面向最小维修的数控机床可靠性评估

张根保，刘杰，杨毅，高琦樑

(重庆大学机械工程学院先进制造技术研究所，重庆400030)

可靠性是机床性能的重要指标，对机床的可靠性进行定量评估是机床可靠性工作的重要内容。常见的机床可靠性评估方法为寿命分布分析方法，如利用威布尔分布，然而该方法的假设条件即故障间隔时间独立同分布往往很难实现。近年来，具有最小维修性质的幂律过程已被证明能够更好地对复杂可修系统的故障数据进行建模［1－2］，在机床可靠性评估中的应用也越来越广泛［3－4］。尽管如此，应用幂律过程进行机床可靠性评估的研究仍有不足之处，主要体现在处理多台机床故障数据融合问题。多台机床的故障数据包含有更多的故障信息，能够避免单台机床所带来的偶然性因素，其结果更能够代表机床的故障现状。但是，研究者往往忽视了多台机床的同质性问题，而贸然对其故障数据进行融合处理，所得到的结果往往会偏离实际。

以某型号液压折弯机为研究对象，提出了CBT(Common Beta Test)＆ CLT(Common Lambda Test)的分步检验法，以验证能否将多台机床数据进行融合处理，解决了基于幂律过程的多台机床故障数据同质性验证问题。同时，应用Fisher 信息矩阵法给出了幂律过程参数的区间估计和基于Delta 方法的机床可靠性指标区间估计的计算表达式。

1 PLP 建模及其参数估计

1.1 多台机床的PLP 建模

幂律过程(Power Law Process，PLP)亦称为威布尔过程［5］，是非齐次泊松过程(NHPP)的一种。PLP 模型最初由L H CROW 提出［6］，广泛应用于复杂可修复系统的可靠性分析。其强度函数形如式(1)所示:

式中:β 为形状参数。

β 对故障过程趋势具有指示作用。当β ＜1 时，故障强度减小，产品可靠性增长;当β =1 时，故障强度为常数，产品可靠性相对稳定;当β ＞1 时，故障强度增大，产品可靠性恶化。

对于k 台机床，假定第i 台的故障统计时间区间为［ai，bi］，故障发生时刻为tij，故障总数为ni，则第i 台机床故障时间的极大似然函数表达式为:

所以，k 台机床故障时间的极大似然函数为:

两边取对数，分别对β，λ 求偏导并令其为零，得:

上式解没有封闭形式，可用迭代法进行求解。

1.2 参数的Fisher 区间估计

PLP 参数的区间值可利用最大似然估计值的渐近对数正态分布特性［7］进行估计，对参数θ 有:

式中:zα/2为置信度为100(1－α)%的标准正态分布的分位数。

当式(4)中的参数为λ，β 时，其方差及协方差由逆Fisher 信息矩阵［7］给出:

2 数控机床可靠性指标的估计

机床可靠性指标能够对机床可靠性的变化给出定量的描述。求解PLP 参数后就可以对机床的各种可靠性指标进行计算。

2.1 数控机床可靠性指标的点估计

这里给出两类可靠性指标:第一类为瞬时可靠性指标，分别是瞬时故障强度函数λ(t)与瞬时MTBFu(t);第二类为累积可靠性指标:分别是累积故障强度λc(t)、累积平均无故障工作时间uc(t)与累积故障数m(t)。其中，累积平均无故障工作时间uc(t)即是客户能够感受到的平均无故障工作时间MTBF。

将λ，β 点估计值代入式(1)即可得出λ(t)，由u(t)与λ(t)的关系，可得u(t)点估计为:

u(t)= 1/λβtβ－1

uc(t)=t1－β/λ

2.2 数控机床可靠性指标的区间估计

采用Delta 方法［8］对以上可靠性指标进行区间估计。

设Δ为参数λ，β 的函数，则Δ的方差为:

从而，的区间亦可由式(4)求出。

当Δ分别为λ(t)、m(t)、λc(t)、u(t)和uc(t)，便可以得出相应可靠性指标的区间估计。

3 模型检验

3.1 趋势检验

(1)Laplace 检验

原假设H0:HPP(齐次泊松过程);备选假设H1:故障间隔为具有单调强度函数的NHPP。统计检验量为［9］:

L 在原假设条件下近似于标准正态分布。

(2)Military handbook 检验

原假设H0:HPP(齐次泊松过程);备选假设H1:故障间隔为具有单调强度函数的NHPP。统计检验量为［10］:

M 在原假设条件下服从于卡方分布，自由度为2n。

3.2 更新过程检验

Lewis-Robinson 检验。

原假设H0:RP(更新过程);备选假设H1:具有单调趋势。统计检验量为［11］:

3.3 同质性检验

多台机床尽管属于同一型号，但往往由于其处于不同的工况下，它们的故障也可能呈现出不同的机制与趋势。对于呈现出相似故障机制与趋势的多台机床，称之为多台机床同质，其故障数据可用式(2)进行融合处理;否则，称之为多台机床异质，所采集的故障数据不能进行直接融合处理。同质性检验在机床评估中的作用常常被忽视，导致评估结果偏离实际。文中提出采用CBT(Common Beta Test)和CLT(Common Lambda Test)的分步检验法对多台机床进行同质性检验。

(1)CBT 检验

原假设H0:β1=β2=… =βn;备选假设H1:至少有两个β 不相等。统计检验量为［6］:

lr 在原假设条件下服从卡方分布，自由度为(k－1)。

(2)CLT 检验

原假设H0:λ1=λ2=… =λn;备选假设H1:至少有两个λ 不相等。统计检验量为［12］:

q 在原假设条件下服从于自由度为(k－1)的卡方分布。

3.4 拟合优度检验

采用Cramér-von Mises 方法对模型拟合优度进行检验，其检验的统计量为［6］:

式中:zi为从小至大的秩序排列。

4 实例分析

表1 给出了某型号4 台液压折弯机现场故障时间数据，其数据为时间截尾型，共24 次故障，4 个截尾时间。

表1 4 台液压折弯机故障数据 h

4 台机床的故障间隔趋势如图1所示，可以得出:整体上看，趋势曲线上凸，故障间隔时间不断增大，表明故障数据可用非齐次泊松过程来建模。

图1 故障过程趋势图

对表1 数据进行模型统计检验，结果如表2所示。

表2 液压折弯机故障数据模型检验结果

由表2 知:Laplace 检验、M-H 检验和L-R 检验的统计量的p-值均远小于显著水平，因此，有充分的理由认为故障数据符合具有单调强度函数的NHPP 过程;同时，CBT 检验和CLT 检验的统计量的p-值分别为0.728 8 和0.331 6，均高于显著水平，因此，可以接受4 台机床的故障数据来自同一个幂律过程函数的假设，即对4 台机床故障数据能够进行融合处理。

模型参数的极大似然点估计与90%置信区间值如表3所示。

表3 PLP 模型参数的点估计与90%置信区间

对模型进行拟合优度检验，计算所得C2M值为0.041 5，查表知，C2M(24，0.05)= 0.217 ＞0.041 5表明所建模型有效。

机床的可靠性指标表达式如下:

t=1 500 时的可靠性指标点估计与置信度90%的置信区间见表4。

表4 可靠性指标点估计与区间估计

图2所示为机床瞬时与累积可靠性指标置信度90%的双侧区间图。

由以上结果可知，形状参数β 的区间上限值为0.820 3，说明至故障数据截尾时，液压折弯机处于可靠性增长的阶段，这与图1 的结论一致。

图2(e)显示机床实际故障均值均落在置信区间内，并与模型曲线的拟合较好;图2(a)中瞬时故障强度曲线显示，其形状近似于浴盆曲线的左部分，表明折弯机跨越了早期故障阶段;这里需要注意区分的是:瞬时故障强度－浴盆曲线与一般说法上不可修产品的失效率－ 浴盆曲线是两类不同性质的曲线［13］。其次，图2(c)中瞬时MTBF 曲线和图2(d)累积MTBF 曲线对比表明，尽管到数据截止时液压折弯机的瞬时MTBF 可达到500 h 以上，但其累积MTBF 只有300 h 左右，这是早期故障所带来的不利影响，它降低了折弯机整体可靠性水平的表现。

图2 可靠性指标的双侧90%置信区间曲线

针对该类型折弯机的可靠性现状，建议生产厂家在折弯机出厂前实施早期故障消除技术，使瞬时故障强度曲线尽可能左移，降低早期故障对累积MTBF 的影响，提高折弯机在顾客使用时的可靠性表现水平。

5 结论

(1)数控机床属于复杂可修产品，其故障维修往往只是进行个别零部件的更换或修复，符合最小维修的物理背景，可以用幂律过程建模。实例分析也表明，PLP 模型能够同时给出产品瞬时和累积可靠性指标，具有实践指导意义。

(2)机床的可靠性评估，往往要先对其故障趋势进行判断，评估时可采用图形法与统计法相结合来进行检验;对于多台机床故障数据进行融合处理时，要首先保证故障数据的同质性，在幂律建模中可以用所提出的CBT＆CLT 分步检验方法进行验证。

(3)文中对质保期内的液压折弯机进行了基于幂律过程的可靠性分析，但产品整个寿命周期的可靠性状况仍需要进一步探索。主要原因在于折弯机在数年后的故障趋势可能会发生变化，需要更多的故障数据来进行建模;并且，模型需要利用分段PLP［14］或是混合PLP［15］，这也是接下研究的方向之一。

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