一类基于第三十一家族的LA-群

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（广西大学数学与信息科学学院，广西南宁530004）

一类基于第三十一家族的LA-群

班桂宁，许永峰，陈倩，赵丽萍

（广西大学数学与信息科学学院，广西南宁530004）

利用群的扩张理论对p6阶群Φ31(16)进行了推广,得到了一类新的P-群,给出了它的一些性质,特别地验证了它是LA-群.

有限P群；自同构群；自由群；LA-猜想；阶

有限P-群作为有限群论中的一个重要分支,有着丰富悠久的历史.群论学者们在这方面得到了许多有意义的结果［1-4］.1980年,Rodney James对阶小于等于P6（P为奇素数）的有限P-群进行了完全分类［5］，但没有给出其自同构群.关于有限P-群的自同构群，有一个著名的LA-猜想:阶大于P2的有限非循环P-群的阶是其自同构群的阶的因子.本文对Rodney James在文献［5］中给出的P6阶群Φ31家族的Φ31(16)进行推广，得到了有限P-群的一个重要类,然后运用Schreier群扩张理论和Van Dyek自由群理论证明了所得群G的存在性,并且给出了群G的一些性质，最后通过计算群G自同构群的子群R（R=lnn(G)Ac(G)）的阶,以此证明所得到的群为LA-群.文中所讨论的群均为有限P-群,P为奇素数,其余所有参数均为非负整数,相关符号若无特殊说明均是标准的,具体可参考文献［5-7］.

1 主要引理

引理1［6］(Van Dyek)设G是由生成元x1,x2,…,xr和关系fi(x1,x2,…,xr)=1,i∈I所定义的群,H=〈a1,a2,…,ar〉(这些ai可能相同),∀i∈I,fi(a1,a2,…,ar)=1,则存在唯一的满同态σ∶G=Fr/N→H使得xiN→ai，其中Fr=〈x1,x2,…,xr〉为自由群,Y=〈{fi(x1,x2,…,xr)|i∈I}〉,N=YFr (Y在Fr中的正规闭包),G=Fr/N.如果|G|≤|H|<+∞,则上述的σ为群同构(即H是由生成元{a1,a2,…,ar}与定义关系fi(a1,a2,…,ar)=1,∀i∈I所定义的群).

引理2［7］设G是有限群,则G的全体中心内自同构组成的Aut(G)的子群,并且它和Z(G|Z(G))是同构的.

引理3［8］设G是PN-群,G/G′和Z(G)的不变型分别为1≤mt≤mi-1≤…≤m1和1≤ks≤ks-1≤…≤k1,则|Ac(G)|=pa,其中a=∑min{mj,kj}.

2 主要结果

定理1设则G成为一个群的充要条件是其中所给的关系是群G的定义关系,且|G|=Pt+t1+t2+s1+s2+r.

证（Ⅰ）设G为群,由所以si≤t,si≤ti,r≤si,r≤ti(i=1,2),即r≤min{s1,s2},s1≤min{t1,t},s2≤min{t2,t}.

（Ⅱ）利用群的扩张理论证明在定理所给的条件下群G的存在性,分以下两步完成:

下面利用自由群理论证明G1中所给的关系即为群G1的定义关系.

设F={x,x1,y1,y2,z}为自由群,令∈所以◁于是,故|¯F|≤Pt+t1+s1+s2+z=|G1|.由引理1知G1≅得证.

（2）证明G的存在性,且G中所给的关系即为群G的定义关系.令N=G1,设F=〈t〉为Pt2阶循环群.作映射此时有故τ∈Aut(N).又所以.于是由Schreier扩张理论得到N被F

定理2群G有下列性质:

下面利用自由群理论证明G中所给的关系即为群的定义关系.

设F={x,x1,x2,y1,y2,z}为群,的一扩张则令所以于是

（3）G为PN-群;

证（1）令N=〈β1,β2,γ〉,显然N≤G′且N▷G′,则G/N=〈αN,α1N,α2N〉是交换群.所以G′≤N,即G′= N.故G/G′=〈αG′,α1G′,α2G′〉,Φ(G)=G′〈gp|g∈G〉=〈β1,β2,γ〉〈αp,α1p,α2p〉.

（3）由（1）、（2）知,Z(G)≤Φ(G),故G为PN-群.

定理3在以下六种情形下群G均为LA-群.

情形1 t2≤t1≤t;情形2 t1≤t2≤t;情形3t2≤t≤t1;情形4 t1≤t≤t2;情形5 t≤t2≤t1;情形6 t≤t1≤t2.

证由于R=Inn(G)Ac(G)≤Aut(G).于是只需证明|R|≥|G|,即可知G为LA-群.由引理2有|R|=|Inn(G)Ac(G)|=.由定理2知G/G′的不变型为(t,t1,t2),Z(G)的不变型为(t-m,t1-s1,t2-s2,s1-r,s2-r,r)且|G∶Z2(G)|=p3r,其中m=max{s1,s2}.下面只证明情形1下群G为LA-群.其他情形可类似情形1的证明.

在情形1 t2≤t1≤t下G/G′的不变型为t2≤t1≤t,需讨论t,t1,t2,s1,s2,t-m,t1-s1,t2-s2,s1-r,s2-r,r的大小关系.

（Ⅰ）当s2≤s1时,m=s1.

(i)不妨设Z(G)的不变型为r≤s2-r≤s1-r≤t2-s2≤t1-s1≤t-s1.

(1)t1-s1≤t-s1≤t2≤t1时,由引理3,|Ac(G)|=pa=p3t+3t1+3t2-3s1-3r,此时|R|=|G|p2t+2t1+2t2-4s1-s2-r＞|G|,故群G为LA-群.

对于(2)t1-s1≤t2≤t-s1≤t1时,(3)t2≤t1-s1≤t-s1≤t1时,(4)t1-s1≤t2≤t1≤t-s1时,(5)t2≤t1-s1≤t1≤t-s1时,同理可得|R|＞|G|,故群G为LA-群.

(ii)对于Z(G)的其它不变型,类似于(i)的讨论过程可以证群G为LA-群.

(Ⅱ)当s1≤s时,类似于(I)的讨论过程可以证群G为LA-群.

故在情形1下群G为LA-群;对于情形2到情形6做类似于情形1同样的讨论,可以证明群G为LA-群.

［1］Flynn J,MacHale D,O’Brien E A,et al.Finite groups whose automorphism groups are 2-groups［J］.Proc Roy Irish Acad Sect A,1944,94(2):137-145.

［2］Yu S X,Ban G N,Zhang J S.Mininal-group with automorphism groups of order［J］.Alg Colloq,1996,3(2):97-106.

［3］俞曙霞,班桂宁.若干LA-群及有关定理［J］.广西大学学报:自然科学版,1993,18(1):6-13.

［4］班桂宁,吴建平,张玉,等.一类特殊有限-群的自同构群的阶［J］.云南大学学报:自然科学版,2008,30(SI):215-219.

［5］Rodney James.The groups of order(an odd prime)［J］.Math Comput,1980(34):613-637.

［6］班桂宁,俞曙霞.一类P-群的自同构群的阶［J］.数学学报,1992,35(4):570-574.

［7］徐明曜.有限群导引［M］.2版.北京:科学出版社,2001.

［8］Exarchakos T.LA-groups［J］.J Math Soc Japan,1981,33(2):185-190.

A class of LA-groups based on the thirty-first family group

BAN Gui-ning,XU Yong-feng,CHEN Qian,ZHAO Li-ping
（School of Mathematics and Information Sciences,Guangxi University,Nanning 530004,Guangxi,China）

This paper was a generalization of the order of p6of Φ31(16)group,by using the extension theory of group,and a new series of P-group was obtained.And some properties were shown.Particularly,it proved that the group was new LA-group.

finite group;automorphism group;free group;LA-conjecture;order

O152.1

：A

：1007-5348（2014）10-0005-03

（责任编辑：邵晓军）

2014-05-12

国家自然科学基金(61074185)；广西自然科学基金（0832054）.

班桂宁（1962-），男，广西南宁人，广西大学数学与信息科学学院教授，博士，主要从事有限群论与控制论研究.