高中数学不等式解法探讨

马汉敏

不等式是数学知识的重要组成部分，是数学对现实世界中不等关系的反映，是学生以后研究数量大小关系的基础，也是学习数学和其他学科的基础.加强不等式的解法指导，提高不等式的教学效果，可以很好地提高学生的数学能力.下面笔者就此谈谈几点体会.

一、不等式的概念及形式

所谓不等式就是由数学符号（“>”、“<”等符号）连接的两个数或代数式，并表示它们之间不等的关系，这个式子就叫做不等式[1].不等式的形式主要包括以下几种：

1.一元一次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数为一次的不等式.

2.一元二次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数为二次的不等式.

3.二元一次不等式：含有两个未知数且未知数的最高次数均为一次的不等式.

4.高次不等式：未知数的最高次数大于2的不等式.

5.分式不等式：含有分式且分母中含有未知数的不等式.

6.无理不等式：含有根号且根号中含有未知数的不等式.

下面简单分析、探讨高中数学部分不等式的解法.

二、不同类型不等式的解法

1.一元二次不等式的解集求法

一元二次不等式主要包括ax2+bx+c>0和ax2+bx+c<0两种形式.在高中解一元二次不等式时，应该结合一元二次函数[2]，利用二次函数的图像帮助学生理解不等式的解集.如，当a>0时，一元二次不等式解集如下：（1）当Δ>0时，方程ax2+bx+c=0有两个不同的实根，且x10的解集为{xx2}；不等式ax2+bx+c<0的解集为{x10的解集为{x∈R且x≠x0}，不等式ax2+bx+c<0的解集为；（3）当Δ<0，方程ax2+bx+c=0无实根，不等式ax2+bx+c>0的解集为{x∈R}，不等式ax2+bx+c<0的解集为.

当a<0时，可以在不等式的两边同时乘以-1，从而转化为a>0时来解.

2.根轴法解一元高次不等式

一元高次不等式为f（x）=a（x-x1）（x-x2）…（x-xn），且（x10），当x>xn时，f（x）>0.如果xn-10的解集；曲线在x轴下方的负区间则是f（x）<0的解集，这就是根轴法解一元高次不等式[3].

在用这种方法解不等式时，首先要求不等式的右边为零，左边因式的最高次项的系数要为正.同时要分清方程根的大小，在线轴上标根时要考虑根的大小，而不是根的距离；其次曲线要从左上方开始；最后遇到重根时，奇次重根则要穿透线轴，偶根穿而不透，做到“奇穿偶回”.写不等式解集时，应做到：遇“=”取根，无“=”不取.

3.分式不等式的解法

无论何种分式不等式，都应通过变形将其变为“左边分式，右边为0”的形式.

例如，解不等式3x2-8x+111x2-7x+12>1.

解：原式化为3x2-8x+111x2-7x+12-1>0

3x2-8x+11-（x2-7x+12）1x2-7x+12>0

即2x2-x-11x2-7x+12>0

（2x+1）（x-1）1（x-3）（x-4）>0

可以得出方程（2x+1）（x-1）（x-3）（x-4）=0的根为xa=-1/2、xb=1、xc=3、cd=4.所以其解集为{x∣x<-1/2或14}.

4.含绝对值的不等式的解法

众所周知，解含有绝对值的不等式关键就是要去绝对值符号，一般方法主要有公式法、零点区间讨论法和平方法[4].

（1）平方法

当不等式两边都是非负数时，可以进行平方处理且不等号的方向不会发生改变.

例如，解不等式∣x-2∣>∣3x-2∣.

解：∣x-2∣2>∣3x-2∣2

x2-4x+4>9x2-12x+4

8x2-8x<0

解集为{x∣0

（2）讨论法

解不等式：∣x2-11x+11∣>x.

解：根据不等式的意义可知.当x<0或者x=0时，这个不等式是恒成立的.所以我们要讨论x>0的情况.

当x>0时，不等式可化为x2-11x+11>x

x2-12x+11>0

（x-11）（x-1）>0

不等式是数学知识的重要组成部分，是数学对现实世界中不等关系的反映，是学生以后研究数量大小关系的基础，也是学习数学和其他学科的基础.加强不等式的解法指导，提高不等式的教学效果，可以很好地提高学生的数学能力.下面笔者就此谈谈几点体会.

一、不等式的概念及形式

所谓不等式就是由数学符号（“>”、“<”等符号）连接的两个数或代数式，并表示它们之间不等的关系，这个式子就叫做不等式[1].不等式的形式主要包括以下几种：

1.一元一次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数为一次的不等式.

2.一元二次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数为二次的不等式.

3.二元一次不等式：含有两个未知数且未知数的最高次数均为一次的不等式.

4.高次不等式：未知数的最高次数大于2的不等式.

5.分式不等式：含有分式且分母中含有未知数的不等式.

6.无理不等式：含有根号且根号中含有未知数的不等式.

下面简单分析、探讨高中数学部分不等式的解法.

二、不同类型不等式的解法

1.一元二次不等式的解集求法

一元二次不等式主要包括ax2+bx+c>0和ax2+bx+c<0两种形式.在高中解一元二次不等式时，应该结合一元二次函数[2]，利用二次函数的图像帮助学生理解不等式的解集.如，当a>0时，一元二次不等式解集如下：（1）当Δ>0时，方程ax2+bx+c=0有两个不同的实根，且x10的解集为{xx2}；不等式ax2+bx+c<0的解集为{x10的解集为{x∈R且x≠x0}，不等式ax2+bx+c<0的解集为；（3）当Δ<0，方程ax2+bx+c=0无实根，不等式ax2+bx+c>0的解集为{x∈R}，不等式ax2+bx+c<0的解集为.

当a<0时，可以在不等式的两边同时乘以-1，从而转化为a>0时来解.

2.根轴法解一元高次不等式

一元高次不等式为f（x）=a（x-x1）（x-x2）…（x-xn），且（x10），当x>xn时，f（x）>0.如果xn-10的解集；曲线在x轴下方的负区间则是f（x）<0的解集，这就是根轴法解一元高次不等式[3].

在用这种方法解不等式时，首先要求不等式的右边为零，左边因式的最高次项的系数要为正.同时要分清方程根的大小，在线轴上标根时要考虑根的大小，而不是根的距离；其次曲线要从左上方开始；最后遇到重根时，奇次重根则要穿透线轴，偶根穿而不透，做到“奇穿偶回”.写不等式解集时，应做到：遇“=”取根，无“=”不取.

3.分式不等式的解法

无论何种分式不等式，都应通过变形将其变为“左边分式，右边为0”的形式.

例如，解不等式3x2-8x+111x2-7x+12>1.

解：原式化为3x2-8x+111x2-7x+12-1>0

3x2-8x+11-（x2-7x+12）1x2-7x+12>0

即2x2-x-11x2-7x+12>0

（2x+1）（x-1）1（x-3）（x-4）>0

可以得出方程（2x+1）（x-1）（x-3）（x-4）=0的根为xa=-1/2、xb=1、xc=3、cd=4.所以其解集为{x∣x<-1/2或14}.

4.含绝对值的不等式的解法

众所周知，解含有绝对值的不等式关键就是要去绝对值符号，一般方法主要有公式法、零点区间讨论法和平方法[4].

（1）平方法

当不等式两边都是非负数时，可以进行平方处理且不等号的方向不会发生改变.

例如，解不等式∣x-2∣>∣3x-2∣.

解：∣x-2∣2>∣3x-2∣2

x2-4x+4>9x2-12x+4

8x2-8x<0

解集为{x∣0

（2）讨论法

解不等式：∣x2-11x+11∣>x.

解：根据不等式的意义可知.当x<0或者x=0时，这个不等式是恒成立的.所以我们要讨论x>0的情况.

当x>0时，不等式可化为x2-11x+11>x

x2-12x+11>0

（x-11）（x-1）>0

不等式是数学知识的重要组成部分，是数学对现实世界中不等关系的反映，是学生以后研究数量大小关系的基础，也是学习数学和其他学科的基础.加强不等式的解法指导，提高不等式的教学效果，可以很好地提高学生的数学能力.下面笔者就此谈谈几点体会.

一、不等式的概念及形式

所谓不等式就是由数学符号（“>”、“<”等符号）连接的两个数或代数式，并表示它们之间不等的关系，这个式子就叫做不等式[1].不等式的形式主要包括以下几种：

1.一元一次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数为一次的不等式.

2.一元二次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数为二次的不等式.

3.二元一次不等式：含有两个未知数且未知数的最高次数均为一次的不等式.

4.高次不等式：未知数的最高次数大于2的不等式.

5.分式不等式：含有分式且分母中含有未知数的不等式.

6.无理不等式：含有根号且根号中含有未知数的不等式.

下面简单分析、探讨高中数学部分不等式的解法.

二、不同类型不等式的解法

1.一元二次不等式的解集求法

一元二次不等式主要包括ax2+bx+c>0和ax2+bx+c<0两种形式.在高中解一元二次不等式时，应该结合一元二次函数[2]，利用二次函数的图像帮助学生理解不等式的解集.如，当a>0时，一元二次不等式解集如下：（1）当Δ>0时，方程ax2+bx+c=0有两个不同的实根，且x10的解集为{xx2}；不等式ax2+bx+c<0的解集为{x10的解集为{x∈R且x≠x0}，不等式ax2+bx+c<0的解集为；（3）当Δ<0，方程ax2+bx+c=0无实根，不等式ax2+bx+c>0的解集为{x∈R}，不等式ax2+bx+c<0的解集为.

当a<0时，可以在不等式的两边同时乘以-1，从而转化为a>0时来解.

2.根轴法解一元高次不等式

一元高次不等式为f（x）=a（x-x1）（x-x2）…（x-xn），且（x10），当x>xn时，f（x）>0.如果xn-10的解集；曲线在x轴下方的负区间则是f（x）<0的解集，这就是根轴法解一元高次不等式[3].

在用这种方法解不等式时，首先要求不等式的右边为零，左边因式的最高次项的系数要为正.同时要分清方程根的大小，在线轴上标根时要考虑根的大小，而不是根的距离；其次曲线要从左上方开始；最后遇到重根时，奇次重根则要穿透线轴，偶根穿而不透，做到“奇穿偶回”.写不等式解集时，应做到：遇“=”取根，无“=”不取.

3.分式不等式的解法

无论何种分式不等式，都应通过变形将其变为“左边分式，右边为0”的形式.

例如，解不等式3x2-8x+111x2-7x+12>1.

解：原式化为3x2-8x+111x2-7x+12-1>0

3x2-8x+11-（x2-7x+12）1x2-7x+12>0

即2x2-x-11x2-7x+12>0

（2x+1）（x-1）1（x-3）（x-4）>0

可以得出方程（2x+1）（x-1）（x-3）（x-4）=0的根为xa=-1/2、xb=1、xc=3、cd=4.所以其解集为{x∣x<-1/2或14}.

4.含绝对值的不等式的解法

众所周知，解含有绝对值的不等式关键就是要去绝对值符号，一般方法主要有公式法、零点区间讨论法和平方法[4].

（1）平方法

当不等式两边都是非负数时，可以进行平方处理且不等号的方向不会发生改变.

例如，解不等式∣x-2∣>∣3x-2∣.

解：∣x-2∣2>∣3x-2∣2

x2-4x+4>9x2-12x+4

8x2-8x<0

解集为{x∣0

（2）讨论法

解不等式：∣x2-11x+11∣>x.

解：根据不等式的意义可知.当x<0或者x=0时，这个不等式是恒成立的.所以我们要讨论x>0的情况.

当x>0时，不等式可化为x2-11x+11>x

x2-12x+11>0

（x-11）（x-1）>0