纯方位目标跟踪系统观测平台的贪婪法机动策略＊

许志刚，周 立

（淮海工学院a.理学院；b.测绘工程学院，江苏连云港 222005）

0 引言

纯方位目标跟踪（bearings－only tracking，BOT）技术在红外探测、无人机空中侦察、海洋中的目标搜救等一些实际工程中具有重要的应用价值［1－2］.

由于特殊的可观测性问题［3］，被动观测平台必须进行有效的机动，才能保证系统存在唯一解［4］.在实际应用中，量测的角度往往受噪音的干扰，即使在系统可观测情况下，估计器的性能受观测平台机动轨迹的影响也非常大，具体体现在目标参数估计精度、估计器稳定性、收敛时间等指标方面.

在研究观测平台机动策略时，选用不同的性能指标会产生不同的机动轨迹；从跟踪估计目标运动参数角度，大多数文献选用FIM信息阵和方位变化率来研究.如文献［5］选用FIM下界为性能指标，研究固定目标定位问题中的平台机动轨迹；文献［6］直接基于最大化FIM的行列式，用微分包含技术试图寻找目标定位问题的观测平台最优轨迹；文献［7］则选用方位变化率最大作为性能指标，推导出匀速直航目标跟踪的本载体最优轨迹；Passerieux等［8］以变形FIM为指标，通过解析和数值迭代方法给出最佳观测平台机动Euler方程.另外有文献基于Cramer－Rao下界（CRLB）性能指标，利用矩阵迹最小探索观测平台的最优轨迹［9］.目前对运动目标跟踪问题，文献大多利用批处理方法给出末端点平台航向控制，且控制表达式非常繁琐，计算复杂，不利于应用；或者利用方位差最大指标给出实时控制，但这种控制只考虑了方位信息，与观测器和目标相对距离以及速度无关，达不到充分利用现有信息的效果.

文献［10］选用最大化当前FIM增量行列式指标给出了定位系统的一种基于当前量测的最优控制策略.本文将上述结果推广到远距离目标被动跟踪系统，给出当前时刻一种新的观测平台航向控制策略，设计的航向机动控制序列几何意义明确，在工程应用中具有可操作的借鉴价值.

1 问题描述

1.1 CRLB递推式

传统上，CRLB主要被用来估计次优线性／非线性滤波的误差性能［11］，由于CRLB在系统构建前能预测可达到的最优理论性能指标，因此也可以利用它来进行系统设计.虽然CRLB批处理计算需要求取高阶矩阵的逆，使得计算复杂度随采样时间延长越来越高［12］，但Tichavsky等［13］给出离散系统滤波CRLB（PCRLB）递推式，使得计算复杂度大为减小.

记Jk为滤波Fisher信息矩阵（FIM）［11］，离散型滤波信息阵Jk的一个递推计算公式［13］为

这里

1.2 系统模型

假定目标和观测平台都在同一平面上，观测平台以速率Vw，k运动.观测平台动力学方程为

初始条件

其中xw，k，yw，k分别为k时刻观测平台在x和y方向的坐标；Cw，k为k时刻观测平台运动航向，为控制参数.

量测噪音ηk～N（0，R）.

Fisher信息矩阵（FIM）为

其中

式（5）可化为

利用式（1）可得FIM递归式为

2 纯方位跟踪系统观测平台次优机动轨迹

在BOT系统中，FIM是反映观测平台机动后对目标信息提取的度量阵.随着量测数据的增加，FIM阵的全局计算量呈指数型增长，同时也不适合实时控制；在工程应用中，k时刻观测平台机动模式控制策略的选择更具有现实意义.

不失一般性，第一步先研究k到k＋1时刻（k＞1）的观测平台机动轨迹.如图1所示，设观测平台在时刻k位于O点，目标位于A点，在k＋1时刻观测平台运动到B点，假设观测平台速度在一个采样周期内保持不变，即从k时刻到k＋1时刻速度Vw，k不变，采样周期为T，则sk＝｜OB｜＝Vw，kT；记｜OA｜＝rk，｜BA｜＝rk＋1，现要确定观测平台在k时刻的航向Cw，k，使得当前信息量最大.由于从k时刻到下一采样时刻之前仅有前k时刻的量测方位，可假定一个采样周期内目标近似不动（仍位于A）.

图1 观测平台与目标的几何态势Fig.1 Geometric state of observer platform and target

依据贪婪法思想，尽可能使当前信息最大，这里取最大化信息阵行列式增量为性能指标，即可归结为求解优化问题：

经推导得

下面给出k时刻观测平台航向的几何描述.

观测平台在k时刻测得目标角度βk；作以O为圆心，sk＝Vw，kT为半径的圆（如图2所示），作OD⊥OA交圆O于D点，连AD交圆于B点，则∠OAD＝αk.作OE⊥BD，容易看出∠DOE＝∠BOE＝αk，且αk＝βk－βk＋1，所以因此观测平台最优轨迹为从O点运动到B点.如果仅就当前量测信息，关于观测器与目标瞄准线对称方向还有另一个机动轨迹，由于这里的目标是运动的，对于左右两个机动轨迹的选择可通过所有量测方位信息给出判断.

图2 当前时刻k的观测平台次优机动航向Fig.2 Optimal maneuver heading of observer platform at current time k

当观测平台到达B点后，此时目标运动到F点，目标在F点方位被测量.观测平台在进行下一个机动控制选择时，当采样时间很小时，可继续将目标看作在F点不动.下面讨论左右支机动策略的选择.

考虑n时刻累计信息阵：

由目标与观测平台运动态势，根据投影定理得

上式化简可得

其中qm，k，qw，k分别为目标和观测平台的舷角，左负右正（见图2）.

当观测平台与目标互为右舷（sin qm，k，sin qw，k均为正值）时，此时0≤βk＋1－βk≤π；反之，当观测平台与目标互为左舷（sin qm，k，sin qw，k均为负值）时，此时－π≤βk＋1－βk≤0；由于这里主要考虑远距离目标跟踪，当观测平台与目标相对距离的变化率很小时，可忽略不计，因此，若观测平台与目标同舷时，sin2（βiβj）取得最大值，也即max｛det［（~JToln）2×2］｝存在.

以图3为例，当目标轨迹为P→A1→A2→A3→A4→A5时，运用机动策略可得观测平台1条次优机动序列：O→B1→B2→B3→B4→B5.这里目标与观测平台互为左舷（－π≤qm，k，qw，k≤0）.同理可给出目标与观测平台互为右舷的机动序列.

图3 观测平台机动轨迹（－π≤qm，k，qw，k≤0）Fig.3 Observer platform maneuver trajectoryl（－π≤qm，k，qw，k≤0）

特别地，若目标沿瞄准线（LOS）走接近或远离观测平台的直线运动，可以找到观测平台2条次优机动轨迹.图4给出当目标沿LOS航向走接近观测平台情形下观测平台2支次优机动航向.目标轨迹为P→A1→A2→A3→A4→A5.左支：O→B1→B2→B3→B4→B5→B6.右支：O→D1→D2→D3→D4→D5→D6.

图4 目标走LOS航向时观测平台的2支机动轨迹Fig.4 Two observer maneuver trajectories in LOS course

3 数值算例

给出最大化FIM行列式增量指标下不同目标初距、观测平台速度和采样时间情形下最优轨迹的形态变化.图5为观测平台与目标互为右舷情形下的运动平台机动轨迹.其中：目标初始坐标（单位：m）（0，2 000），速度8m／s，航向5π／6；观测平台初始位置（0，0），速度15m／s；采样周期T＝5s.图6为观测平台与目标互为左舷情形下的运动平台机动轨迹.其中：目标初始坐标（单位：m）（0，10 000），速度15m／s，航向7π／6；观测平台初始位置（0，0），速度20m／s；采样周期T＝10s.

在方位率最大指标下机动轨迹与平台速度无关，航向与瞄准线垂直，信息提取以方位信息为唯一目的，这里信息包含距离信息和方位信息.从图6可看出机动轨迹随观测平台速度的提高，向目标靠近的速度相对也加快，反映了观测平台速度提高、机动策略加强对目标距离信息的提取；反之则更侧重目标角度信息的提取，使信噪比逐渐提高，增加信息量的获取.

图5 观测平台与目标互为右舷Fig.5 Observer moves along starboard side of the target

图6 观测平台与目标互为左舷Fig.6 Observer moves along portside of the target

4 结论

纯方位目标跟踪系统观测平台的贪婪法机动策略，利用当前时刻的角度量测数据，选用当前FIM行列式增量作为指标，使得每一步选择中都采取在当前状态下最好或最有利的机动选择.由于贪婪法的计算简单以及所求得的结果比较接近最优结果，所以得到的机动控制策略更具有可操作性和实用性.传统最大角度变化率绝对值指标法，与相对距离和观测平台速度没有关系，所以它更单一地以提高角度信息为主，当量测容量达到一定饱和度时，滤波效果随时间增加将趋于平缓.贪婪法机动轨迹随观测平台速度、目标初始距离的变化而变化，在距离信息和角度信息侧重性上保持一种平衡.速度越大，相对距离越小，则机动策略越加强距离信息的提取，反之则更侧重加强角度信息的提取.在短距离目标跟踪中，目标和平台几何态势以及距离因素对左右支策略选择的影响是进一步研究的问题.

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