反正切相加定理的一种新证法

刘春平， 刘晓平

(1.扬州大学 数学科学学院，江苏 扬州 225002； 2.扬州市职业大学 数学学院，江苏 扬州 225002)

反三角函数是三角函数在定义域内某个单调区间上的反函数. 关于反三角函数,中学和大学教科书[1-3]上有许多经典的定理和公式，如反正切相加定理，反正弦、反余弦相加定理等等. 吉米多维奇数学分析习题集第776题为：

证明反正切相加定理

(1)

式中ε(x,y)为取值0,1,-1三者之一的函数. 当已知x的值时，对于怎样的y值函数ε可能不连续？在Oxy平面上作出函数ε连续的对应域，并求此函数在所求得的域内的数值.

该题中的(1)式即是应用非常广泛的反正切相加公式.据我们所知，该定理一般都是从反函数的定义出发，通过讨论arctanu的取值范围进行证明的，证明本身并不复杂，但式中ε(x,y)何时取值0,何时取值1或-1, 学生不容易做出全面分析. 本文利用微分方程给出反正切相加定理一种新证明方法如下:

记

(2)

则

(3)

注意到平面曲xy=1将Oxy平面分为三个区域：

D1={(x,y)|xy<1},

D2={(x,y)|xy>1,x>0,y>0},

D3={(x,y)|xy>1,x<0,y<0}.

① 当(x,y)∈D1时，由(3)式两边关于x积分，得

F(x,y)=arctanx+φ1(y).

(4)

取x=0，代入(4)式，注意到F(0,y)=arctany,可知φ1(y)=arctany.因此

(5)

② 当(x,y)∈D2时，由(3)式两边关于x积分，得

(6)

注意到x→+∞时，

由(6)式有

又因为y>0时，

(7)

因此φ2(y)=-π+arctany,从而

(8)

③ 当(x,y)∈D3时，类似地有

(9)

注意到x→ -∞时，

由(9)式有

(10)

而y<0时，

(11)

因此φ3(y)=π+arctany,从而

(12)

综合①～③，即证明了反正切相加公式

并且由(5)，(8)和(12)知

(13)

不难看出，(13)式直接给出了反正切相加定理中函数ε(x,y)的连续域以及函数在域内的取值，第776题“当已知x的值时，对于怎样的y值函数ε可能不连续？在Oxy平面上作出函数ε连续的对应域，并求此函数在所求得的域内的数值.”自然就得到了解答.

[参 考 文 献]

[1] 周敏泽.中国华罗庚学校数学课本(高一年级)[M].吉林:吉林教育出版社，2002：132-140.

[2] 菲赫金哥尔茨.微积分学教程(第一卷)[M].8版.北京:高等教育出版社，2006：87-91.

[3] 吉米多维奇. 数学分析习题集[M]. 北京:人民教育出版社，1978：81-83.