梁弯曲变形中关于几何关系推导的教学探讨

胡育佳

摘要：在梁弯曲变形中，几何关系的研究是材料力学教学中的一个重要环节，然而在大多数材料力学的教材中，往往对这部分的说明过于简单，特别是在几何关系数学模型的建立上，存在很大的跨度，给教师的授课和学生的学习带来了一定的困扰，甚至产生困惑。本文将严格从微分几何关系和小变形基本假设出发，建立在小变形情况下梁弯曲变形的几何关系。这种推导方式在数学上严格，容易让学生理解，具有一定的教学推广意义。

关键词：弯曲变形；几何关系；微分几何

中图分类号：G642.0？摇 文献标识码：A 文章编号：1674-9324（2014）03-0282-02

一、传统的推导方式[1，2]

在小变形假设条件下，讨论梁的弯曲变形，以变形前梁的轴线为x轴，垂直向上的轴为y轴（图1），xy平面为梁的纵向对称面。在对称弯曲的情况下，变形后梁的轴线将成为xy平面内的一条曲线，称为挠曲线。挠曲线上横坐标为的x任意点的纵坐标用u来表示，它代表坐标为x的横截面的形心沿y方向的位移，称为挠度。弯曲变形中，梁的横截面对其原来位置转过的角度θ，称为截面转角。根据平面假设，弯曲变形前垂直于轴线（x轴）的横截面，变形后仍然垂直于挠曲线。所以，截面转角θ就是y轴与挠曲线的夹角。它应等于挠曲线的倾角，即等于x轴与挠曲线的夹角。故：

tanθ=■ （1）

又由于在小变形情况下，截面转角θ是一个小量，则：

■=θ；tanθ=■ （2）

其中，ρ为平面梁截面处任意位置的曲率半径。公式（1）和（2）即为小变形情况下，平面直梁弯曲的几何关系。

二、严格的推导方式

从上面的公式推导可以看出，公式（1）的得到并没有严格的数学证明，完全从图1和相应的假设近似得到，这不但给任课教师的课堂讲授带来困难，也给学生对梁的几何关系的理解带来了很大的困惑。下面我们将采用微分几何的方法对具有任意构型的平面曲梁结构进行分析，得到这类曲梁结构在小变形情况下的几何关系，进一步退化得到平面直梁在小变形情况下的几何关系，即公式（1）和（2）。

假设l是曲梁的初始长度，w0（s）和u0（s）分别是曲梁任意位置处x和y方向的初始位移。其中s∈[0，l]是沿曲梁轴向的弧坐标。并且假设曲梁的初始构形所占有的区域为（图2）：

Γ0：{（x，y）|x=w0（s），y=s+u0（s），0≤s≤l} （3）

其中θ0（s）表示初始构形上任意点C（w0，s+u0）处的切线和x轴之间的夹角。将公式（3）中的函数对弧长s求导得到：

■=sinθ0，■=cosθ0 （4）

其中，dx/ds=sinθ0，dy/ds=cosθ0.

一般起见，假设曲梁在外载荷的作用下，变形前初始构形Γ0上任意一点C（w0，s+u0）移动到点C'（w0+w，s+u0+u）处，曲梁变形后的构形所占有区域为

Γ={（x，y）|x=w0+w，y=s+u0+u，0≤s≤l} （5）

其中，w（s）和u（s）分别变形后曲梁上任意一点在x和y方向的位移（图2）。忽略梁变形前后轴线的伸长，将公式（5）中的函数对弧长s求导得到：

■=sinθ，■=cosθ （6）

将公式（4）带入公式（6），可以得到曲梁的几何关系为：

■=sinθ-sinθ0，■=cosθ-cosθ0 （7）

当研究对象为直梁时，即将θ0=0带入公式（7）可得到：

■=sinθ，■=cosθ-1 （8）

由公式（8）可以得到：

tanθ=■/■+1 （9）

在小变形忽略轴向变形的情况下，有tanθ≈θ，■≈0，则几何关系（公式（9））可以进一步表示为：

■=θ≈■ （10）

从公式（10）和公式（2）可以看出，本文的推导结果是与传统的推导结果是一致的。

三、结论

在梁的弯曲变形中，关于几何关系的推导对于学生理解梁的弯曲变形有着重要的意义，传统的教学上，对这部分内容讨论不全面，给教师的授课和学生的学习带来了一定的困扰。本文严格从微分几何关系和小变形基本假设出发，通过退化得到了梁弯曲变形中的几何关系。这种推导方式在数学上严格，使学生容易理解，具有一定的教学推广意义。

参考文献：

[1]刘鸿文.材料力学[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]孙训方，方孝淑，关来泰.材料力学[M].北京：高等教育出版社，2009.endprint

摘要：在梁弯曲变形中，几何关系的研究是材料力学教学中的一个重要环节，然而在大多数材料力学的教材中，往往对这部分的说明过于简单，特别是在几何关系数学模型的建立上，存在很大的跨度，给教师的授课和学生的学习带来了一定的困扰，甚至产生困惑。本文将严格从微分几何关系和小变形基本假设出发，建立在小变形情况下梁弯曲变形的几何关系。这种推导方式在数学上严格，容易让学生理解，具有一定的教学推广意义。

关键词：弯曲变形；几何关系；微分几何

中图分类号：G642.0？摇 文献标识码：A 文章编号：1674-9324（2014）03-0282-02

一、传统的推导方式[1，2]

在小变形假设条件下，讨论梁的弯曲变形，以变形前梁的轴线为x轴，垂直向上的轴为y轴（图1），xy平面为梁的纵向对称面。在对称弯曲的情况下，变形后梁的轴线将成为xy平面内的一条曲线，称为挠曲线。挠曲线上横坐标为的x任意点的纵坐标用u来表示，它代表坐标为x的横截面的形心沿y方向的位移，称为挠度。弯曲变形中，梁的横截面对其原来位置转过的角度θ，称为截面转角。根据平面假设，弯曲变形前垂直于轴线（x轴）的横截面，变形后仍然垂直于挠曲线。所以，截面转角θ就是y轴与挠曲线的夹角。它应等于挠曲线的倾角，即等于x轴与挠曲线的夹角。故：

tanθ=■ （1）

又由于在小变形情况下，截面转角θ是一个小量，则：

■=θ；tanθ=■ （2）

其中，ρ为平面梁截面处任意位置的曲率半径。公式（1）和（2）即为小变形情况下，平面直梁弯曲的几何关系。

二、严格的推导方式

从上面的公式推导可以看出，公式（1）的得到并没有严格的数学证明，完全从图1和相应的假设近似得到，这不但给任课教师的课堂讲授带来困难，也给学生对梁的几何关系的理解带来了很大的困惑。下面我们将采用微分几何的方法对具有任意构型的平面曲梁结构进行分析，得到这类曲梁结构在小变形情况下的几何关系，进一步退化得到平面直梁在小变形情况下的几何关系，即公式（1）和（2）。

假设l是曲梁的初始长度，w0（s）和u0（s）分别是曲梁任意位置处x和y方向的初始位移。其中s∈[0，l]是沿曲梁轴向的弧坐标。并且假设曲梁的初始构形所占有的区域为（图2）：

Γ0：{（x，y）|x=w0（s），y=s+u0（s），0≤s≤l} （3）

其中θ0（s）表示初始构形上任意点C（w0，s+u0）处的切线和x轴之间的夹角。将公式（3）中的函数对弧长s求导得到：

■=sinθ0，■=cosθ0 （4）

其中，dx/ds=sinθ0，dy/ds=cosθ0.

一般起见，假设曲梁在外载荷的作用下，变形前初始构形Γ0上任意一点C（w0，s+u0）移动到点C'（w0+w，s+u0+u）处，曲梁变形后的构形所占有区域为

Γ={（x，y）|x=w0+w，y=s+u0+u，0≤s≤l} （5）

其中，w（s）和u（s）分别变形后曲梁上任意一点在x和y方向的位移（图2）。忽略梁变形前后轴线的伸长，将公式（5）中的函数对弧长s求导得到：

■=sinθ，■=cosθ （6）

将公式（4）带入公式（6），可以得到曲梁的几何关系为：

■=sinθ-sinθ0，■=cosθ-cosθ0 （7）

当研究对象为直梁时，即将θ0=0带入公式（7）可得到：

■=sinθ，■=cosθ-1 （8）

由公式（8）可以得到：

tanθ=■/■+1 （9）

在小变形忽略轴向变形的情况下，有tanθ≈θ，■≈0，则几何关系（公式（9））可以进一步表示为：

■=θ≈■ （10）

从公式（10）和公式（2）可以看出，本文的推导结果是与传统的推导结果是一致的。

三、结论

在梁的弯曲变形中，关于几何关系的推导对于学生理解梁的弯曲变形有着重要的意义，传统的教学上，对这部分内容讨论不全面，给教师的授课和学生的学习带来了一定的困扰。本文严格从微分几何关系和小变形基本假设出发，通过退化得到了梁弯曲变形中的几何关系。这种推导方式在数学上严格，使学生容易理解，具有一定的教学推广意义。

参考文献：

[1]刘鸿文.材料力学[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]孙训方，方孝淑，关来泰.材料力学[M].北京：高等教育出版社，2009.endprint

摘要：在梁弯曲变形中，几何关系的研究是材料力学教学中的一个重要环节，然而在大多数材料力学的教材中，往往对这部分的说明过于简单，特别是在几何关系数学模型的建立上，存在很大的跨度，给教师的授课和学生的学习带来了一定的困扰，甚至产生困惑。本文将严格从微分几何关系和小变形基本假设出发，建立在小变形情况下梁弯曲变形的几何关系。这种推导方式在数学上严格，容易让学生理解，具有一定的教学推广意义。

关键词：弯曲变形；几何关系；微分几何

中图分类号：G642.0？摇 文献标识码：A 文章编号：1674-9324（2014）03-0282-02

一、传统的推导方式[1，2]

在小变形假设条件下，讨论梁的弯曲变形，以变形前梁的轴线为x轴，垂直向上的轴为y轴（图1），xy平面为梁的纵向对称面。在对称弯曲的情况下，变形后梁的轴线将成为xy平面内的一条曲线，称为挠曲线。挠曲线上横坐标为的x任意点的纵坐标用u来表示，它代表坐标为x的横截面的形心沿y方向的位移，称为挠度。弯曲变形中，梁的横截面对其原来位置转过的角度θ，称为截面转角。根据平面假设，弯曲变形前垂直于轴线（x轴）的横截面，变形后仍然垂直于挠曲线。所以，截面转角θ就是y轴与挠曲线的夹角。它应等于挠曲线的倾角，即等于x轴与挠曲线的夹角。故：

tanθ=■ （1）

又由于在小变形情况下，截面转角θ是一个小量，则：

■=θ；tanθ=■ （2）

其中，ρ为平面梁截面处任意位置的曲率半径。公式（1）和（2）即为小变形情况下，平面直梁弯曲的几何关系。

二、严格的推导方式

从上面的公式推导可以看出，公式（1）的得到并没有严格的数学证明，完全从图1和相应的假设近似得到，这不但给任课教师的课堂讲授带来困难，也给学生对梁的几何关系的理解带来了很大的困惑。下面我们将采用微分几何的方法对具有任意构型的平面曲梁结构进行分析，得到这类曲梁结构在小变形情况下的几何关系，进一步退化得到平面直梁在小变形情况下的几何关系，即公式（1）和（2）。

假设l是曲梁的初始长度，w0（s）和u0（s）分别是曲梁任意位置处x和y方向的初始位移。其中s∈[0，l]是沿曲梁轴向的弧坐标。并且假设曲梁的初始构形所占有的区域为（图2）：

Γ0：{（x，y）|x=w0（s），y=s+u0（s），0≤s≤l} （3）

其中θ0（s）表示初始构形上任意点C（w0，s+u0）处的切线和x轴之间的夹角。将公式（3）中的函数对弧长s求导得到：

■=sinθ0，■=cosθ0 （4）

其中，dx/ds=sinθ0，dy/ds=cosθ0.

一般起见，假设曲梁在外载荷的作用下，变形前初始构形Γ0上任意一点C（w0，s+u0）移动到点C'（w0+w，s+u0+u）处，曲梁变形后的构形所占有区域为

Γ={（x，y）|x=w0+w，y=s+u0+u，0≤s≤l} （5）

其中，w（s）和u（s）分别变形后曲梁上任意一点在x和y方向的位移（图2）。忽略梁变形前后轴线的伸长，将公式（5）中的函数对弧长s求导得到：

■=sinθ，■=cosθ （6）

将公式（4）带入公式（6），可以得到曲梁的几何关系为：

■=sinθ-sinθ0，■=cosθ-cosθ0 （7）

当研究对象为直梁时，即将θ0=0带入公式（7）可得到：

■=sinθ，■=cosθ-1 （8）

由公式（8）可以得到：

tanθ=■/■+1 （9）

在小变形忽略轴向变形的情况下，有tanθ≈θ，■≈0，则几何关系（公式（9））可以进一步表示为：

■=θ≈■ （10）

从公式（10）和公式（2）可以看出，本文的推导结果是与传统的推导结果是一致的。

三、结论

在梁的弯曲变形中，关于几何关系的推导对于学生理解梁的弯曲变形有着重要的意义，传统的教学上，对这部分内容讨论不全面，给教师的授课和学生的学习带来了一定的困扰。本文严格从微分几何关系和小变形基本假设出发，通过退化得到了梁弯曲变形中的几何关系。这种推导方式在数学上严格，使学生容易理解，具有一定的教学推广意义。

参考文献：

[1]刘鸿文.材料力学[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]孙训方，方孝淑，关来泰.材料力学[M].北京：高等教育出版社，2009.endprint