利用边界元法计算阴极保护电位分布

黄鲁星 胜利油田油气集输总厂

利用边界元法计算阴极保护电位分布

黄鲁星 胜利油田油气集输总厂

随着计算机以及数值计算方法的发展，利用数值模拟来获得阴极保护电位的分布逐步受到人们的重视。埋地管道阴极保护电位的边界元计算过程为：物理模型建立→数学模型的推导→边界条件的确定→边界元算法离散→编程求解。对于埋地管道阴极保护电位分布的求解，通过建立物理模型，利用相应边界条件及边界元算法推导出了数学模型；采用管单元对边界进行离散，从而实现了计算机编程求解。当遇到管道沿线土壤介质不均匀以及管道出现拐点的地方，可利用本文提出的方法作相应的处理。

阴极保护；电位分布；边界元；模型

在阴极保护工程中，电位是监视和控制阴极保护效果的一项重要指标，掌握被保护体表面的阴极保护电位分布对于防腐控制很有意义。在传统阴极保护工程中，阴极保护电位大都是采用实际测量或经验估算的方法来获得。但对于海底管道、海洋平台、大罐罐底等保护结构，实地测量的难度很大，而经验估算的方法所得结果的误差很大，因此传统的方法已经难以满足现代阴极保护安全性的要求。随着计算机以及数值计算方法的发展，利用数值模拟来获得阴极保护电位的分布逐步受到人们的重视。

埋地管道阴极保护电位的边界元计算过程为：物理模型建立→数学模型的推导→边界条件的确定→边界元算法离散→编程求解。

1 物理模型的建立

外加电流阴极保护系统的物理模型如图1所示。由于时间、试验条件等因素的限制，对所研究的问题作了一些简化[1]：①管道沿线土壤介质为均一介质；②被保护金属表面极化行为不瞬时改变；③电位场为稳态场；④电流通过土壤时，遵循欧姆定律；⑤辅助阳极可以看成是集中点源，输出电流恒定。

以上的简化假设条件，对于无限大土壤区域以及长时间的阴极保护情况，②、③、④、⑤的假设是基本满足的。对于①的假设，当埋地管道是在区域站场内的时候，可以认为土壤介质均一；但是对于长输管道沿线经过的地理环境差异很大的情况，土壤介质则不能看作是均一的介质，此时应采用分块处理，即将管道沿线经过的土壤区域分割成若干块，认为每一块的土壤介质是均一的，并且在相邻两块土壤介质的交界面上增加相应的连续性条件。

图1 阴极保护电位分布的物理模型

认为在交界面处通过的法向电流密度相等，即

2 数学模型的推导及边界条件的确定

经分析推导，得出含点源的土壤中的电位满足Poission方程[2]为

对于式（2）所对应的边值问题的设置如图2所示，其中Γb为管道表面，Γd为土壤与大气的交界面，Γ∞为虚冠球边界。

图2所示的边界条件可以做如下设置：

在边界Γ∞上，由于所示区域为半无限大区域，故边界Γ∞上的电位为零，法相电流密度也为零。

图2 边值问题示意

在边界Γd上，由于空气的电阻率趋于无限大，外加阳极电流不能通过土壤介质流入空气介质，只能沿着地表流动，故可以把这个面当做绝缘面来处理，通过该表面的法相电流密度为零[3]。

在阴极边界Γb上，一般选用实际测量的阴极极化曲线。

综上可得埋地管道阴极保护电位分布数学模型为

3 边界元算法离散

边界单元的选取有三角形、四边形以及柱面单元等。若选择三角形或四边形单元，那么形成的节点会很多，离散成方程的时候，方程的个数会很多，给求解带来很大的不便。而柱面单元的选取则会大大降低节点和方程的个数，因此下面选择柱面单元加以介绍。

采用管单元法的前提条件是[4]：①被保护体的几何形状适宜进行柱面单元剖分；②同一柱面单元截口线上的电位可视为基本相同。

用上述的管单元离散边界，应用标准的BEM公式，通过积分变化得到各单元的系数矩阵如下

以上两式中，i≠j。K(k)是第一类完全椭圆积分，E(k)是第二类完全椭圆积分，在Matlab中直接调用即可；J、B是坐标变换的结果；t为局部坐标；Zrn为管的最后节点的第三坐标。

最后对式（7）、（8）进行数值积分，对上述问题所得的标准BEM系统结果是

4 拐点的处理

对于常单元，由于单元内u和q为常数，没有角点的问题，但是对于线性单元、二次单元和高次单元来说，角点问题必须处理，否则在拐点处会产生很大的误差，下面讨论几种具体的处理方法。

（1）双角节点法。当角点为两个边界单元节点时，可以在该角点的两侧，离角点非常近的位置取两点作为节点。由于这两个节点分别属于不同的单元，因此节点上的边界可以认为是光滑的，这种方法简单实用，经常被采用。

（2）非协调单元法。非协调单元法即单元边界的两个端点和节点不一致，这种方法实际是在单元上进行线性插值，取边界单元的1/4处和3/4处为节点，这样节点必定在光滑边界上，在节点处的导数不会出现不连续的现象。

（3）二重节点法。二重节点法即是在角点上配置两个节点，两个节点有相同的坐标，但它们分别属于两个不同的单元，函数值相同但是导数值不同。在两个节点上建立边界积分方程时，要附加两节点函数值相同的边界条件。

5 结论

对于埋地管道阴极保护电位分布的求解，通过建立物理模型，利用相应边界条件及边界元算法推导出了数学模型；采用管单元对边界进行离散，从而实现了计算机编程求解。当遇到管道沿线土壤介质不均匀以及管道出现拐点的地方，可利用本文提出的方法作相应的处理。

[1]梁成浩，袁传军，黄乃宝．边界元法计算冻土层管道阴极保护时的电位分布[J]．大连海事大学学报，2011，11（4）：109-112.

[2]吴洪潭．边界元法在传热学中的应用[M]．北京：国防工业出版社，2008.

[3]郝红娜，李自力，王太源，等．阴极保护数值模拟计算边界条件的确定[J]．油气储运，2011，30（7）：504-507.

[4]孟宪级，吴中元，梁旭巍，等．区域性阴极保护数学模型算法的改进[J]．中国腐蚀与防护学报，1998（9）：221-226.

（栏目主持杨军）

10.3969/j.issn.1006-6896.2014.5.015