解抛物型方程的一个新的高精度隐格式

詹涌强，张传林

（1.华南理工大学广州学院计算机工程学院，广州510800；2.暨南大学数学系，广州510632）

在渗流、扩散、热传导等领域中经常会遇到求解抛物型方程的问题.在一维的情形，其模型为初边值问题

对问题（1）的求解，有限差分法是解决此类问题的常用方法，常见的差分格式［1－2］，如古典隐格式，Crank－Nicolson格式和Dufort－Frankel格式等，虽都是绝对稳定的，但它们的截断误差较低.前两者分别是O（τ＋h2），O（τ2＋h2）；后者为当τ＝h时还失去了相容性.对上述问题的改进，目前已经有了许多好的研究成果［3－7］，在这些研究成果中，有一些高精度的差分格式，如文献［6］给出了一族高精度恒稳格式，格式的截断误差达O（τ2＋h6）.文献［7］也构造了一个截断误差达O（τ4＋h4）的高精度隐格式，稳定性条件为0＜r≤1／，范围较小.本文则利用待定参数法构造了一个新的高精度隐式格式，格式的截断误差亦达到了O（τ4＋h4），同时证明了当r＞1／12，格式是稳定的.与文献［7］相比，r的取值范围更大了.

1 差分近似

先建立u（x，t）在节点（xj，tn＋1）处对t的一阶偏导数的一个近似表达式，其中xj＝jh，tn＝nτ，并令＝u（xj，tn），由Taylor展开，有

可得

为方便起见，记差商

2 差分格式的建立

对方程（1）建立如下的差分格式：

其余类推.ci（i＝1，…，6）为待定参数.

将（2）式中各节点上u的值在节点（jh，nτ）处作Taylor展开，并利用方程（1）整理可得

为了使格式（2）的截断误差达到O（τ4＋h4），须满足下面方程组：

将所得各值代入（2）式，可得截断误差为O（τ4＋h4）的一个隐式格式

3 稳定性和收敛性

利用Fourier分析法，可算出格式（4）的传播矩阵为：

传播矩阵G（s）的特征方程为

引理1［8］特征方程（5）的根满足｜λ1，2｜≤1的充要条件是

引理2［8］差分格式（4）稳定，即矩阵族Gn（s）（s∈［0，1］，n＝1，2，…）一致有界的充要条件是

1）｜λ1，2｜≤1（λ1，2是方程（5）的两个根）；

首先考虑条件2），由于g21＝1，所以（）是空集，故条件（2）成立的充要条件是使1－／4＝＋4g12＝0成立的s或者不存在，或者不属于区间［0，1］.当g12≠－1时，使该等式成立的s不存在，再由条件（1）和式（6）知，格式（4）稳定的条件为－1＋g12≤g11≤1－g12＜2.

由g11≤1－g12得

为确定起见，不妨假定

上式成立的一个充分条件是

又由1－g12＜2和（8）、（9）两式可得

该式成立的一个充分条件是

再由－1＋g12≤g11和（8）、（9）两式得

上式成立一个充分条件是

4 数值例子

考虑扩散方程

利用格式（4）求数值解，并与精确解进行比较.

表1 格式（4）数值解与精确解的比较Tab.1 Comparing the difference scheme（4）'s solution with the precise solution

由表中看出，对所取的r，差分格式（4）的解与精确解均有很好的吻合，这与理论分析完全一致.

［1］ 陆金甫，关 治.偏微分方程数值解法［M］.北京：清华大学出版社，2010：82－85.

［2］ 戴嘉尊，邱建贤.微分方程数值解法［M］.南京：东南大学出版社，2008：47－56，85－87.

［3］ 詹涌强，谭志明.求解抛物型方程的一个高精度隐格式［J］.西南大学学报：自然科学版，2013，35（11）：81－85.

［4］ 徐金平，单双荣.解抛物型方程的一个高精度显示差分格式［J］.华侨大学学报，2009，30（4）：473－475.

［5］ 马明书.解抛物型方程的一个高精度两层显格式［J］.河南师范大学学报：自然科学版，2001，24（1）：80－81.

［6］ 曾文平.抛物型方程的一族双参数高精度恒稳格式［J］.华侨大学学报，2002，23（4）：327－331.

［7］ Ma Mingshu，Wang Xiaofeng.A－high－order accuracy implicit difference scheme for solving the equation of parabolic type［J］.Chinese Quarterly Journal of Mathematics，2000，15（2）：94－97.

［8］ 马驷良.二阶矩阵族Gn（k，Δt）一致有界的充要条件及其对差分方程稳定性的应用［J］.高等学校计算数学学报，1980：2（2）：41－53.