸡的只数的一半），比原来两个长方形的宽（鸡的只数+兔的只数）少35-23.5=11.5，实际上少的11.5就是鸡的只数的一半，因此鸡的只数就是11.5×2=23（只），则兔的只数是35-23=12（只）。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》把几何直观作为十大核心概念之一提出来，足见当前数学教育界在修订数学课程标准、实施课程改革时对几何直观的关注度，也充分说明几何直观对于学生的数学学习的重要性。那么，什么是几何直观呢？几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于学生探索解决问题的思路、预测结果。在“鸡兔同笼”问题的新解中，我就是充分利用几何直观，把抽象的数量关系转化为适当的几何图形，从图形的直观特征中发现了数量之间的联系，实现了“数”与“形”的相互转化，达到了化难为易、化繁为简、化隐为显的目的。在“鸡兔同笼”问题的教学中，如果教师能引导学生运用“数形结合”的方法去分析问题和解决问题，学生学起来就会轻松愉快，容易掌握且印象深刻。更重要的是，学生能从中充分体验到几何直观的作用和优势，从而有效地发展他们的几何直观能力。

（作者单位：重庆市开县汉丰第五中心小学）

我国古代有一趣题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？这四句话的意思是说有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚，问笼中各有几只鸡和几只兔？

这就是著名的“鸡兔同笼”问题。解答这类题目一般用“假设法”来求解。如果假设这35只全是鸡，每只鸡有2只脚，35只鸡就有35×2=70只脚，但实际上有94只脚，相差94-70=24只脚。这是因为把兔看成了鸡。我们知道，每把一只兔看成一只鸡就会少4-2=2只脚，那么把多少只兔看成鸡就能少24只脚呢？这样，就可以求出兔的只数是：24÷2=12（只），则鸡就有35-12=23（只）。当然，也可以假设这35只全是兔，解题思路同上。随着大家对“鸡兔同笼”问题的深入研究，出现了一些另类解法，比如“砍足法”和“抬足法”等。

经过分析和研究，我发现了这样一种解法（如图1）：用两个长方形的长分别表示每只鸡和每只兔的脚数，宽分别表示鸡和兔的只数。因为长方形的面积=长×宽，所以，两个长方形的面积分别表示鸡的总脚数（每只鸡的脚数×鸡的只数）和兔的总脚数（每只兔的脚数×兔的只数），两个长方形的面积和就表示鸡和兔一共有94只脚。通过“数形结合”，将“鸡兔同笼”问题转化成了几何中的“面积问题”。原来要求鸡和兔各多少只，就可以根据两个长方形的面积和以及两个长方形的长，分别求出它们的宽。怎样来求两个长方形的宽各是多少呢？因为每只鸡有2只脚，每只兔有4只脚，所以，下面的长方形的长实际是上面长方形的长的2倍，我们把下面的长方形从中间切开，平分成左右两部分，就可以把原来的组合图形拼成一个新的长方形（如图2）。

由于新长方形的面积是94（94只脚），长是2（每只鸡的脚数），则宽就应该是：94÷2=47。这时新长方形的宽（鸡的只数+兔的只数+兔的只数），比原来两个长方形的宽（鸡的只数+兔的只数）多47-35=12，实际多出的12就是兔的只数，当然鸡就是35-12=23（只）。

除此之外，还有另外一种拼法（如图3）。

原来的组合图形通过变形，仍然可以拼成一个新的长方形。这时新长方形的面积是94（94只脚），长是4（每只兔的脚数），宽就应该是94÷4=23.5（兔的只数+鸡的只数的一半），比原来两个长方形的宽（鸡的只数+兔的只数）少35-23.5=11.5，实际上少的11.5就是鸡的只数的一半，因此鸡的只数就是11.5×2=23（只），则兔的只数是35-23=12（只）。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》把几何直观作为十大核心概念之一提出来，足见当前数学教育界在修订数学课程标准、实施课程改革时对几何直观的关注度，也充分说明几何直观对于学生的数学学习的重要性。那么，什么是几何直观呢？几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于学生探索解决问题的思路、预测结果。在“鸡兔同笼”问题的新解中，我就是充分利用几何直观，把抽象的数量关系转化为适当的几何图形，从图形的直观特征中发现了数量之间的联系，实现了“数”与“形”的相互转化，达到了化难为易、化繁为简、化隐为显的目的。在“鸡兔同笼”问题的教学中，如果教师能引导学生运用“数形结合”的方法去分析问题和解决问题，学生学起来就会轻松愉快，容易掌握且印象深刻。更重要的是，学生能从中充分体验到几何直观的作用和优势，从而有效地发展他们的几何直观能力。

（作者单位：重庆市开县汉丰第五中心小学）