基于热源温度场叠加法的丝杠磨削过程中热变形分析*

骆 嵘 李郝林

(上海理工大学机械工程学院，上海 200093)

精密滚珠丝杠副是数控机床以及加工中心的关键部件。为了保证丝杠在使用中具有较高的精度保持性，一般把精密磨削作为丝杠加工的最终工序，其对丝杠精度起决定性的作用。磨削过程中磨削热引起的热变形则是精密丝杠磨削过程中重要的误差来源之一，为了提高丝杠的磨削精度，必须对丝杠磨削过程中工件的热变形进行有效的控制。由于精密丝杠热变形的不均匀性和非线性特征，其热变形误差的大小随加工过程中砂轮位置而变化，因而对于丝杠的热变形误差的分析是一件困难的工作。要精确地消除热变形所带来的误差必须对丝杠热变形规律进行定量分析。研究表明，磨削热引起的热变形误差已逐渐成为磨削过程误差中最大的组成部分，因此有效补偿热变形误差对提高加工精度意义重大。

对误差的精确预测是进行有效补偿的前提，近年来，国内外学者针对丝杠热误差预测模型做了大量研究。杨建国等［1］依据工程经验，选择机床温度敏感点安装大量的温度传感器，然后选出少量的传感器测量值运用最小二乘法对数控机床热误差进行拟合建模;郭学祥［2］采用有限元法，运用ANSYS 软件对机床导轨的热变形进行了数值模拟，得出热变形误差。Lee［3］研究出导轨产生热变形会减小导轨和滑块之间的摩擦力。国外学者提出了神经网络法、回归分析法等多种方法来计算丝杠的受热变形［4-6］。虽然国内外对丝杠的热分析与补偿方法进行了一系列的研究，但是涉及到用热源温度场叠加法的相应研究还是比较少。本文利用热量与热变形的关系，简化丝杠磨削过程的热变形数学模型，计算出丝杠的热变形，减小运算工作量。为精密丝杠的误差补偿提供了一定的依据。最后用分析计算结果和在上海机床厂对丝杠温度以及热伸长进行实时测量的结果进行对比，从而验证了此方法的有效性。

1 热源温度场叠加法基本原理

在机械加工过程中，加工区(如切削区、磨削区等)的热传导问题与稳态温度场和非稳态温度场的热传导问题是有差别的。无论是电火花加工、电火花线切割加工、激光加工，还是切削、磨削加工都有如下特点:热源有一定的形状和尺寸，热源有一定的动态状况，热源不十分强大而有一定的热量输出。按基本导热方程式求解时的边界条件，往往不是温度而是从热源传来的热量，而且热源边界处的温度常常是需要求解的未知值。这就需要用到一种较为直观的求解方法:热源温度场叠加法(简称热源法)。

热源叠加法的基础是瞬时点热源在无限大介质中瞬时发出一定热量后的任何时刻的温度场的解。

图1 点热源温度场坐标

图2 t-R 曲线

如图1 所示，当坐标系原点设在瞬时热源处，任一点M 的坐标位置为(x，y，z)或距离原点为R 处时，这个解(温升t 函数)为［7］:

式中:Qd为点热源的瞬时发热量，J;c 为导热介质的比热容，J/g·℃;ρ 为导热介质的密度，g/cm3;α 为导热介质的导温系数，cm2/s;τ 为在热源瞬时发热后的任一时刻，s。

从式(2)可见，任何时刻、距离热源相等的各点温升是相同的，最高温升出现在R=0 处，其值为［7］:

t 与R 的关系曲线见图2。

在实际的机械加工问题中，无论热源具有何种形状、何种尺寸、瞬时发热还是持续发热、运动还是固定等情况，都可以式(1)为起点，按温度场叠加的原理，用简单的积分方法推导出各种情况下的温度场的计算公式。

2 移动热源加载时丝杠温度场、热变形的分析与计算

2.1 移动热源强度计算

热源强度为单位时间单位体积上的热源发热量，一般和发热功率有关。在理论计算中，由于磨削力比较难确定，发热功率也就难以确定，因而不能直接计算热源强度。这时，可以通过下面的经验公式来进行计算［8］:

式中:Qm为单位时间内切去单位体积金属所消耗的磨削比能，普通磨削的比能约为20～60 J/(cm3·s)。由于丝杠磨削为精加工，磨削余量一般很小，发热量不是很大，因此可以取Ug=20～30 J/(cm3·s)，梯形丝杠磨削时取小值，滚珠丝杠磨削时适当取大些。

R 为传入工件的磨削热的比率。计算公式［9］为

式中:λ、ρ、c 分别代表传热系数、密度与比热容;Aw、A分别代表砂轮与工件的实际接触面积与名义接触面积，在精加工中，两者的比值为0.01;s、g、w 为下标，分别代表砂轮、工件与磨削液。

2.2 丝杠温度场、热变形的分析与计算

热量与热变形关系:对于同一工件，当热源位置不同时，工件内的温度分布将呈不同状态。只要工件工作条件相同，当工件达到热平衡时所吸收的能量必然相同，此时采用平均线膨胀系数计算得到的工件热膨胀值相等。在实际工程应用中，若工件的温度分布函数较复杂，不便于计算，则可将其变换为热量含量相同且温度均布的状况进行计算，这样可大幅度减少计算量且可保证计算精度。

图3 样件热源示意图

当热源由A 点移动到B 点时(见图3)，样件的温度分布函数计算式为［7］:

式中:t 为样件温升，qm为热源强度，J/(cm3·s);x 为样件轴向位置，T 为时间;k 为样件导温系数，cm2/ s;λ为热导率，J/(cm · s ·℃);Ψ (p)为特殊函数du的简写，可查表计算［7］。

而按式(7)不可能计算x=0 处的温升，因为该式中所用的特殊函数Ψ(p)在p→0 时，并不收敛，故p=0 时Ψ(p)没有确定值。故热源在x=0 处的样件温度分布函数为［7］:

样件的热变形计算式为［10］:

式中:α 为材料平均线膨胀系数。

将式(6)、(7)代入式(8)即可求得样件热变形量。

3 丝杠热变形的计算及实验对比分析

由第三部分的理论计算分析以下范例，并进行实验对比与分析。

研究对象(丝杠)参数及实验参数见表1。

表1 研究参数

丝杠磨削时(见图4)，磨削热由砂轮传入丝杠，使丝杠发生热变形，将严重影响精密工件的加工精度。

图4 磨削加工过程示意图

(1)移动热源强度计算

根据砂轮，丝杠，磨削液的参数以及表1 中的各个参数，由式(5)可以计算出传入丝杠的磨削热的比率R=0.0019。研究对象为梯形丝杠，磨削比能应取小值20 J/(cm3·s)。由式(4)，热源强度qm=0.038 J/(cm3·s)。

(2)丝杠温度场与热变形计算

由(1)节求得qm=0.038 J/(cm3·s)，根据丝杠的参数以及表1 中的各个参数:热导率λ=0.0267 J/(cm·s·℃)，导温系数k=0.147 cm2/s，平均线膨胀系数α=11.59×10-6/℃，L=60 cm。分别选取x=10、20、30、40、50、60 cm;时间T=823.22 s。由式(6)计算出各点温升t=3.8 ℃，1.0 ℃，0.44 ℃，0.040 ℃，0.008 ℃，0.000 5 ℃;当由式(7)计算出x=0时，t0=8.8 ℃。

(3)实验研究

为了验证理论研究结果的正确性，对磨削过程中的丝杠进行了热分析实验(图5)。所用的机床型号是螺纹磨床Y7520K，最大切削直径200 mm，最大切削长度1 500 mm。实验采用比较先进的红外测温技术，对丝杠磨削时的温度场进行了测量。所用红外热像仪型号为Lada(ARC -8 -FOV -500 -Rate)，测量范围0～500℃，误差范围±2℃。对热变形的测量主要是采用电涡流位移传感器6100，误差范围0.1 μm。所测对象参数见表1。

图5 丝杠磨削加工实验实际情况

通过红外热像仪测量温度，由于发射率的选择问题，导致绝对温度不准。故只能通过相对温度来比较丝杠上不同位置点的温度高低。图6 中的a、b、c、d 为按时间顺序截取的磨削过程中丝杠温度分布组图，从中可以看出温度沿着砂轮磨削的方向逐渐降低，这与理论计算的趋势相吻合。

热变形对比结果见图7。从图7 可以看出，运用理论计算研究所得结果和实测值相差不大，所取各点中大多数误差在10%之内，这是由于测温试件本身具有误差，而磨削过程中还存在丝杠与周围环境的热量交换，这也不可避免地导致误差的存在。

图6 丝杠相对温度分布图

4 结语

采用本文介绍的方法，将热源温度场叠加法与平均线膨胀系数相结合，可使热变形量的计算大为简化。由于在热平衡状态下，无需考虑热源的移动性，且可将热源置于任一便于温度分布计算的位置，用平均温度代替实际温度分布进行计算，因此该方法具有计算快速、简便的特点，在实际工程应用中具有较高实用价值。

图7 热变形对比

利用本文所介绍的方法对丝杠在磨削过程中的理论计算分析可对磨削过程将会产生的热变形进行预测，并通过数控编程进行适当补偿，从而达到减少工件热变形和提高丝杠螺距精度的要求。

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