3-RPS和3-SPR机构铰链布置形式建模与分析

熊令明,张 臣

(南京航空航天大学机电学院, 江苏 南京， 210016)

根据各构件间相对运动方式的不同，并联机构可分为平面并联机构、球面并联机构和一般空间并联机构[1]。并联机构的形式有多样[2]，虽然其结构形式、自由度数目及驱动方式等各不相同, 但相互间具有紧密的内在联系[3]。作为空间三自由度并联机构的代表3-RPS和3-SPR并联机构，其运动副的布置常常被忽略。并联机构铰链和布置形式的不同会对机构的运动方式产生重要影响，因此研究并联机构铰链的不同布置形式有重要意义[4]。

本文根据并联机构结构综合理论以及单开链为单元的并联机构组成原理[5]，建立3-RPS和3-SPR机构铰链布置形式的模型，借助ADAMS软件分析所建相同平台和不同平台下铰链布置形式模型的可靠性，给出各种铰链布置形式产生的运动结果，与所建立的布置形式模型进行比较，筛选出符合体感机构要求的三自由度并联机构。

1 机构建模与运动学分析

1.1 铰链布置形式的数学建模

图1 3-SPR和3-RPS机构数学模型示意图Fig.1 Schematic diagram of 3-SPR and 3-RPS mechanism model

1.2 机构位移分析

定平台的端点铰链在定坐标系中的坐标为

(1)

动平台的铰链在动坐标系中的坐标为

(2)

动平台的坐标原点在定坐标系中的坐标为

动平台的铰链在定坐标系中的坐标为

动平台到定平台的旋转矩阵为

并满足以下条件：

zl=ynxm-xnymxlyl+xmym+xnyn=1

zm=ylxn-xlynxlzl+xmzm+xnzn=1

zn=ymxl-xmymzlyl+zmym+znyn=1

即动平台在定平台上旋转后的端点坐标表示式为

(3)

式中：a=qrxl-ryl+2Xo;b=qrxm-rym+2Yo;c=qrxn-ryn+2Zo;d=-qrxl-ryl+2Xo;e=-qrxm-rym+2Yo;f=-qrxn-ryn+2Zo。

杆长为

ri=ai-Ai

即

则杆长表达式为

(4)

式中：G=XOxl+YOxm+ZOxn；K=XOyl+YOym+ZOyn。

动平台的最终位姿可以由(Xo,Yo,Zo，α,β,γ)来表示，其中α,β,γ为动平台绕空间上互为垂直的3根轴线旋转的角度，即欧拉角。欧拉角与旋转矩阵为一一对应的关系。由于符合条件的机构驱动杆中均含有1个旋转副，且由3根非线性驱动杆驱动，所以每条驱动杆都有1个约束方程，即该驱动杆的向量一直与该杆中的旋转副轴线垂直。杆长表达式中含有6个未知数，依据约束数与自由度数的关系，该机构可以建立3个约束方程。

δi·Ri=0(i=1,2,3)

(5)

当a1铰链为旋转铰链时，约束式为

2G+qr-qRxl+Rxmcosθ1+

2K-r-qRyl+Rymsinθ1=0

(6)

当A1铰链为旋转铰链时，约束式为

qrxl-ryl+2XO-qRcosθ1+

qrxm-rym+2YO+Rsinθ1=0

(7)

当a2铰链为旋转铰链时，约束式为

G-Rxmcosθ2+(K-Rym)sinθ2=0

(8)

当A2铰链为旋转铰链时，约束式为

ryl+XOcosθ2+

(rym+YO-R)sinθ2=0

(9)

当a3铰链为旋转铰链时，约束式为

2G-qr+qRxl+Rxmcosθ3+

2K-r+qRyl+Rymsinθ3=0

(10)

当A3铰链为旋转铰链时，约束式为

-qrxl-ryl+2XO+qRcosθ3-

qrxm+rym-2YO-Rsinθ3=0

(11)

根据机构动定平台各铰链支点是否为旋转铰链，选择对应的约束方程。因所选机构为3-SPR、3-RPS，故存在3个约束方程。为获得3-SPR、3-RPS机构的位姿(含6个未知量)，需要选择3个位姿独立变量进行求解。利用Matlab进行计算筛选，步骤如下：

(1)根据机构类型选择对应约束方程，如：3-SPR机构中的旋转铰链均在动平台，故选择式(6)、式(8)、式(10)作为3-SPR的3个约束方程。

(2)将机构的旋转铰链轴心线角度 代入方程并简化，如：将3-SPR机构中θ1、θ2、θ3为90°、0°、90°分别代入式(6)、式(8)、式(10)，化简后即得：

(12)

式中：G=XOxl+YOxm+ZOxn；K=XOyl+YOym+ZOyn。

(3)对化简后的约束方程进行旋转方式选择，从中选出最易求解的一组，如： 式(12)化简后的约束方程选择XYX形式的欧拉角最为简便，根据已知的3个独立变量，利用Matlab软件计算得出(Xo,Yo,Zo，α,β,γ)中的另外3个变量。

(4)利用求出的3个机构变量和已知的3个独立变量，结合式(4)计算驱动杆长度，即可求出杆的伸长量。

1.3 铰链布置形式分析

利用Adams软件分析动平台面积相同或不同及不同铰链布置形式下的机构运动方式。12种铰链布置形式下的3-SPR机构运动方式如表1所示。

表1 12种铰链布置形式下的3-SPR机构运动方式

从表1中可看出，由于相同或不同的动平台面积及铰链布置形式导致了3-SPR机构的运动方式各不相同，即：①无论动平台面积是否相同，均呈现Z轴移动，X、Y轴转动并有附加运动；②铰链布置角度值为0-0-0和90-90-90时，动平台面积相同，运行不稳定，动平台面积不同，均不能运动；③铰链布置角度值为0-θ2-90和90-θ2-0时，θ2值为0°～90°，机构运动方式不变，均为Z轴移动，X、Y轴转动并有附加运动。④从式(7)、式(9)、式(11)中可知，6个位姿变量中仅有5个在约束方程中，从而使3-SPR机构在运动过程中存在附加运动。

动平台面积相同或不同及铰链布置形式同样会导致3-RPS机构的运动方式不同，即：①无论动平台面积是否相同，均呈现Z轴移动，X、Y轴转动并无附加运动；②铰链布置角度值为0-0-0、90-90-90、60-90-120时，动平台面积相同，运行不稳定，动平台面积不同，均不能运动。③铰链布置角度值为θ1-0-90、0-θ2-90、90-θ2-0、90-0-θ3时，θ1、θ2、θ3取值为0°～90°，机构运动方式不变，均为Z轴移动，X、Y轴转动。

综上所述，3-SPR中符合体感机构要求的有：0-0-90，0-90-90，90-0-0，90-0-90，90-90-0，60-0-120，150-0-30； 3-RPS中符合体感机构要求的有：0-0-90，0-90-0，0-90-90，90-0-0 ，90-0-90，90-90-0， 60-0-120，150-90-30。

2 机构铰链布置形式的软件开发

对于12种典型铰链布置形式的机构进行建模分析，根据机构稳定性特点，开发出了适合3-RPS和3-SPR机构铰链布置形式的软件，用于辅助铰链布置形式的选择。机构参数流程图如图2所示。

图2 机构参数流程图

机构参数包含机构的支点布置形式、平台结构设计、自由度数目及机构类型。机构的支点布置形式分为三点支撑、四点支撑及六点支撑。平台结构设计有等边三角形、等腰三角形、六边形，机构类型有3-SPR、3-RPS、2-SPR+RPS、2-RPS+SPR等。根据机构结构类型及平台布置形式，运用修正的Kutzbach-Grubler公式进行自由度的判断。根据运动参数及性能要求的输入来判断机构的性能是否满足要求，如果性能验证成功则呈可视化显示，否则返回重新选择参数和性能要求。机构参数选择界面中，平台高度和平台面积为初始位置时的机构高度和上下平台的面积，角度θ1、θ2、θ3的选择为对12种典型铰链布置中角度的选择，角度选择的结果会自动对应出现该角度下应该选择的独立变量、旋转方式和运动方式。如：参数输入选择的机构类型为3-SPR、平台铰链的布置角度分别为90°、0°、90°时，系统会自动显现出其独立选择变量Xo、a、b，欧拉角的旋转方式选择了X-Y-X，并得出3-SPR在该铰链布置角度下的运动方式，其与ADAMS分析结果一致。

3 结语

通过对12种典型旋转铰链布置形式下的3-RPS和3-SPR机构进行自由度计算、数学建模和运动学分析，利用Pro-E和 ADAMS软件分析及验证所建模型，筛选出符合体感机构要求的三自由度并联机构，结果可用于辅助铰链布置形式的选择。

[1] 陈文家. 典型并联机构的演化关系及其分类研究[J]. 机械设计，2004,21(5)：1-3.

[2] 李秦川, 陈志, 陈巧红, 等. [PP]S类并联机构无伴随运动的结构条件[J]. 机械工程学报, 2010, 46(15): 31-35 .

[3] 杨廷力, 金琼, 刘安心, 等. 基于单开链单元的三平移并联机器人机构型综合及其分类[J] . 机械工程学报, 2002, 38(8):31-36.

[4] 王旭永, 王显正, 张颖, 等. 三自由度并联驱动平台机构的位置逆解及其分析[J]. 上海交通大学学报, 1998, 32(1): 102-104.

[5] 郑晓虎. 基于ADAMS的并联机构运动分析[J]. 现代制造工程, 2004,33(11): 48-50.