平面杆系几何组成“四步分析法”

(陕西澄城县水利水保局， 陕西 澄城 715200)

0 引 言

在一些结构力学参考书中，通常都是对平面几何不变体系的组成规则进行了较详细的阐述；对于如何分析问题及应用这些组成规则解决问题，绝大部分只是针对几个具体的实例进行了示范性的分析；而对于怎样认定刚片和链杆，先从哪些刚片入手进行分析，分析过程选取刚片的次序等这些普遍性的问题没有解决。因此，对于一些初学者和设计者来说，即使掌握了几何不变体系的组成规则，还是不能顺利地分析和解决问题。笔者在多年的工程实践中，对平面杆系几何构造分析方法进行了一些探索，摸索出了一些分析的方法，该方法不仅具有普遍性和实用性，而且也比较容易掌握。

1 认定刚片

(1)必须要将整个基础、所有固定铰支座以及一端与基础固端相连的杆件认定为一个刚片。如图1所示几何体系中的杆AEF、固定铰支座C和整个基础一起认定为刚片I。

(2)必须要将具有链杆支承(可动铰支座)或具有双平行链杆支承(定向支座)的杆件认定为刚片。如图1所示几何体系中，因B处有可动铰支座，即将杆BG认定为刚片II；因D处有定向支座，即将杆DM认定为刚片III。

(3)要将体系中铰结三角形(三个直杆两两由杆端铰相连形成的三角形)或铰结三角形体系(在铰结三角形基础上用增加二元体的方法拓展成的三角形体系)可认定为一个刚片。如图1所示几何体系中的铰结三角形体系CHKL认定为刚片IV。

2 认定链杆

在杆件体系中，有很多杆件都是用两个杆端铰与其他构件相连，对于这类杆件是将其认定为链杆(刚片之间的约束)还是认定为刚片？一般情况下可根据刚片和链杆要相间隔认定的原则而定。如图1所示几何体系中，当把杆DM认定为刚片后，则与此刚片铰连的杆ML应认定为链杆①；链杆①的L端铰连刚片IV；刚片IV在H处铰连的杆HG就应认定为链杆②；链杆②的G端铰连刚片II。这就是按刚片→链杆→刚片→链杆→刚片的相间隔认定。应当注意，这里不排除刚片和刚片之间直接由铰相连的形式。图1所示几何体系的刚片和链杆认定如图2所示。

3 作刚片联系网络图

用刚片代号(I、II、III…)表示刚片；当两个刚片之间有约束时，可在两个刚片代号之间画连接线，表明两刚片之间有约束联系；在连接线中部用数字(1、2、3…)表达刚片之间的约束个数。将这种图形称刚片联系网络图。图1所示几何体系的刚片联系网络图如图3所示。

图1图2图3

刚片联系网络图将几何体系组成的约束必要条件抽象出来，并用紧凑简洁的图象表达，消除了具体的刚片形状和约束分布对分析产生的不利影响。

4 应用刚片联系网络图进行分析

第1构造层分析。任何一构造层不是由两刚片就是由三刚片组成(两刚片规则：两刚片之间有3约束；当链杆与铰不共线时；即构成无多余约束的几何不变体。三刚片规则：三刚片两两之间有2约束，共6个约束；当三铰不共线时；即构成无多余约束的几何不变体)。从刚片联系网络图中可直接全面观察到各刚片间有无约束及约束个数情况，根据刚片数和约束个数确定有无两刚片构造或三刚片构造。在图3所示的刚片联系网络图中，首先可明显看出刚片I和II之间有3个约束，具备二刚片规则所需约束个数的必要条件；再从图2中可看出两刚片之间约束布置也满足链杆③与铰F不共线要求；则刚片I和II可构成一个无多余约束的几何不变体——即构成一个第1级刚片团。

第2构造层分析。将第1构造层所构成的刚片团在刚片联系网络图中现在只作为一个刚片看待，再观察第一级刚片团和其他刚片之间的约束个数，根据刚片数和约束个数确定应用什么规则进行第2构造层分析。显然，在图3中，已确定的第1级刚片团与刚片IV之间有3个约束，并且链杆②与铰C不共线，约束布置满足要求；则第一级刚片团与刚片IV也可构成一个无多余约束的第2级刚片团。继续从刚片联系网络图中观察已构成的刚片团和其他刚片之间的约束情况，可应用以上方法完成后续构造层分析。在图3中，已确定的第2级刚片团与刚片Ⅲ之间也有3个约束，链杆①、④和⑤不完全平行也不全交于一点，约束布置满足二刚片规则要求，第2级刚片团与刚片Ⅲ也可构成一个无多余约束的几何不变体系。经分析，图1所示平面几何体系为无多余约束的几何不变体系。

当然，在构成某些刚片团后，各刚片团和其他刚片之间也可能由于约束个数不够形成几何可变体系，或约束布置不合理而形成几何瞬变体系。

由以上分析可以看出，从刚片联系网络图中，不但能直接观察和掌握所有刚片之间的约束情况；还能判明哪些刚片首先能满足构成几何不变的必要条件，解决了几何构造分析先从哪些刚片开始的问题；进而还能确定后续分析时所选定刚片的次序。

5 示例

对图4所示几何体系进行组成分析。

认定刚片和链杆。将4个固定铰支座(D、F、M和O)、杆AB(A端有固定支座)以及整个基础认定为刚片I；因J处为可动铰支座，将由其支承的铰结三角形体系GHJK可认定为刚片II；根据刚片和链杆相间隔认定的原则，可认定折杆CE为刚片III，杆LN为刚片IV；体系中其他杆件可认定为刚片之间的链杆。刚片和链杆的认定如图5所示。

作刚片联系网络图。刚片I和III之间有3个约束(链杆①、②和③)；刚片I和II之间有1个约束(链杆⑤)；刚片I和IV之间有2个约束(链杆⑧和⑨)；刚片II和III之间有1个约束(链杆④)；刚片II和IV之间有2个约束(链杆⑥和⑦)。作其刚片联系网络图如图6所示。

图4图5图6

第1构造层分析。由图6明显可以看出，刚片I和III之间有3个约束(链杆①、②和③)相连，具备两刚片规则最少所需3个约束的必要条件；再由图5中可知，两刚片之间3个链杆不完全平行也不全交于一点，约束布置满足两刚片规则要求，则刚片I和III可构成一个无多余约束的第一级刚片团。

第2构造层分析。再观察图6可知，第1级刚片团、刚片II和刚片IV相互之间都有2个约束，具备三刚片规则最少所需6个约束的必要条件；再从图5中可看出6个链杆两两形成的3个虚铰(链杆④和⑤的虚铰在H处，链杆⑥和⑦的虚铰在水平向无穷远处，链杆⑧和⑨的虚铰在铅垂向无穷远处)不共线，刚片之间约束布置满足三刚片规则要求；构成一个无多余约束的几何不变体系。

由以上分析可知，图4所示平面几何体系为无多余约束的几何不变体系。

将以上几何组成分析过程可用括号分层的形式表达如下(一个括号内的所有刚片可构成一个构造层；一个构造层中的各刚片之间当满足组成规则时，可构成一个刚片团)。

6 结 语

在几何组成分析中，首先从刚片和链杆的认定开始；进而抽象出刚片联系网络图；再从刚片联系网络图直接确定从哪些刚片入手以及应用什么规则进行第一构造层分析；其后构造层的分析方法完全与前层相同，而不同之处是要将前构造层所构成的刚片团在刚片联系网络图中只作为一个刚片看待。最后将分析过程用简洁的括号分层的形式表达。以上方法解决了刚片和链杆认定的试探性以及使用构造规则的盲目性问题，使分析过程有法可依，循序渐进，便于应用。