复变函数与积分变换课程的教学实践探析

郝铁钢

（东北林业大学，黑龙江哈尔滨150040）

复变函数与积分变换是工程数学系列中一门重要的课程，它广泛应用于力学、热学、空气动力学、电学、通讯和自动化等众多领域，为相关专业后续的专业课学习必不可少的数学工具。比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数解决流体力学和航空力学方面的问题上也作出了贡献。作为一门大学数学课程，复变函数与积分变换是高度抽象性与严密逻辑性的统一，但高度抽象性与严密逻辑性也造成了初学者学习该课程的一大障碍，本人多年从事复变函数与积分变换的教学与研究工作，总结了一些该课程的教学经验和方法，现在简单介绍一下。

一、类比化教学

类比是一种推理方式，它将两个不同的对象进行比较，基于二者所具有的一些相同或相似的属性来推测它们可能具有的其他相同或相似的属性。［1］复变函数中有许多理论类似于高等数学，在教学实践中可以利用两门课程的相似点进行类比化教学。

例如在高等数学和复变函数都有Abel定理，其中高等数学Abel定理中收敛区域是一个对称的开区间，由于复变函数中的复数实际上是二维的，收敛区域自然不能仅仅是一维开区间，学生自然会想到应该是个二维的开圆域，这样在给出复变函数Abel定理就很顺其自然了。

此外，根据Fourier变换和Laplace变换中理论并行和处理方法类似的特点也可以进行类比化教学。

通过类比化教学有利于加深理解，减少不必要的理论阐述，削繁为简，优化理论结构，化难为易，使陌生变得熟悉，使模糊变得清晰。

二、对比化教学

对比是把具有明显差异、矛盾和对立的双方安排在一起，进行对照比较的表现手法。对比化教学是对比手法在教学中的应用，它是利用两类教学内容的矛盾和不同点进行比较的教学方法，以加深其中之一或两者的共同理解。仔细研究会发现复变函数与积分变换中到处出现了对比。可导和解析，Taylor级数和Laurent级数，Fourier变换和Laplace变换等等，都为进行对比化教学提供了广阔的施展空间。

对于一个点来说，可导和解析是不同的，而对于一个区域来说可导和解析却是相同的。

可导函数的导数不一定可导，而解析函数的导数却一定解析；Taylor级数展开范围是圆域，而Laurent级数展开范围是圆环域；这些理论的对比阐述一定会加深学生对该课程的理解，使学生在脑海中形成鲜明的认知，给人们以深刻的印象和启示。教师要不仅了解教学内容，还要善于总结教学内容中的不同点和相同点，在相同中寻找不同，在不同中探究相同，从而进行对比化教学，这样会收到良好的教学效果。

三、通俗化教学

数学在本质上是研究抽象了的东西，而这些抽象了的东西来源于现实世界，是被人抽象出来的。［2］大学数学教学中普遍遇到的问题是理论抽象，理解困难。但是教师还是可以通过体味生活，在形象化和生动化中去寻找解决问题的答案。

两个与路径无关的积分相减时，后一积分可以重复前一积分的路径，且重叠部分可以抵销，这里可以借用小品里的一句话“走别人的路让别人无路可走”。

闭路变形原理中的简单闭合曲线的连续变形按照胶皮套的伸缩来讲解，奇点比作在变形过程中遇到的钉子，如果不遇到钉子那么则是连续变形，积分值是不变的，而遇到钉子，积分值是可以改变的。而复合闭路定理中的简单闭合曲线一个变为多个则可以比做刘谦的魔术。

学生听了很有新鲜感，也加深了对这些抽象数学理论的记忆，收到良好的课堂教学效果。

四、形象化教学

对于抽象的数学理论还可以通过形象化的图形来表现其原始面貌，正如康德在他的巨著《纯粹理性批判》中所指出的，人类的一切知识都是从直观开始，从那里进到概念，而以理念结束。［3］我们为了还原抽象概念和理念的本质必需从直观开始，这里图形无疑是最简单最有效的。在复变函数与积分变换教学中有大量的理论可以用直观图形来体现，图形最好用彩色的粉笔来绘制，一些细节用什么颜色要被固定下来。所用颜色在整个学期授课的过程保持一致，这样学生的思想中就会形成一定的固定化形象模式，对数学理论的理解和推演十分有益。

比如，我习惯于将将解析区域和级数收敛区域画成同一颜色，因为无论对于Taylor级数还是Laurent级数来说，解析区域和级数收敛区域都是重合的。这样在讲到Taylor展开定理和Laurent展开定理时，即使定理条件还未说，学生已经从以往教学中的解析区域和级数收敛区域的颜色判断出端倪了。

形象化教学中还包括用MATLAP等图形处理软件来表现积分变换等理论，在这方面已有很多人作出尝试，杨润生［4］等还提出了设立MATLAP选修课的设想。

五、探究式教学

探究式教学在教师的指导下，以学生为主体主动地探索，掌握认识和解决问题的方法和步骤，研究发现事物发展的起因和事物内部的联系，从中找出规律，形成自己的理念的教学方法。

复变函数与积分变换是一门十分讲究逻辑的学科，也是具有广泛应用的学科。可以从某一理论出发，设计问题，逐步探究，最后导出下一理论或者是某些实际应用。

比如通过解析函数的表达式入手，逐步推导出物理学中力函数与势函数在解析函数中的统一，从而利用复势理论来研究导线电场与点源静电场，并且可以让学生了解到力函数与势函数的相互正交关系，甚至可以引伸到万有引力场中引力与势的关系以及流体力学中流与势的关系。在这一过程中教师要不断用启发性问题，引导学生逐步前进，并结合学生的实际情况，在关键的难点给与一定的提示，但要注意留有一定想象空间，以便学生可以适度发挥。教师要适时评价不同处理方法的优劣与闪光点，培养学生的自主探究问题的能力。让学生了解到复变函数与积分变换不是完全建立在缺乏实际意义基础上的空壳，而是一门饶有趣味并且是实用性很强的课程科。

六、自助式作业批改法

在教学实践中本人创造了一种“自助式作业批改法”，自助式教学设计［5］的一部分，步骤如下：

（1）学生用黑笔写作业，并签名交予课代表；

（2）教师讲解作业题的正确解题步骤；

（3）课代表将作业随机发给学生，并确保每人都没有拿到自己的作业；

（4）学生用蓝笔批改作业，务必做到全批全改，即错误的要划线并改正过来，并且签名；

（5）学生再次交作业，教师用红笔批改，并根据学生做作业和批改作业情况给出该生的平时成绩。

自助式作业批改法是为了有效调动学生能动性的“二次作业批改法”，在这里教师的批改已让位于学生的批改，已不再发挥主要作用。实行了这种“自助式作业批改法”后学生不仅写作业较为积极，并且出现了自发地针对某一道题作法展开讨论的现象。一些同学为了体现自己批改作业认真，甚至在批改作业中用了大量的讲解性语言。令人欣喜的是在批改作业过程中出现大量创新性做法，虽然一些方法还有缺陷，但的确体现了学生对此问题的个人独特理解。

不同的学习者具有不同的学习态度、起始能力、已有知识和个性特征，这些能力和特征直接或间接地影响着学习者的学习效果。在教学中只有通过多元化的教学手段，认真分析教学中的各个环节，结合教学对象的实际情况来设计教学模式，才能最终破解该课程的抽象理论，收到良好的教学效果。

［1］闫志莲.复变函数与积分变换课程教学方法改革与实践［J］.安徽工业大学学报（社会科学版），2012（1）：129～130.

［2］张胜利，孔凡哲.数学抽象在数学教学中的应用［J］.教育探索,2012，（1）：68～69.

［3］康德.邓晓芳译，纯粹理性批判［M］.北京：人民出版社，2004.

［4］杨润生，欧阳文，唐宝庆.工科专业复变函数与积分变换课程实践教学探析［J］.湖南工业大学学报，2010，（2）：102～105.

［5］郝铁钢.自助式教学设计在高等数学教学中的实践［J］.教育探索,2007，（5）：41～42.