利用线性Bregman迭代的ISAR高分辨成像∗

陈文峰,李少东,杨 军

(空军预警学院,湖北武汉430019)

0 引言

作为一种能够在远距离、全天候条件下对运动目标获得高分辨图像的技术,逆合成孔径雷达(ISAR)成像技术在远程预警、目标识别及空中管制等军事和民用领域得到了广泛的应用。

ISAR通过发射大带宽信号获得高分辨率距离像,利用目标相对于雷达的转动获得方位向高分辨率。然而,雷达参数限制了方位向成像分辨率。将压缩感知(CS)理论[1]应用于ISAR成像中能够获得方位向高分辨。文献[2]利用正交匹配追踪(OMP)算法提出一种基于统计CS的短孔径成像方法,该方法虽然获得了方位向高分辨,但是OMP需要预知信号的稀疏度;文献[3]在低信噪比下提出了一种改进CS高分辨ISAR成像方法,但是该方法迭代地利用加权1-范数进行重构,效率较低。在ISAR距离向,文献[4]提出了基于CS的LFM信号脉冲压缩实现算法,能够在不降低距离分辨率的同时达到降低副瓣的目的,同时能保留回波信号的相位历程。

距离-多普勒(Range Doppler,RD)算法成像时存在方位向分辨率低的问题,而基于OMP的ISAR成像方法虽然可获得方位向的高分辨,但需要预知稀疏度。为了突破这一限制,本文基于线性Bregman迭代(LBI)算法,实现ISAR方位向高分辨。首先将其推广到复数域,然后对LBI进行了理论分析,并与OMP对比分析了LBI的综合性能,最后将LBI运用于ISAR方位向成像,取得了较好的成像效果,仿真验证了LBI具有方位向高分辨能力。

1 基于CS的ISAR成像

ISAR成像中目标的运动可分为平动分量和转动分量。假设目标的平动分量被完全补偿,可利用转动分量进行成像,目标可视为在x-y二维平面绕自身重心原点o以角速度ω匀速逆时针转动的转台成像模型,如图1所示。

图1 雷达转台成像模型

方位向分辨率依靠目标相对于雷达的转动获得,不同的方位向散射点对应的多普勒不同。当目标以逆时针方向转动时,目标上各散射点的多普勒值是不同的,只要多普勒分辨率足够高,即可确定各散射点的方位向位置。

设雷达距目标坐标系原点o的距离为R o,目标上某一散射点P在初始时刻位于目标直角坐标系的坐标为(x P,y P),散射点P到目标坐标系原点o的距离为P点初始相位为θ,观测时间为T a。t P时刻P点到雷达的瞬时距离为

假设雷达发射线性调频信号

式中,rect(·)为矩形函数,fc为载频,Tp为脉宽,k r为调频率,t f=t-n T为距离向快时间,t m=n T为方位向慢时间,T为脉冲重复周期。散射点P的回波为

式中,σ为P点的散射系数,c为光速。距离向脉压后得到[5]

式中,λ为波长。此时即实现了距离向分辨,若不考虑越距离单元走动,可将式(4)近似为

式中,多普勒频率fd=2ωx P/λ。假设某个距离单元内有K个强散射点,则此单元的回波信号表示为

式中,f k为第k个散射点的多普勒频率。将式(6)变换到方位向频域,即沿方位向作傅里叶变换,便可实现方位向分辨：

上述过程即为RD成像算法,受sinc函数的影响,其方位向分辨率较低。将CS应用到ISAR成像不但能够获得方位向的高分辨,而且能够减小旁瓣和增强目标细节信息。

定义慢时间分辨率为Δt以及多普勒频率分辨率为Δfd,假设脉冲重复频率为fr,则离散化慢时间序列可以表示为t m=[1∶M]T·Δt,Δt=1/fr,其中M=T/Δt表示脉冲数。假设多普勒域范围[-fr/2,fr/2],位于各多普勒单元散射点的强度用向量θ表示：

多普勒序列为fd=[1∶Q]·Δfd-fr/2,Q=fr/Δfd,其中Q为多普勒单元数。方位向稀疏基可构造为[6]

此时可以在相同距离单元不同方位向构建如下CS模型：

式中,Φ为量测矩阵,Θ=ΦΨ为M×N的感知矩阵。文献[7]证明了当感知矩阵Θ满足约束等距性(RIP)条件时,信号可以从量测值y中精确重构出来。此时可以利用CS重构算法求解,下面分析本文所用重构算法。

2 线性Bregman迭代

由于M＜N,式(10)是一个NP难的问题。对于满足特定性质的矩阵,式(10)和(11)等价[7],从而将带约束的0-范数最小化问题转化为带约束的1-范数最小化问题。

带约束的1-范数最小化问题可以转化为线性规划问题,进而可以利用传统的线性规划方法求解,但是这些方法对大规模的感知矩阵并不适用,因此将基追踪问题式(11)转化为以下正则化形式：

式中,μ＞0为正则化参数。转化为正则化形式的优势在于：通过正则化项‖θ‖1控制的稀疏性,通过保真项‖y-Θθ‖2/2控制^θ的误差,这样就同时保证了解的稀疏性和准确性,而且能较好地克服噪声的影响。

文献[8]利用 ‖θ‖1的Bregman距离代替‖θ‖1提出如下Bregman迭代正则化方法求解式(12)：

式中,向量p∈∂J(v)为J在点v的偏微分中的一个次梯度。

式中,θ0=v0=0,μ＞0为正则化参数,δ＞0为步长参数,Tμ(·)为收缩算子[10]。

LBI算法的步骤如下：

Step 3 输出迭代结果θk。

在式(15)的迭代运算v k+1=v k+ΘT(y-Θθk)中,v k+1的更新通过感知矩阵的转置ΘT和由y=Θθ约束产生的误差y-Θθk相乘后加上v k实现,这个可以理解为v k的更新是通过求解等式Θθ=y-Θθk的近似解。当ΘΘT=I N×N时,ΘT(y-是等式的最小2范数解。在式(15)的运算θk+1=δTμ(v k+1)中,利用收缩算子Tμ对v k+1阈值收缩,其中正则化参数μ可以看作是v k+1的收缩阈值,v k+1通过收缩算子Tμ的迭代收缩和步长参数δ共同控制得到稀疏解向量θk+1。

需要特别注意的是,正则化参数μ为实数,而ISAR回波为复数。因此需要将LBI推广至复数,因此需将稀疏信号θ,感知矩阵Θ和量测值y进行如下变换[11]：

式中,Re和Im分别表示实部和虚部。

3 仿真结果及分析

3.1 算法性能比较

为验证LBI在压缩感知稀疏信号重构中的重构性能和抗噪性能,和O MP进行比较。感知矩阵Θ是128×256维的随机高斯矩阵,选择μ=1×104,δ=7×10-4,θ是256×1维的随机幅度的稀疏复信号,θ的稀疏度即非零个数K=10。

仿真1：算法的可行性与有效性

本仿真主要验证算法的可行性与有效性,停止准则为‖Θθk-y‖/‖y‖≤10-7,重构相对误差定义为重构结果如图2所示。

图2 重构结果比较

仿真结果中O MP的重构相对误差errorOMP=2.53×10-7,LBI的重构相对误差errorLBI=1.29×10-7,可以看出两种算法都能有效地重构出原始信号,验证了LBI的可行性与有效性。

仿真2：重构精度与采样率的关系

本仿真主要检验采样率对两种算法重构精度的影响,采样率定义为量测维度与信号维度的比值,Monte Carlo仿真次数为100次,仿真结果如图3所示。

从图3可以看出,当采样率较小时两种方法都不能有效重构出信号,随着采样率的增加,重构精度逐渐增大,直至能够精确重构出原始信号。LBI比OMP对采样率的要求更低,能够在更低的采样率下精确重构信号。

图3 重构精度与采样率的关系

仿真3：重构精度与稀疏度的关系

本仿真主要检验稀疏度对两种算法重构精度的影响,Monte Carlo仿真次数为100次,仿真结果如图4所示。

图4 重构精度与稀疏度的关系

从图4可以看出,两种算法在稀疏度较小时都能有效地重构出原始信号,随着稀疏度的增大重构精度都有所下降,LBI相对于OMP能够在更大的稀疏度范围内重构出原始信号。

综合以上仿真,LBI是整体性能优于OMP的有效CS重构算法。为在ISAR成像中获得更高的方位向分辨率和成像效果,选择LBI作为ISAR重构算法。下面通过仿真验证LBI在ISAR方位向成像中的性能。

3.2 ISAR成像仿真与分析

为验证利用LBI的ISAR成像性能,本节对34点飞机模型进行成像仿真。仿真参数设置如下：发射信号为LFM信号,载频为10 GHz,发射脉冲时宽为10μs,信号带宽为400 MHz,采样率为800 MHz,脉冲重复频率为200 Hz。假设飞机匀速飞行,速度为300 m/s,观测距离门参考位置50 000 m。34点飞机散射模型如图5所示。仿真中,脉冲回波数为256个。为验证LBI的有效性与成像效果,分别与RD和OMP成像结果比较。三种算法的成像结果如图6,7和8所示。

图5 目标模型

图6 RD成像结果

图7 OMP成像结果

图8 LBI成像结果

从图中可以看出,RD成像结果聚焦性较差,方位向分辨率较低,且方位向副瓣较高,机头与机尾方位向距离较近的散射点不能分辨;OMP成像结果方位向分辨率明显好于RD结果,能够分辨机头与机尾方位向距离较近的散射点,但聚集性不好;LBI成像结果比OMP成像结果的聚焦性更好,方位向分辨率更高,且明显地降低了副瓣,成像效果最好,从而验证了LBI的有效性。

4 结束语

本文针对RD算法方位向分辨率低,OMP算法需要预知稀疏度,提出了一种利用LBI的方位向高分辨的ISAR成像算法,该算法实现了方位高分辨,仿真结果验证了本文算法的有效性,为基于CS的ISAR方位向成像提供了一种较好的方法。但本文算法运算时间较长,下一步研究的重点是减小算法的复杂度。

[1]DONOHO D L.Compressed Sensing[J].IEEE Trans on Information Theory,2006,52(4)：1289-1306.

[2]李宁,汪玲.基于统计压缩感知的短孔径ISAR成像方法研究[J].中国雷达,2011(2)：24-28.

[3]张龙,张磊,邢孟道.一种基于改进压缩感知的低信噪比ISAR高分辨成像方法[J].电子信息学报,2011,32(9)：2263-2267.

[4]李少东,裴文炯,杨军.基于CS的LFM信号脉冲压缩实现算法研究[J].雷达科学与技术,2013,11(3)：295-301. LI Shao-dong,PEI Wen-jiong,YANG Jun.Pulse Compression Implementation of LFM Signal via CS[J].Radar Science and Technology,2013,11(3)：295-301.(in Chinese)

[5]ZHANG L,XING M D,QIU C W,et al.Achieving Higher Resolution ISAR Imaging with Limited Pulses via Compressed Sampling[J].IEEE Geoscience and Remote Sensing Letters,2009,6(3)：567-571.

[6]李少东,杨军,马晓岩.基于压缩感知的ISAR高分辨成像算法[J].通信学报,2013,34(9)：150-157.

[7]CANDES E,TAO T.Decoding by Linear Programming[J].IEEE Trans on Information Theory,2005,51(12)：4203-4215.

[8]YIN W,OSHER S,GOLDFARB D,et al.Bregman Iterative Algorithms for l1-Minimization with Applications to Compressed Sensing[J].SIAM Journal on Imaging Sciences,2008,1(1)：143-168.

[9]BREGMAN L M.The Relaxation Method of Finding the Common Point of Convex Sets and Its Application to the Solution of Problems in Convex Programming[J].USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics,1967,7(3)：200-217.

[10]DONOHO D L.De-Noising by Soft-Thresholding[J].IEEE Trans on Information Theory,1995,41(3)：613-627.

[11]ENDER H G.On Compressive Sensing Applied to Radar[J].Signal Processing,2010,90(5)：1402-1414.