常数K值法在微分中值定理证明中的应用

夏军剑 刘俊峰 李维伟

（军事交通学院基础部,天津 300161）

在微积分中有关微分中值的问题是一个难点,其证明往往要构造一个辅助函数，所以选择一个合适的辅助函数是问题的关键。对这一类的问题，常数K值法是比较直观，同时也非常简便的方法，只需按照一个固定的套路证明就行了。

1 常数K值法概述

一般待证等式中通过分离，一端是含ξ的抽象函数(或其低阶导函数)，另一端是只与区间端点a、b及其函数值、导数值有关的常数，常数值部分是对称的或轮换对称的，我们可以统一按下述程序证明：

（1）从结论中分离出常数部分，令它等于K，构造一个含K的等式。

（2）对含常数K的等式进行适当变形，把b换为x，再将右端移于左端，并令左端为F（x）,此F（x）即为所构造的辅助函数。

（3）由 K 的取法及 F（x）的作法可知，F（a）=F（b），对 F（x）使用罗尔定理，可以得到 F′（ξ）=0。

若原式中含有二阶导数,可由F′（ξ）=0解出K后,再用一次中值定理,就可得到欲证的结果,若含有在中值点处更高阶的导数,可仿此继续,直到所要的结果。

2 应用举例

例1 设在上连续，在内可导，试证明存在，使得

证明：

2）令 F（x）=xf（x）-af（a）-K（x-a）

3）F（a）=F（b）=0，由罗尔定理，

存在 ξ∈（a，b），使得 F′（ξ）=0

而 F′（x）=f（x）+xf′（x）-K，所以，F′（ξ）=f（ξ）+ξf′（ξ）-K=0，

所以 K=f（ξ）+ξf′（ξ），即命题成立。

例 2 设 f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，试证明存在ξ∈（a，b），使得

证明：

3）F（a）=F（b）=0，由罗尔定理，

存在 ξ∈（a，b），使得 F′（ξ）=0

所以 K=f（ξ）-ξf′（ξ），即命题成立。

例 3 设 f″（x）在[a，b]上存在，a

证明：

则（b-c）f（a）+（c-a）f（b）+（a-b）f（c）+K（a-b）（b-c）（c-a）=0

2）令 F（x）=（x-c）f（a）+（c-a）f（x）+（a-x）f（c）+K（a-x）（x-c）（c-a）

3）F（a）=F（b）=F（c）=0，由罗尔定理，

存在 ξ1∈（a，c），ξ2∈（c，b），使得 F′（ξ1）=F′（ξ2）=0

由罗尔定理，存在 ξ∈（ξ1，ξ2） ∩（a，b），使得 F″（ξ）=0。

而 F″（x）=（c-a）f″（x）-2K （c-a）， 所以 F″（ξ）=（c-a）（f″（ξ）-2K）=0

例 4 设 f″′（x）在[a，b]上存在，试证明存在 ξ∈（a，b），使得

证明：

3）F（a）=F（b）=0，由罗尔定理，

存在 η∈（a，b），使得 F′（η）=0

所以 F′（η）=F′（a）=0，由罗尔定理，

存在 ξ∈（a，η） ∩（a，b），使得 F″（ξ）=0

例 5 若 f（x）∈C（a，b），且 f（x）∈D（2）（a，b），则必存在 ξ∈（a，b），使得

证明：

3）F（a）=F（b）=0，由罗尔定理，

存在 c∈（a，b），使得 F′（c）=0

例 6 若 a

证明：

则（b）-f（a）-（b-a）f′（a）-K（g（b）-g（a）-（b-a）g′（a））=0

2）令 F（x）=f（x）-f（a）-（x-a）f′（a）-K（g（x）-g（a）-（x-a）g′（a））

3）F（a）=F（b）=0，由罗尔定理，

存在 η∈（a，b），使得 F′（η）=0

而 F′（x）=f′（x）-f′（a）-K（g′（x）-g′（a））

所以 F′（η）=F′（a）=0，由罗尔定理，

存在 ξ∈（a，η） ∩（a，b），使得 F″（ξ）=0

即 F″（ξ）=f″（ξ）-Kg″（ξ）=0,所以 K=，原命题成立。

[1] 华东师范大学数学系编.数学分析(上册)[M].北京:高等教育出版社，2001.

[2] (苏)菲尔金哥尔茨著，昊新仁等译.数学分析原理(第一卷第一分册)[M].北京:人民教育出版社，1979.

[3] 李国成.浅谈利用微分中值定理解题的方法和技巧［J］.成都教育学院学报,2004（7）.

[4] 朱崇军,徐侃.微分中值定理应用中辅助函数的构造［J］.高等函授学报（自然科学版），2008(2).