多个体系统的二分蜂拥一致性

摘 要：文章研究了无虚拟领导者的二分蜂拥一致性问题。提出的算法保证了二分蜂拥行为，同时取消了隐函数。通过把运动的集合分成两族，只要在不同族里的个体以近似相同的速率往相反的方向运动，两族就能各自实现一致性。

关键词：多个体；二分蜂拥；一致性

引言

经常在生物蜂拥和人类集体行动中遇到个体有不同的运动目标，或者不同的运动方向，这些可能是由利益冲突、内部不同意见或外部干扰等等所引起[3，4]。Couzin[5]研究整体集合选择的方向，当有些个体在优先权上不同，而且会发现当领导者意见相差不多时，跟随者将会平均方向。随着意见分歧的加大，所有的跟随者会从原来的一个方向到两个完全不同的方向。Conradt[6]调查在整体行为上的内部利益冲突的机制，特别是同步速率和分裂。整体分裂成两个族，发生在整体的大的冲突上[1]。整体分裂会有许多有利的例子，如灾难逃离[6]和自然界捕食者和被捕者的情景。但是在二分机制的深入研究也在进行，而且对于二分蜂拥设计一个分裂控制方法也是具有挑战性的任务。这些促使我们分析性地调查研究在生物集体运动和社会整体行为的分裂现象背后的物理规则。

1 基本知识

令G（V，？着，A）代表一个符号图，其中，V={1，…，n}为节点集合；？着？哿V×V为边集合；A∈Rn×n是图G的邻接矩阵，其中aij=±1？圳（j，i）∈？着，否则aij=0。有自环的图，文章不考虑。G（A）的路径？籽是边集合的连通 ，其中 所有节点k1，…，kp互相不同的。文章中Rm是一个m维的实矢量空间；Im是一个m×m的单位矩阵，而且1n=[1，…，1]T∈Rn。另外，符号||·||，？茚分别代表欧几里德范数，克罗内克积。

2 问题描述

考虑下面的二阶多个体系统：

（1）

假定位置和速率是的网络拓扑结构，分别用 ，时变网络有相同的半径R，那么个体i的邻居可以表示为Ni={j|||qi-qj||

定义1[1，2]如果多个体系统（1）作为一个整体最后分成两族，以同样的速率，其中一族中的个体往相同的方向运动；同时，另一族中的个体往相反方向运动，称多个体系统（1）是一个二分蜂拥。也就是对于任意的i，j∈E，limt→∞pi（t）=±limt→∞Pj（t）。更进一步，在整个进程中，不存在任何冲突，即对于任意的i，j∈E有 。

3 一致性分析

设计一个控制协议：

（2）

在ui中，不仅给出了个体的位置关系，也考虑了个体的速度关系。同时取消了隐函数，不同于文献[1]的情形。

定理1假设网络Gp（A）是一个连通的无向图，图G1（t）和G2（t）都是连通的。在（2）作用下，如果GP（A）是平衡图，网络G1（t）和G2（t）是连通的， ，则多个体系统（1）实现二分蜂拥一致性。

证明：由于GP（A）是平衡图，从引理1中得出存在一个正规变换D∈D，D=diag（[？滓1，？滓2，…，？滓n]），？滓i∈{±1}，那么DTAD是非负的。考虑变换z=（D？茚Im）p，p=[p■■，…，p■■]T，z=[z■■，…，z■■]T，系统（1）可以重新写为 。

构造一个李雅普诺夫函数函数：

，得：

由于■（t）是半负定的，zi（t）是有界的，因此，从第二个方程看出，如果个体i和个体j在同一个族Gl，l∈{1，2}；||qij||∈（0，R）；个体间的冲突可以避免，G1（t）和G2（t）是连通的， ，而且■（t）也是有界的。由于 有 。多个体系统（1）在（2）的作用下，实现二分蜂拥一致性。

4 结束语

文章设计一个二分蜂拥控制协议，使得整体分裂为两个向相反方向运动的族。用平衡图谱理论，可以使系统实现蜂拥一致性。

参考文献

[1]C.Altafini.Consensus problems on networks with antagonistic interactions[J].IEEE Trans Automatic，2012

[2]T.Zaslavsky.Signed.graphs.Discrete.Appl.Math[M]. 1982，4（1）：47-74

[3]F.Harary.A matrix criterion for structural balance[J].NavalRes.Logist.Quart， 1960，7：195-199

[4]L.Conradt，J.Krause，I.D.Couzin，and T.J.Roper.Leading according to need in self-organizing groups[J].The American Naturalist，2009，173（3）：304-312

[5]T.Vicsek and A.Zafeiris.Collective motion.Physics Reports[J]， 2012，51（3-4）：71-510

[6]I.D.Couzin，J.Krause，N.R.Franks，and Simon A.Levin.Effective leadership and decision-making in animal groups on the move.Nature[J]， 2005，43（3）：513-516.

作者简介：季亚雷（1987-），男，江苏淮安人，安徽理工大学硕士生，研究方向：多个体系统的一致性。