聚焦多样策略 彰显优化思想——小学数学《找次品》教学设计及反思

■王莹

聚焦多样策略 彰显优化思想
——小学数学《找次品》教学设计及反思

■王莹

【教学内容】

义务教育课程标准实验教科书数学五年级下册教材第134～135页。

【背景分析】

《找次品》是人教版数学五年级下册第七单元数学广角的内容。本节课学习中要找的次品具有以下特点：外观与合格品完全相同，只是质量有所差异，且事先已经知道次品比合格品轻（或重），另外在所有待测物品中只有唯一的一个次品。

新课程标准指出：培养学生良好的数学思维能力是数学教学要达到的重要目标之一。因而新课标教材系统而有步骤地渗透数学思想方法。找次品的教学，旨在通过找次品渗透优化思想，让学生充分感受到数学与日常生活的密切联系。优化是一种重要的数学思想方法，运用它可有效地分析和解决问题。本节课以找次品这一操作活动为载体，让学生通过观察、猜测、试验等方式感受解决问题策略的多样性，在此基础上，通过归纳、推理的方法体会运用优化策略解决问题的有效性，感受数学的魅力，培养观察、分析、推理以及解决问题的能力。

【设计思路】

为使教学过程符合学生的认知水平，在整个教学过程中，教师安排了从不同数量测品中找次品的方案设计，其中的目标各有侧重。具体安排是：

（1）从3个待测物品中找较轻的一个，运用天平原理，知道每次比较都有两种可能，即平衡和不平衡，为思维的严密性提供基础。

（2）从5个待测物品中找较轻的一个，经历完整的逻辑推理过程，感受策略的多样性。

（3）从9个待测物品中找次品，比较、探索最佳策略，经历从多样化过渡到优化的思维过程。

（4）从10个、20个待测物品中找次品，归纳从数字不是3的倍数的数量中找一个次品的策略，完善规律。

（5）让学生回到开课需要解决的问题81个更大数据对利用天平找次品规律进行验证。

【教学目标】

1.先用学具动手操作亲历找次品的过程，继而思考梳理用简单的数学符号记录，对找次品问题进行分析，归纳出解决这类问题的最优策略——把待测物品平均分成3组，经历由多样到优化的思维过程。

2.以找次品活动为载体，让学生通过观察、猜测、试验、推理等方式感受解决问题策略的多样性及运用优化的方法解决问题的有效性。

3.让学生体会用缩小范围逐步逼近的方法来解决问题的数学思想，培养学生思考问题的严密性和口头语言表达的逻辑性。

【教学重点】

发现解决找次品这类问题的最佳策略。

【教学难点】

理解并认可最佳策略的有效性。

【教学准备】

教具：圆片、简易天平板贴、PPT课件。

学具：圆片。

【教学过程】

渊课前游戏冤师院我们来玩一个找人的游戏袁给出三个条件袁请你找出他是谁遥第一个条件院他是男生遥第二个条件院他在第二大组遥第三个条件院他坐在第三排遥

生院找到了袁是李明遥

师院如果只能从三个条件中挑一个去找人袁你挑哪个钥

生院我选第三个条件遥因为前两个条件的范围太大了袁找的范围缩得越小袁就越容易找遥

一、创设情境，提出问题

1.故事引入

师院大名鼎鼎的微软公司前CEO比尔窑盖茨袁在一次高级管理人员招聘面试中袁提了这样一个有趣的问题院有81个小球袁外观看起来完全一样袁但其中有一个球稍稍轻一点袁你能想个办法很快保证找到这个球吗钥一位年轻的应聘者稍作思考后说袁我只用一个常见的工具袁就能很快保证找到这个球遥比尔听了年轻人的具体办法后点头微笑袁这个聪明的年轻人后来成为了微软的副总裁遥

师院同学们袁听了这个小故事后你有什么疑问钥想提出什么问题钥

生院想知道年轻人是怎样找到那个轻一点的球的钥

师院老师也很想知道浴还想问什么钥

生院想知道他用的是什么工具钥

师院你们猜猜看钥

生院天平遥

师院你们跟副总裁想得一模一样哦浴用天平怎样称袁能一下子从81个小球中找到轻的那个袁咱们一起来想办法解决浴

2.揭示课题

师院生活中袁有些物品外观看起来完全一样袁但是质量略差袁我们把那些质量略差的东西叫做次品袁那个轻一点的球就可以称为次品遥今天这节课我们就来研究如何用天平找次品遥渊板书课题院找次品冤

师院大家都想知道年轻人是怎样称的袁那我们先来猜猜看袁他最后找到次品总共称了几次钥

渊生自由猜测称的次数冤

师院同学们猜的结果不一样袁可能是因为81这个数据太大了遥你们有什么好办法吗钥

生院我们可以从数量较小的开始想起浴

二、自主探究，感知策略

1.从3个中找次品，初步建立基本思维方式

师：最简单的情况，用天平从2个球中找到轻的那个，会吗？

生：会。只用称一次，天平翘起来的那边就是轻的。

师：那如果从3个球中找一个次品，有办法吗？需要称几次？思考一下。

生：还是一次。

师：有支持者吗？请你上黑板用圆片代替小球，把称的过程演示给大家看一看。

（生到黑板上，用圆片代替小球，在简易活动天平两边进行操作）

师：大家都看清楚了吗？来，我们把手伸出来，亲自称一次。想象一边放一个球，外面还有一个，称一次，如果平衡，会怎样？

生齐答：如果平衡，次品就在外面。

师：你们真棒！能够思考推理出剩下的一份是次品，用到了推理的数学思想！如果不平衡呢？

生：如果不平衡，次品就在翘起来的那边。

师：也就是不管平不平衡，我们一次就能找到次品。

师板书：平衡→外，不平衡→内。

2.从5个中找次品，初步体验问题解决的方案

师：从3个里面找到次品我们都弄懂了，复杂点，来看看5个，请注意这个词语——保证。请先独立思考，拿出5个学具动手摆一摆，摆完的同学可以跟同桌小声交流交流。

师：谁来说说你称几次能保证找到次品？

生：2次。

师：你能说说过程吗？给你找个小帮手，你来说，他来摆。

生：天平的左右各放两个小球，如果平衡，外面的就是次品。如果不平衡，次品在翘起来的那边，把那两个再称一次，翘起来的就是次品，所以要称两次。（另一个学生在黑板用教具演示）

师：大家听懂了吗？我有个疑问了，2个2个的称，天平平衡时，次品在哪？一次就找到了呀？

生1：这种情况不能保证找到。

生2：这是运气好的情况。

师：考虑什么样的情况就能保证找到？

生：考虑最不利的情况就能保证找到！

师：我们已经把最坏的情况考虑进来了，也就是全面的考虑了所有的情况，按此方法，2次一定能保证找到次品。下面我们用简洁的数学符号来记录这种方法。

板书：5（2，2，1）→2（1，1）2次

3.初步归纳与感知

师：开始我们从3个里面找次品，现在我们又从5个里面找次品，不同的数量、不同的方法，可第一次称时，却不约而同都把总数分成3份，莫非是分成3份有什么好处吗？谁来说说好处?

生：分为三份，我们称一次就可以确定次品要么在左边、要么在右边、要么在外面，可以确定次品的范围。

评析：本课的活动性和操作性比较强，学生动手实践、小组讨论、自主探究是教学方式的最佳选择。由于有上面的铺垫，学生知道了用天平称的原理，从5个待测物品中找次品，学生在试验中可能会得出几种结果，但大部分会出现以上两种方法。教师再运用操作法或画图法帮助学生理解思考过程，能更好地训练学生的逻辑思维能力，并引导学生初步理解“至少称2次就一定能找到这个次品”的理由。当然，画图示法时必须让学生了解各个数字、符号所表示的含义。

三、深化探究，寻找规律

1.从9个中找次品，优化找次品的最佳方案

师：5个里面找次品，圆满解决了，再复杂一点，请看——有9个外观一样的小球，其中有一个是次品（重量稍轻），现在给你一架没有砝码的天平，你至少需要称几次，保证能把这个次品找出来？要求发生了什么变化？能解释一下是什么意思吗？请先独立思考，动笔像黑板上这样记录你的思维过程，有困难的同学可以借助学具摆一摆，写完了可以跟同桌交流一下想法。

（生思考交流）

师：刚才听到有的同学说要3次，还有的同学说2次就行，到底至少几次呢？看来需要交流交流，先从多的来，谁刚才说要3次的？说说你是怎样称的？

生1：在天平两边各放4个小球，外面还剩1个。称一次，考虑最不利的情况，次品在内，天平不平衡。接下来从翘起来的4个里面找次品，两边各2个，天平不平衡，再把翘起来的那边称一次，可以找到次品，总共称了3次。

师板书：9（4，4，1）→4（2，2）→2（1，1）3次

生2：我是在天平两边各放2个小球，外面还剩5个。称一次后考虑最不利的情况，次品在外面。接下来再从5个里面找次品，就是刚才我们解决过的问题，还需要两次找到，也是3次保证找到次品。

师板书：9（2，2，5）→5（2，2，1）→2 （1，1）3次

师：那2次就找到次品的同学，也来说说你的方法？

生：我是把小球平均分成3份，天平两边各3个，外面还有3个。平均分，这里不存在运气问题，不管平衡还是不平衡，次品一定在某一个3里面，接下来再用一次就可找到。总共2次找到次品。

师板书：9（3，3，3）→3（1，1，1）2次

评析：从待测物品是3的倍数中找次品，让学生经历从多样化过渡到优化的思维过程。学生从动手实验并尝试用图示法记录操作过程，到完全脱离实物操作，只用图示法进行分析，实现了从具体形象思维到抽象逻辑思维的过渡，初步感知解决找次品问题的基本策略和方法。采用小组合作的方式进行，并要求选1～2种分法进行试验，能提高探究的效率，保证在较短的时间内把几种情况都分析到]

2.比较优化，寻找最佳

师：这些方法，称了一次后都不能保证找出次品，那称一次起什么作用呢？

生：缩小范围。

师：通过第一次的称量，生1把范围从9缩小到4；生2……

师：提一个高难度的问题：从9个玻璃球中找出一个次品，都是把9分成了3份，为什么最后这种方法称了2次就找出了次品，而前面都要称3次呢？

生：因为最后这种方法称了一次后把范围缩的最小，所以最快找到！

师：那我们怎么分能让每一份的范围最小？

生：平均分。

师：连在一块就是——平均分三份，这就是我们快速找到次品的方法！平均分成三份，每一份的范围会最小。可是有些数去除以3以后是有余数的呀，有余数的怎么平均分？举个例子，7，怎么分？8分成怎样的3份？

生1：7除以3余1，把多的一个放在外面，分成2，2，3。

生2：8除以3余2，把多的两个左右各放一个，分成3，3，2。

四、练习巩固，拓展延伸

师：同学们总结得真好！那我们就来考虑更复杂的情况，请看，从10个里面找一个较轻的次品，至少要几次？

生1：我分成3、3、4这三份，称一次后考虑最不利的情况，次品在4个中，再称2次找到次品，总共称了3次。

生2：我跟他的想法不一样，我在天平两边各放5个小球，称一次，再从翘起来的5个里面找次品，也是3次找到的。

师：这两种方法都是用了3次保证找到了次品，如果碰到的数据很大，你更愿意用哪一种方法？为什么？

生：用分3份的方法，因为这样能把范围缩的更小。

师：给一个更大的数据，20，有没有办法？先想想把20分成怎样的3份？

生：把小球分成7，7，6三份，称一次，考虑最不利的情况，次品在7个里面。再把7个分成2，2，3三份，接下来从3个里面找次品。总共需要3次就找到了。

评析：从待测物品不是3的倍数中找次品，让学生经历由特殊到一般的数学分析模式，完善找次品的基本策略和方法，体会运用优化的思想解决问题的有效性，这也是本课的重要目标。

师：现在再让你解决比尔盖茨的面试题，有办法了吗？试一试。

生：把81个小球平均分成3份，第一次称，不管有没有平衡，次品一定在某个27里面；第二次称，不管有没有平衡，次品一定在某个9里面；从9个里面找前面我们已经研究过了需要2次，总共4次就保证能找到。

师板书：81（27，27，27）→27（9，9，9）→94次

师：你说得太棒了！这个结果，你们刚才没有想到吧？数学真的很奇妙！

五、总结与思考

师：时间过的真快，我们就快下课了，这节课你有什么收获？

生1：我们碰到复杂的问题可以先从简单的入手。

生2：解决同一个问题有不同方法时，咱们选那个最简便的方案。

师：对！这些好的思维方式在以后的学习中还会继续发挥作用！

评析：让学生回顾和总结，经历知识形成过程的一般的建模方式，完善找次品从简单的入手，引导学生观察，自己归纳出规律，优化的思想解决问题策略的有效性，拓展延伸到课外，把握住教师的指导性和学生的自主性

【教学反思】

从选课到试教，再从教学到收获，这其中波折不断，但我依然收获着它馈赠给我的那些独特的感悟。

1.抓准时机，自然渗透数学思想

日本数学教育家米山国藏曾说过：作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，惟有深深铭记在头脑中的数学的精神、数学的思维、研究方法和着眼点等，这些随时随地发生作用，使他们终身受益。国内有专家总结，小学六年，数学教学要留给学生三大基本能力：一是逻辑推理能力，二是透过现象看本质的能力，三是化繁为简的能力。

数学思想是人们对数学理论与内容的本质认识，从数学认识过程中提炼出的观点，它揭示了数学发展中的规律，是学生认知结构的纽带，是由知识转化为技能的桥梁。培养小学生的数学思维及解决问题的方法，有着重要的意义。而学生数学思想的又是由浅入深，循序渐进的过程。需要教师在教学中，抓准时机，适时渗透，使学生一点一滴的感悟数学思想。

如在创设情境“从81个小球中找一个次品”后，请学生猜测要称几次才能找到次品，大家的答案各不相同。老师问大家“可能是因为81这个数据太大了，你们有什么好办法吗？”学生想到“我们可以从数量较小的开始研究”。这里渗透了化繁为简的数学思想。化繁为简要成为一种能力，必须要有习惯的化繁为简的意识和熟练的化繁为简的方法，所以，在增加的问题和课本例题之间有意强化了化繁为简的策略意识。

又如在从3个里面找次品时，当学生回答“如果平衡，次品就在外面”时，是将天平外看作了无形的托盘，通过天平平衡推理出了外面的是次品。我抓住时机对学生进行肯定“你们真棒！能够思考推理出剩下的一份是次品，用到了推理的数学思想！”问题是学生思考解决的，老师只是告诉学生思考是的数学思想——推理思想。学生在数学活动中体会到了数学思想，而且在解决问题的过程中运用了数学思想，想必很有成就感。自然会将推理的数学思想渗透到思维之中。

2.分散难点，层层推进化难为易

本课教学的重点是通过观察、猜测、试验、推理等方式总结归纳出找次品这类问题的最优方法——将物品总数尽量平均分成三份，找到次品所用的次数最少。要想顺利突破重难点，就要在教学过程中解决两个难题：（1）为什么要分成3份？（2）分成怎样的3份？解决好上面两个问题，学生才算是真正的理解了找次品的方法。为了把教学难点化难为易，在教学过程中，我把本节课的教学难点由浅入深适时渗透到教学的各个环节中，逐个击破，降低学生学习难度，减轻学生学习负担。

如在“从3个中找次品，初步建立基本思维模型”的环节中，三个小球中找一个次品就渗透了“分3份”的思想。分3份能够在天平不平衡时找到次品在天平内，更可贵的是还能够在天平平衡时推理出次品在天平外。天平外其实也是个无形的托盘，在教学环节中犹如蜻蜓点水般的一点而过，却给了学生开启思维的钥匙，为教学环节和环节埋下了伏笔。

又如在教学“从5个中找次品”的环节中，活动完毕后我请学生思考“开始我们从3个里面找次品，现在我们又从5个里面找次品，不同的数量、不同的方法，可第一次称时，却不约而同都把总数分成3份，莫非是分成3份有什么好处吗？谁来说说好处?”引导学生体会分成3份后只要称一次，不管平不平衡，都能把次品锁定在3份中的一份里。

在前两个教学环节中，解决了“为什么分3份”的教学难点，为后面教学“从9个里面找次品”扫清了障碍。在“从9个中找次品”的环节中，我让学生自主探究从9个小球中找次品的方法，然后汇报出三种方法分别是：9(4，4，1)分法，3次找到次品；9(2，2，5)分法，3次找到次品；9(3，3，3)分法，2次找到次品。

学生很容易得出平均分成3份是最优方法。紧接着我请学生思考“都是分成3份，为什么第三种方法只要2次就能找到次品？”学生观察后理解：范围越小越容易找，只有平均分才能使每一份的范围缩的最小。是3的倍数的平均分成3份的教学难点突破以后，除以3有余数的情况也就不攻自破了——余1放在外面，余2就左右各放一个。这样分，每份的范围最接近。我将本节课的教学难点适时地渗透到了各个教学环节之中，化难为易，既充实了课堂内容，又减轻了学生的学习负担。

（作者单位：湖北省武昌水果湖第二小学）

责任编辑 王爱民