感受数学美的两个重要途径

王钦敏

（福建教育学院 数学教研室，福建 福州 350025）

关于数学美的问题，已有许多文章对数学美的外在形式特征进行了反复的归纳总结，也有部分文章以数学美的本质论为题[1~2]，但有些所谈论的却与主题不相关联，或仍是在对数学美的基本特征进行概括和总结[3]．美的本质问题是传统美学研究的核心问题，貌似简单实际上极其复杂，对数学美学研究来说，同样是一个不能回避的重要问题，也是难以定论的问题．要明白数学美的本质问题是怎样性质的一个问题，必须先简要了解历史上东西方关于美本质与审美问题的主要观念，以及不同时期的人们对数学美的认知状况．这里将在这两个认识基础上，尝试性地描绘感受数学美的两个重要途径，希望能产生抛砖引玉之效，引发后继的研究，让有关认识更接近于数学美的本质．

1 历史上东西方在美本质与审美问题上存在诸多争议

东方的美本质论主要是围绕着生命的体验而展开的．最初的观念比较素朴，认为美即感官愉悦，而且是源于个体生理的本能与快感．后来就有了美即是善的说法，主要是儒家等所指的仁义理智等品德之美，有“里仁为美”、“美是外在的善，善是外在的美”[4]等说法．同时也有道家、佛家的“美即是真”的说法，其所谓真，主要指的是万物的本真与生命的本性，而宇宙万物各尽其生命真实本性，到达少有束缚的自由与澄明之境，就是到达美的极点．道、佛学说均强调审美者与审美对象之间高度的和谐统一，如庄子有自我与外物相融的“物化”、“物忘”的思想，而佛家有“汝今见物之时，汝既见物，物亦见汝”的说法，禅宗则视真如本性为美，以之为世界的本源，有“青青翠竹，尽是法身；郁郁黄花，无非般若”、“自识本心，自见本性”、“拈花有悟”[5]等说法与典故，这在美学观念上已到达比较高的境界．

西方的美本质论着重关注审美活动中的主体与客体两个要素，由毕达哥拉斯创始的客观论认为，美是宇宙万物的客观属性，美在比例、美在和谐、美在秩序，到了18世纪，法国启蒙主义者伏尔泰、狄德罗等人都还认同着客观论，认为美是大自然的属性．但早在古希腊，智者学派就曾宣扬过主观论，认为美并非事物的客观属性，而是人的一种主观感受与认识，凭借人的直觉可以将任何事物都当作美来享受．持主观论的哲学家为数众多，如黑格尔断定“美是理念的显现”，休谟说过，美只存在于观赏者的心里，每一个人心灵可见出各自不同的美[6]．为了调和二者的矛盾，哲学家康德提出了主客体统一论，他认为，审美经验不是由单纯的感觉所唤起的，也不是由单纯的判断所唤起的，而是由二者的共同作用，以及足以激发二者发生共同作用的事物所唤起的，而且只能由其结构适合于审美者本性的事物所成就．之后有社会客观论，认为美是指它的社会属性，美是社会实践的产物．当前关于美学的教材上，常常以社会客观论的观点给美的本质下定义，但这种观点存在3个不足：忽视了人的内在心理活动，太过简单化；将美的存在仅定义在劳动上，过于狭窄；强调美是人的本质力量的对象化，但对什么是人的本质力量却阐述不足．

东西方关于美的本质和审美问题至今仍然存在着诸多争议，但都开始意识到，美的本质很难被完整把握和精确表述，美学理论经过不断地变化发展，最后都倾向于论述美与审美是如何发生的问题．美与丑是相对的，但在属性方面是有分别的，正如数的大小是相对的但仍可有正负的区分一样．美的事物，通常有较普遍的社会认可．一切美的事物中所蕴涵的美的规律，叠合成美的本质，这个本质也许难以抓摸难以界定，但和其它规律一样，如果仅就其中相对稳定的成分而言，就可以对它进行逐渐地逼近和透析．

2 研究数学美本质与审美问题不应陷入美学中纯客观论的泥淖

对于数学美，不同时期的人们有不同的看法，古希腊的毕达哥拉斯学派最早意识到数学美的概念，认为万物皆数，而美体现在由数构成的恰当比例，和谐就是美．哲学家柏拉图进一步宣扬了这样的看法，认为美是适度、相称、和谐和有序，对自然界超感觉的数学结构的追求，就是对美的追求，他把对美的追求视为对“绝对真理”的探索，认为“美是真的光辉”，与中国古代“美即是真”的审美理念相一致．这些朴素见解大致可视为数学美学的“客观论”，曾被广泛认同，“哪里有数，哪里就有美”，古希腊普洛克拉斯的这一名言传颂至今，秉持着都是“见物不见人”的美学观念．

在17世纪初，培根已开始反对“美在比例”的说法，他把“真”与“美”当作两个不同的问题，放在不同范畴内研究．在18世纪，传统形式主义美学家受之前的数学美学观点的影响，都认为美在于规则和匀称，但康德指出，不规则不对称的图形不一定不美，更加规则与匀称的圆形也不一定会比正方形更美．被誉为“近代美学之父”的鲍姆加登将美定义为感性认识、秩序和表现的调和，认为美的本质是感官认识到的美，美学的研究对象是凭感官认识到的完善，而逻辑学和自然科学的研究对象是凭理性认识到的完善，完善的理性认识是真，完善的感性认识是美，所以，他已完全地将数学与美隔离开来．但是，数学家们并不太关注他们的这些说法．

数学的高度抽象让美学家难以登堂入室窥视真相，也就无法感受到数学创造的内涵之美．在20世纪上半叶，数学家庞加莱细致阐述了数学创造中存在着数学美的观点，他说，科学家研究自然，只是因为它美，可以从中获得乐趣，他说的美，不是能给感官以印象的美，而是理性范畴有内涵的深奥的美，可以为纯粹的理智所掌握．紧接着，许多数学家对之前的将科学与艺术分成互不相干的两个范畴的美学观持批判态度，而将数学看作是艺术的一种，并确定地说：一个科学理论成就的大小，事实上就是它的美学价值的大小；科学理论的合理性要在它的审美价值中去寻找，并用它来断定科学方法的合理性[7]．数学充满诗意地与美互携共进，数学研究热情高涨，是这个年代的显著特征，当时的世界“数学中心”哥廷根大学所在地的市政厅墙上镌刻着“哥廷根以外没有生活”．在哥廷根大学任教的克莱茵也豪壮地宣称：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，而数学能给予以上的一切．”[8]

在20世纪，数学美被数学家们发展成为一种方法、一种思想．关于数学美的意义，庞加莱曾说过，数学家将他们的方法、他们的结果和美联系起来，并不是纯粹的浅薄涉猎[9]．在很多科学家的工作中，数学美学方法成为颇具实效的研究工具．例如，极有数学天赋的科学家杨振宁长年致力于揭示隐藏在对称后面的奥秘，在他的工作中，一组漂亮的方程式可以化为一串灵感的源泉，让他在还没有实验证据之前就洞察出物理的世界是怎样运转的．物理学家戴森说过：“杨振宁对数学的美妙的品味照耀着他所有的工作．它使他的不是那么重要的工作成为精致的艺术品，使他的深奥的推测成为杰作”，让他“对于自然神秘的结构比别人看得更深远一些．”

总之，数学家们对数学美大都有很深的感触，他们在工作过程中欣赏、品味着异彩纷呈的数学美，将它作为一种方法和思想加以应用，并深入地诠释数学美学的价值和意义．他们在对数学美产生的根源及其本质进行思考的时候，往往将其归结为自然宇宙的神奇和伟大，并对之“顶礼膜拜”，这中间有许多道理，但却也很容易让他们陷入美学中的纯客观论的泥淖．研究数学美的问题，陷入纯客观论的泥淖而把具有丰富感受力的人这一主体排除在外，就不可能会获得关于美的正确概念．从美学的角度看，审美体验中最具魅力的并不是数学本身，而是那些创造数学、发现数学的数学家．也就是说，数学审美是一个实践的过程，数学家能深刻地感受到数学美，不仅是因为自然宇宙存在着美，更重要的是因为数学家创造心理中存在着灵感、顿悟、自由的心境和深邃的思想．

3 在潜心思考后产生的灵感与顿悟中感受数学美

数学与艺术或其它的学科相比，更喜欢精确和严谨的推理．它非常合理，但表面上显得枯燥无味，似乎没有了形象也没有了情感，通常习惯于凭感官去觉察的美，它借以呼吸的一切全都没有了，这使得数学美与其它的科学美和艺术美间存在着很大的差异，有着独具一格的审美特性．

切实地看，数学是抽象的，但也不乏有形象，仍然具有许多鲍姆加登所说的可以凭感官认识到的完善．数学的平面曲线、空间曲面与几何图形都颇具感性的艺术形象美，经常用于艺术作品的设计，就是抽象的数学符号，也具有一定的形象性，因为由符号构成的公式、定理和表达式常常显现出有感性审美价值的形式美、对称美和统一美[9]．

进一步地说，数学的抽象和形象并不完全对立，因为数学并不是一个完全独立于客观物质世界的某个思维王国中的自由乐园[10]．所谓的抽象并非绝对的抽象，任何抽象的数学内容，总与形象的图形等存在着直接或间接的联系．许多时候，即使这种联系极其微弱，仍然可以通过人所固有的几何直觉将抽象内容适度地直观化、形象化，对其进行感性的观照和体验，并将它的逻辑规定和感性形象融合成一体．庞加莱认为数学直觉能使完全抽象的、符号化的数学思维依附于一定的形象思维、直观思维，“正是通过直觉，数学世界才能依然与真实世界保持接触，……以填平把符号与实在分隔开的鸿沟”．所以抽象物可以间接地成为人的审美对象，只不过它比艺术的审美更需要精细的感觉．人们对音乐、绘画之类的艺术美的鉴赏，往往不需具备很多知识即可获得一定的愉悦感，然而要感知到数学的精致优雅，却必须清晰地理解包含其中的所有概念，在理性方面做出努力．也就是说，数学的审美活动是人的直觉想象力和逻辑知性协调运作的过程，需要一种基于优秀理解力和想象力的精细感觉．

数学美的感受，常来自于潜心思考后产生的灵感与顿悟．抽象内容逐个被形象化，其感性形象与逻辑规定融为一体，研究范畴内各个抽象物的感性形象将在人的意识“潭水”中化作鱼一样的生命体，逐渐地与人的情感相熔铸，汇合成物我交融的审美意境．在解决数学问题的过程中，受问题意识驱使，这些像鱼一样的有形象特征的抽象元素可以形成大量的组合．其中某些组合有助于问题的解决，问题越困难，这样的组合越来之不易．有时候是由于某种机缘的启发，而大多时候是由于长时间的思考使得所尝试的组合越来越多，突然促成了一个意想不到的有用组合，就会在刹那间激发思维的火花，这就是所谓的灵感．而如果是突然间在不断地归纳与概括中对知识整体有了直观洞识，或者是在百思不得其解时对问题的实质有了透彻理解，瞬间看清了解决问题的途径，就是所谓的顿悟．灵感与顿悟是数学思维的普遍形态，往往可以让人在很短的时间内获得解决问题的方法．灵感绽放新奇的创意，顿悟开启豁朗的心境，它们都会让人在获得与自然相一致的知识时，仿佛觉得是自己的心灵照亮了世界，心旷神怡的审美享受在灵魂深处散播着愉悦和欢快，让人油然萌发对自然、对智慧的爱与敬畏，满怀着五彩斑斓的情趣和想象．

灵感与顿悟不是数学所独有的，也不是能感受到数学美的惟一场合，但却是获得数学发现促动审美契机的主要方式之一，在许多时候，正是由灵感与顿悟所弹奏的美丽而甜密的笛声，诱惑了众多的数学家，争先恐后地跳进并沉醉于深深的数学长河．

4 在超越自然后产生的自由与统一中感受数学美

数学的概念与认识从一开始就是人类大脑抽象思维概括的产物，由于在最初定义“点”这个最基础、最原始的概念时，作了点无大小（或点不论大小）的规定，就使得所建立的数学世界只有在理想的抽象思维中才可能存在．在这个抽象的世界中，线无粗细，面无厚薄，两个数可以靠得任意近，经过多层次的复杂的抽象与推理，可以建构出一个又一个精致而又宏大的知识理论体系，建立起一个只服从于公理和逻辑的“抽象国”．

在这个“抽象国”中，人类思维超越了自然，脱离了现实世界的沉重束缚，能够完全地置研究对象的自然性质于不顾，从而为创造与想象开拓了广阔天地，让数学家比其它的科学家享有更大的自由：可以自由、冒险地提出各种问题；可以神奇地撮合似乎是毫不相干的两个符号概念；只要不违背逻辑规律，就可以随心所欲地搭建起一个个数学理论框架，而理论本身大都已远远超越了通常的经验和常识…，这些都让数学家们在思维上颇具诗人气质．集合论发明者康托曾由衷感喟：数学的本质在于它的自由！魏尔斯特拉斯说过，“一个没有几分诗人才能的数学家决不会成为一个完全的数学家”；希尔伯特也认为，数学家比诗人更需要想象力．

在这个“抽象国”中，人类超越了自然，反而能更简单地把握自然，从而拥有更多自由．“世界是一本以数学语言写成的书，自然界总是按照完美的数学定律在不断地运动变化”（伽利略），理性通过数学的认识把握了自然界的必然性，让“实践理性按照自身的要求而对现实世界施加影响，使经验世界最大限度地合乎实践理性的要求”（康德）[11]，就意味着自由．由数学思考发展而成的理性思维让人类有望洞察永恒和无限，洞观世界本质，实现“无限谬妄的真正终结”，因而奠定了人格的基础并在思想上走向自由．

数学美的感受，可来自于超越自然后产生的自由的心境，也可来自于超越自然后产生的理性自由．理性主义美学家笛卡尔认为有了理性才会有美，他说：“思维显示了人的本质，也显示了人的伟大，……哪里有理性的使用，哪里才有人，哪里才有高贵，哪里才有美”，“能思维的人是美的，具有秩序、规律的自然是美的，用理性指导的人的行为也是美的．”不仅如此，他还极力否定感性、想象、情感和意志的作用，认为感性是靠不住的，想象不能把握事物的本质，而意志又往往是错误的根源．数学让人类的理性世界变得丰富多彩，同时有效地消解了人与无限和无常的宇宙世界之间的矛盾．拥有理性，拥有自由，不为感性欲求所限制，不受功利意识所支配，带有令人解放的性质，才能真正感受到审美中的内在精神愉悦[12]．

把取得的数学概念与认识等组织起来，使其成为高度有序的知识系统，可以进一步地抽象与概括出各种类型的不同层次的数学思想方法．这是在数学发展过程中始终贯穿着的一个追求，也就是要尽力地寻找数学概念和方法间的一致性、各种数学理论间的一致性，以及数学和其它科学间的一致性，然后将它们纳入同一系统，以获得更有力、更简单的方法，最后归结出一个能统一最多认识的、最完善的数学思想．数学的美，表现在许多方面，但特别表现在数学的思想与精神上[14]．

数学美的感受，亦可来自于超越自然后产生的思想统一．从表面看，万事万物在现象上是杂乱、变易和丑陋的，但通过理性的发掘，站在数学思想的高度看，这些杂乱无章变易无常的现象下面却潜藏着由数学主宰着的和谐有序的统一规律，大自然不再是物体和过程任意堆积起来的无秩序的混乱世界，而是一个和谐的统一整体，深蕴着不易觉察到的静穆、宏大、冷峻和理性的美．人的认识与大自然规律相统一，就可能在主客同构中超越自然，借助理性洞观宇宙，体察“天地同根，万物一体”的涵义．这是一个美的境界，有和鸟儿高高飞起俯瞰大地一样的观感，就象数学家丘成桐所说的：“文学的最高境界是美的境界，数学也具有诗歌与散文的内在气质，达到一定境界后，也能体会与享受到数学之美．庄子所言‘天地与我并生，万物与我为一’，是数学家追求‘天人合一’的悠然境界．”另一方面，数学的整体一致性是不可动摇的[15]，而寻求数学与其它科学的一致性，就是一个数学向各科学渗透并促其数学化的过程，是一个数学思想应用的过程，也是一个体现数学内在本质力量的过程．再没有什么比这一事实更令人难忘，数学脱离客观实际进入抽象的理性王国，似乎是一种操演、一种游戏，但当它返回现实时，在对具体事物进行分析时，最抽象、离现实最远的东西，反而成为解决现实问题最有力的武器．这是人类精神与智慧最伟大的胜利，同时深刻体现了人类存在于自然的价值和人性最光辉、最美丽的一个部分．

5 结 语

当代美学家针对社会客观论存在的缺陷，对美的本质理论进行了许多修正与补充，有强调要从创造者的角度来研究美学的，认为美是一种能体现人的自由自觉的创造活动[16]；也有强调美是自由的延续，认为审美是自由的表征，是实现自由的唯一途径和中介，而美学正是研究这种人性的解放途径的精神哲学[17~18]．这与文章后两部分的陈述是相吻合的．

从数学学习心理的角度看，数学教学要实现“情感、态度与价值观”目标，就应遵循感受心理过程的规律，加强学生对数学美的感受或体验[19~20]．对于教师来说，要从数学教学的“功利性倾向”转向“审美性倾向”[21]，需要更多地了解数学美的本质问题，以及如何深层次地感受数学美的问题，对数学和数学教育的发展都是非常有益的[22]．以上的论述给予教师数学教育教学方面的启示是：（1）灵感与顿悟大多出现在研究与发现的过程中．因此，在学习中研究，在研究中学习，是学习数学理解数学的良好方式，而“课堂教学的最高境界是和学生一起进入思考的前沿”（希尔伯特）．缺少灵感缺少顿悟就会缺少兴趣缺少创造性，正如19世纪意大利数学家贝尔特拉米所说的，学生应该及早地像数学大师那样去追求和进行大量的创造性思考活动，而不要让学校里那种无休止的练习把自己的头脑弄得僵化和贫乏，它除了使人消磨意志之外别无其他作用．（2）理性上的自由和思想上的统一高度体现了数学的精神美、思想美和方法美，深刻体现了数学教育的独特内涵与非凡价值．因而，可以把培养学生的函数思想和空间观察能力作为数学教学的基础，其核心在于强调数学的统一性[21]．数学教学不仅要善于引导学生探索知识内部错综复杂的细节，认知知识核心及其整体结构，还要善于引导学生领悟能将问题整合起来进行统一认识的数学思想和策略智慧，需要站在思想的高度进行数学的教与学，让学生在逐步的抽象与概括过程中深化对数学思想的认识．

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