剖析命题与开语句

沈芳丽

摘 要 《数学教学通讯》2003年2月（上半期）上刊登的《命题与开语句的区分》一文（以下简称“区文”），笔者以为“区文”中把“可以被5整除的数，末位是0”认为是开语句是错误的。“可以被5整除的数，末位是0”是命题，而且是假命题。类似的错误笔者也在一些教辅资料与文章中看到，所以的确有必要明确区分命题与开语句的概念，文章针对“区文”提出的问题给出解析。

关键词 命题；开语句；剖析

一、命题、开语句的定义

初中教材把命题定义为“判断一件事件的句子”，高中教材把命题定义为“可以判断真假的语句。”实质是一致的，即能判断表达的事实正确或错误的语句是命题。开语句：含有变量，并且在没有给出所含变量的值以前无法确定真假的语句。如“x>3”，“a-3=5”等语句。还指出含变量的恒成立的语句都应看作命题，如“x2+x+1>0”。

二、“可以被5整除的数，末位是0”是命题

根据命题与开语句的概念，“区文”认为“因为可以被5整除的数，实质是一个变量，当未给定这个数的值时是无法判断真假，也无所谓真假。”从而得出“可以被5整除的数，末位是0”是开语句，不是命题。“区文”还从几个方面进一步阐述此观点。笔者逐一加以辨析。

1.从假言命题的角度看

“区文”中一个显著错误是两次用到同一个概念“条件命题”。但内涵、外延均不一致。“区文”的前面“有些资料上把‘开语句也称为‘条件命题”，“区文”的后面却把①“若x=0，则xy=0”、②“若4是有理数，则4不是无理数”这样的“假言命题”称为“条件命题”。假言命题的一般形式：如果……（前件也称条件或题设），那么……（后件也称结论或题断）。其中的前件和后件是构成命题的要素，是命题的组成部分。它们可以是命题，如②中前、后件都是命题，也可以是开语句，如①中前后件都是开语句。但不管前件、后件是命题还是开语句，整个语句是假言命题，是一个复合命题，当然是一个命题。“区文”的错误是把假言命题的条件与结论与假言命题等同起来。即使条件或结论是开语句，整个命题还是假言命题！区文误把它说成是一个“条件命题”，估计受假言命题中的前件是后件的充分、必要条件等误导。一般：前件→后件且后件→前件同时为真，前件是后件的充要条件；

前件→后件为真，后件→前件为假，前件是后件的充分不必要条件；

前件→后件为假，后件→前件为真，前件是后件的必要不充分条件；

前件→后件且后件→前件同时为假，前件是后件的既不充分也不必要条件。

“命题的四种形式”也是仅对假言命题而言的，对于一个假言命题条件与结论换位或否定，可以构造出其否命题、逆命题、和逆否命题，与原命题一起称为我们熟悉的“命题的四种形式”。无论那种形式都是命题，（构成命题的前件和后件可以是命题也可以是开语句）都是假言命题，都是一个复合命题。所以区文中“可以被5整除的数推不出此数末位是0”而把此语句说成是开语句是错误的，只能说可以被5整除的数不是此数末位是0的充分条件。所以“可以被5整除的数，末位是0”是一个假命题。

2.根据命题的真值表看

“区文”记命题p：可以被5整除的数，末位是0，设q。

第一：“区文”中指出，如果把“可以被5整除的数，末位是0”作为命题，如果是假命题，则该命题与命题“可以被5整除的数，末位不是0”（也是假命题）一起，在逻辑上关于命题的经典的“p与非p”的真假值矛盾。问题出在那里呢？“区文”的错误是找错了非p命题！

并非“所有（某些）S是（不是）P”=某些（所有）S不是（是）P

即全称肯定判断的否定是特称否定判断，特称肯定判断的否定是全称否定判断。当命题p省略了全称量词，找非p命题往往出差错，这需要特别注意。

第二：p：“可以被5整除的数，末位是0”，设q：“可以被5整除的数，末位是5”，“区文”中得出：

p或q：“可以被5整除的数，末位是0或5”，

p且q：“可以被5整除的数，末位是0且5”，

一个被5整除的数，末位不可能既是0又是5，p、q不可能同时成立，也就是p、q是不相容的；但一个被5整除的数，末位不是0就是5，所以对于一个确定的被5整除的数，p、q又不能同时为假。包含不相容的支命题的选言命题是不相容的选言命题，不相容的选言命题就是判断几种事物情况中恰有一种存在的判断。常见的形式是：要么p要么q；或者p，或者q，两者必居其一。两者必居其一明确了不相容性。有一个且只有一个支命题为真时，不相容的选言命题才为真。对于一个确定的被5整除的数，p、q不能同时为假、同时为真，恰有一个是真，所以p或q（“可以被5整除的数末位是0或5”）一定是真命题，p、q不相容，所以p且q永远不可能成立的。

因为用相容的选言命题的真值表无法解释不相容的选言命题的真假，因而把不相容的选言命题说成是简单命题是错误的（如[4]），说成不是p或q形式的命题也是不正确的（如[5]）。

以上解析说明，说p是开语句而非命题的理由是靠不住的。P当然是命题，而且是假命题。那么到底如何区分命题与开语句呢？

三、区分命题与开语句

在命题逻辑中，原子命题被当作基本单位，其内部结构不再分析。但要区分命题与开语句，要对原子命题的结构进一步剖析，需要新的逻辑工具—词项逻辑。在词项逻辑中原子命题进一步细分为谓词、个体词、量词以及逻辑连接词这样几个基本成分。谓词、个体词是新概念。先看一个例子：这朵月季花是粉红色的。在这句话中，令F（x）表示“x是粉红色的”，a表示“这朵月季花”，则F（a）表示这朵月季花是粉红色的。其中F是谓词，表示“粉红色”这种性质，个体词是x和a，表示具有这种性质的客体。x称为个体变项，泛指其中某个个体，而不表示一个确定的个体，a称为个体常项，指一个确定的个体。

参考文献：

[1]彭漪涟.逻辑学基础教程[M].华东师范大学出版社，2001.

[2]罗珍义.命题与开语句的区分[J].数学教学通讯，2003，（2）.

[3]陈俊屿.《简易逻辑》中的几个问题的探讨[J].教学月刊（中学版），2003，（1）.

[4]谢绍义.“或”“且”“非”命题的判断及构造[J].数学教学研究，2002，（4）.