SchrÖdinger代数S(2)的Whittaker模

贺艳，朱林生

（1.苏州科技学院 数理学院，江苏 苏州 215009；2.常熟理工学院数学与统计学院，江苏 常熟 215500）

SchrÖdinger代数S(2)的Whittaker模

贺艳1，朱林生2

（1.苏州科技学院 数理学院，江苏 苏州 215009；2.常熟理工学院数学与统计学院，江苏 常熟 215500）

主要研究了SchrÖdinger代数S(2)的Whittaker模.首先给出S(2)上Whittaker模的定义，构造了Whittaker模Mψ和Lψ,ξ.确定了Mψ和Lψ,ξ中的Whittaker向量.最后证明了当ψ是非奇异时，Lψ,ξ是单的.

SchrÖdinger代数；Whittaker模；Whittaker向量；可约性

1 引言

SchrÖdinger群是自由SchrÖdinger方程的对称群，SchrÖdinger群的李代数称为SchrÖdinger代数，它是一个非半单的李代数，在物理应用中有很重要的地位［1-2］.人们通常研究的是低维中心扩张的SchrÖdinger代数.近年来，SchrÖdinger代数S(1)的权模已经得到了很好的研究，并且得到了S(1)单权模的分类［3］.

本文主要研究（2+1）维中心扩张的SchrÖdinger代数S(2)的Whittaker模.

复半单李代数的非权模最早是由B.Kostantin构造的［4］.由于在数论中它们与Whittaker方程有着紧密的联系，因此被称为Whittaker模.在文献［5］中，D.Arnal和G.Pinczon研究了一般定义下的Whittaker模.之后各种代数的Whittaker模的性质得到了广泛研究，在文献［6］中，得到了S(2)的单模的分类：最高权模、Whittaker模和由局部化得到的模.研究Whittaker模可以看出其构造依赖于复半单李代数的三角分解，Whittaker模在无限维李代数的领域得到发展.M.Ondrus和E.Wiesner在文献［7］中首次研究了无限维的李代数Virasoro代数的Whittaker模.随后，人们研究了Heisenberg代数，SchrÖdinger-Virasoro代数，广义Weyl代数，扭Heisenberg-Virasoro代数，SchrÖdinger代数S(1)等代数的Whittaker模的性质得到研究［8-12］.

我们首先给出S(2)的代数刻画，定义了S(2)的Whittaker模，然后构造出两类特殊的Whittaker模Mψ和Lψ,ξ，确定了Mψ和Lψ,ξ中的Whittaker向量.最后证明了当ψ是非奇异时，Lψ,ξ是单的.

文中出现的ℂ代表复数域，ℕ代表非负整数集，ℤ代表整数集，ℤ+代表正整数集，代表有限项和.

2 定义和基本概念

定义2.1 S(2)是一个非半单的李代数（下文S(2)记为S），它的一组基{p1,p2,e,q1,q2,f,h,r,z}，并且有以下李运算关系：

3 Mψ和Lψ,ξ的Whittaker向量

4 Whittaker模Lψ,ζ的单性

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HE Yan1,ZHU Lin-sheng2
(1.School of Mathematics and Physics,Suzhou University of Science and Technology,Suzhou 215009,China;
2.School of Mathematics and Statistics,Changshu Institute of Technology,Changshu 215500,China)

In this paper,the Whittaker modules for the SchrÖdinger algebra S(2)are aimed to study.First,the authors of the paper give the definition of the Whittaker modules for S(2),and construct the Whittakermodules Mψand Lψ,ξ.Then the authors determine the Whittaker vectors of Mψand Lψ,ξrespectively.Finally,the paper shows that Lψ,ξis irreducible ifψis non-singular.

SchrÖdinger algebra;Whittakermodules;Whittaker vector;irreducibility

O152

A

1008-2794（2014）04-0038-06

2014-03-30

朱林生，教授，博士，研究方向：无限维李代数的结构与表示，E-mail∶lszhu@cslg.edu.cn.