异常空心光束通过硬边光阑失调光学系统的传输

王奎龙

（杭州师范大学理学院，浙江杭州310036）

由于在原子光学、量子光学、微观粒子的激光操作和医学方面的广泛应用，中心光强为零的空心光束在实验和理论上都受到了很多的关注［1－4］．实验上提出了多种方法来产生空心光束，都获得了较好的实验结果．理论上提出了TEM＊01光束、贝塞尔－高斯光束、高阶马丢光束和空心高斯光束等多种模型描述空心光束．后来，Wu等在实验中观察到了一种椭圆对称的异常空心光束，其中间带一个椭圆形的实心核，为研究线性和非线性粒子动力学中的横向不稳定性提供了一种重要的工具［5］．2007年，Cai提出了描述这种异常空心光束的理论模型，并研究了这种光束在自由空间的传输特性［6］．随后，异常空心光束在不同光学系统下的传输特性受到广泛研究［7－11］．

然而，在实际光学系统中，光束的传输总要受到光阑的限制，同时光学系统的失调普遍存在，因此，研究光束在带有光阑的失调光学系统中的传输具有重要意义．本文研究了异常空心光束通过一个带圆形光阑的失调傍轴光学系统的传输，通过把光阑函数展开为复高斯函数的方法推导出椭圆异常空心光束通过光阑失调傍轴ABCD光学系统的近似传输公式．作为数值计算的实例，研究了异常空心光束通过带圆形硬边光阑失调薄透镜系统的传输特性．

1 异常空心光束通过光阑失调傍轴光学系统的传输

考虑异常空心光束通过如图1所示的失调光学系统，其中：RP1和RP2是准直参考平面，RP1m和RP2m是失调参考平面，ε是横向偏移量，ε′是倾斜角度．A、B、C和D是从RP1到RP2的准直光学系统的矩阵元．一个半径为a的圆形光阑放置在输入平面RP1上．圆形光阑的窗口函数可表示为

在直角坐标下，Z轴为光束传输轴，Z＝0入射面内的异常空心光束的电场分布，可以描述为

式中w0x和w0y分别表示像散高斯光束在x和y方向的束腰宽度，当w0x＝w0y时为圆对称异常空心光束．

在傍轴条件下，异常空心光束通过光阑失调系统后出射场的分布可由直角坐标下的Collins积分公式得到

其中k＝2π／λ，λ为波长．E、F、G和H分别定义为

其中：εx，εy，ε′x，ε′y分别是ε和ε′在x和y方向的二维分量，αT、βT、γT和δT与变换矩阵元的关系为

上式中，l为输入平面与输出平面间的轴上距离．

图1 两维失调光学系统示意图Fig．1 Misaligned diagram for a two－dimensional forward－going system

图2 带圆形硬边光阑透镜系统Fig．2 Propagation of anomalous hollow beam passing through a lens

硬边光阑函数可拓展为一组复高斯函数之和

式中An和Bn分别为拓展的复系数，可从计算机优化中得到［12］，N取10足够近似，因此在下面的计算中取N＝10．将式（2）和（6）代入式（3），经过复杂积分后，可以得到异常空心光束通过硬边光阑失调傍轴光学系统的场分布的解析表达式

其中

式（7）为异常空心光束通过带圆形光阑的失调傍轴ABCD光学系统的一般表达式，当取ε＝ε′＝0时，简化为带圆形光阑的准直ABCD光学系统的传输，当a＝∞时，简化为无光阑失调系统的传输．

2 数值模拟和分析

作为具体应用的例子，考虑异常空心光束通过如图2所示的一个带圆形光阑的失调透镜系统．

透镜系统的矩阵可表示为

其中：s为输入面到透镜的距离，f是透镜的焦距，z1是输出面到透镜焦平面的距离．将式（10）中A、B、D代入式（7），通过模拟计算可以得到不同观察面上的异常空心光束的归一化光强分布．在下面的计算中，取λ＝632．8 nm，f＝500mm，s＝300mm，圆对称光束取w0x＝w0y＝1mm，椭圆对称光束取w0x＝1mm，w0y＝0．5mm．

图3 无光阑准直透镜系统中的归一化光强分布Fig．3 Normalized intensity distribution in a alignment lens optical system without aperture

图4 圆对称异常空心光束通过光阑失调透镜系统后焦平面上的归一化光强分布（εx＝εy＝1mm，a＝1mm）Fig．4 Normalized intensity distribution of an circular symmetric anomalous hollow beam through an apertured misaligned lens system at the focusing plane withεx＝εy＝1mm，a＝1mm

图5 光阑失调透镜系统中不同距离处的归一化光强分布（a＝1mm）Fig．5 Normalized intensity distribution at different propagation distances plane in an apertured misaligned lens system with a＝1mm

图3所示为圆对称和椭圆对称异常空心光束通过无光阑准直透镜系统的3D归一化强分布和等高分布图，图3（a）（b）和图3（c）（d）为圆对称椭圆对称异常空心光束在输入面和焦平面处的归一化光强分布．从图3中可以看出，异常空心光束通过透镜系统后，其中心光强变为最大值，而环绕中心核的光强逐渐减弱，但没有完全消失，从图3（c）（d）可以看出，椭圆对称异常空心光束通过透镜系统后，其长轴和短轴会发生交换．图4和图5所示为异常空心光束通过光阑失调透镜系统后的归一化光强分布，其中光阑宽度为a＝1mm，图4所示为在焦平面上不同失调量时的归一化光强分布，图5所示为在失调量为εx＝εy＝1mm和ε′x＝ε′y＝0．001rad时不同传输距离处的归一化光强分布．从图4和图5中可以看出，异常空心通过失调光阑系统后，变为一个离轴光束，当存在角偏移时，离轴光束的偏移量进一步加大（见图4（b）），在相同的失调量下，光束的偏移量随着传输距离的增大而增大（比较图4（b）和图5）．图6和图7为圆对称和椭圆对称异常空心光束通过不同光阑宽度的光阑失调透镜系统后的归一化光强分布，其失调量为εx＝εy＝1mm和ε′x＝ε′y＝0．001rad．从图3—图7可以看出，光阑对异常空心光束通过光阑失调透镜系统后的光强分布有很大影响，比较图3（b）、图4和图5可以看出，由于光阑的衍射作用，光束的分布出现多个旁瓣，而中心光强逐渐减小，在较远距离处，旁瓣数量减小，光强增大．从图6和图7可以看出，在z1＝50mm处，随着光阑宽度的增大，光束光强逐渐集中，而当光阑宽度增大到一定程度，光强分布变化减小，如图6（b）和（c），图7（b）和（c）所示，从a＝2mm到a＝5mm，光束分布基本不变，但强度有所增强，而光阑宽度5mm以上，光阑作用基本消失．从图3、图6和图7还可以看出，圆形光阑对圆对称和椭圆对称异常空心光束的传输影响不同，由于椭圆对称光束的不对称，受光阑的限制也不对称，光阑对光束分布的影响比较复杂，具有不规则性．

图6 不同光阑宽度的光阑失调透镜系统中的归一化光强分布（z1＝50mm）Fig．6 Normalized intensity distribution at z1＝50mm plane in an apertured misaligned lens system at z1＝50mm plane

图7 椭圆对称异常空心光束在光阑失调透镜系统中的归一化光强分布（z1＝50mm）Fig．7 Normalized intensity distribution of elliptical symmetric anomalous hollow beam at z1＝50mm plane in an apertured misaligned lens system at z1＝50mm plane

3 结 论

运用光阑函数的复高斯展开和广义衍射积分公式，推导出了异常空心光束通过带硬边圆形光阑失调ABCD光学系统的近似传输公式．作为应用的特例，数值研究了异常空心光束通过带圆形光阑失调薄透镜系统的传输特性．结果表明，异常空心光束通过系统后成为一离轴光束，其偏离中心量与传输距离、位置和角度偏移量ε和ε′有正相关，结果还表明，光阑尺寸对光束的光强分布及传输规律有明显影响，并且对圆对称和椭圆对称光束的影响结果不同．其结果对异常空心光束的应用和光学系统的设计有实际参考价值．

［1］Yin J P，Gao W J，Zhu Y F．Generation of dark hollow beams and their applications［C］／／Wolf E．Progress in Optics．North－Holland：Elsevier Science B．V．2003，45：119－204．

［2］Kuga T，Torii Y，Shiokawa N，etal．Novel optical trap of atoms with a doughnut beam［J］．Phys Rev Lett，1997，78（25）：4713－4716．

［3］Ito H，Sakaki K，Jhe W，etal．Laser spectroscopy of atoms guided by evanescent waves in micron－sized hollow optical fibers［J］．Phys Rev Lett，1996，76（24）：4500－4503．

［4］Yin J P，Zhu Y F，Jhe W，etal．Atom guiding and cooling in a dark hollow laser beam［J］．Phys Rev A，1998，58（1）：509－513．

［5］Wu Y K，Li J，Wu J．Anomalous hollow electron beams in a storage ring［J］．Phys Rev Lett，2005，94（13）：134802．

［6］Cai Y J．Model for an anomalous hollow beam and it s paraxial propagation［J］．Opt Lett，2007，32（21）：3179－3181．

［7］Wang K L，Zhao C L，Xu B J．Propagation of anomalous hollow beam through a misaligned first－order optical system［J］．Opt Laser Technol，2010，42：1218－1222．

［8］Wang K L，Zhao C L．Fractional Fourier transform for an anomalous hollow beam［J］．J Opt Soc Am A，2009，26：2571－2576．

［9］Cai Y J，Eyyubogˇlu H T，Baykal Y．Propagation properties of anomalous hollow beams in a turbulent atmosphere［J］．Opt Commun，2008，281：5291－5297．

［10］Cai Y J，Wang F．Partially coherent anomalous hollow beam and its paraxial propagation［J］．Phys Lett A，2008，372：4654－4660．

［11］王奎龙．异常空心光束通过环形光阑的传输特性［J］．杭州师范大学学报：自然科学版，2010，9（6）：468－472．

［12］Wen J J，Breazeale M A．A diffraction beam field expressed as the superposition of Gaussian beams［J］．J Acoust Soc Am，1988，83（5）：1752－1756．