几何画板——数学教师的得力助手

郭小发

摘 要：本文在分析应用几何画板开展数学教学优势的基础上，以《正弦型函数y=Asin（ωx+ф）的图像与性质》这节课为例，介绍了如何应用几何画板讲解知识的重点与难点，并指出了应用几何画板应注意的问题。

关键词：几何画板 数学教学 应用 问题

科学运用教育技术手段优化课堂教学结构，合理使用现代教育理念进行课堂教学设计，充分发挥信息技术在课堂教学中的作用，是提高中学课堂教学质量与效果的有效途径。几何画板是中学数学教学中一种快捷、适用的应用软件，通过其应用能有效地发挥启发式教学的作用，极大地提高课堂效果，增大课堂教学容量，减轻教师的相对工作量。因此，可以说几何画板是数学教学的得力助手。

一、应用几何画板开展数学教学的优势

利用课件进行多媒体教学，有一个共同的问题，就是教师需要在课下花费大量的时间做好课件，才能在课上进行演示。而教师应用几何画板进行数学教学，则根本不需要如此。因为数学有其自身的特点和要求，在数学教学环节中需要必要的推理过程，如果完全依赖于多媒体课件，忽略了必要的推导过程，那么教学效果很有可能会事与

愿违。

几何画板操作简便，教师只要在课下做好充分准备，就可以当堂利用几何画板做数学课件，根本不用担心影响教学进度。教师在课下做出课件的基础部分，留下比较关键的部分在课堂上进行补充，这样教师在补做课件的同时，能更具体、更形象地传授知识，进而让学生通过观察教师的操作过程，自己去发现其规律，自己去总结其规律，以加深学生的记忆，顺利达到教学目的。当然，这一过程也需要教师在课下反复演练。

利用几何画板进行数学教学，不仅可以使教师从繁重的课件制作中解脱出来，还可以充分激发学生学习数学的兴趣。学生们看到了制作这一课件的主要过程，学有余力的学生就会利用课余时间，自己利用计算机去进行探索、验证。当学生在这一过程中取得成功时，就会有很大的成就感，对学习数学的兴趣就会越来越高，无形中还会带动一批学生对数学这门学科产生热爱。当学生在自己钻研的过程中遇到困难时，教师要给予关怀和帮助。有条件的学校，可以让学生到计算机房去上数学课，教师只需要教给学生简单的几何画板应用知识，在教师的启发引导下，充分发挥学生的想象力，由学生独立完成数学课件，学生可以在玩数学游戏的过程中，轻松地学到数学知识，从而更轻松地完成教学任务。

二、应用几何画板进行数学教学的案例

《正弦型函数y=Asin（ωx+φ）的图像与性质》这节课是三角函数图像与性质部分的重要内容，如果学生能够很好地掌握正弦型函数的图像与性质，那么学习余弦型函数等内容就会非常容易了。这一节内容起着承上启下的作用，十分重要。但是，这一节课也是整个中学学习阶段中最难理解的内容之一，图像多，变化大，如果教师利用传统的教学手段，讲完这一节内容大约需要 4个课时，且效果不佳。因为仅仅画图就需要浪费教师大量的时间，在教师画图的过程中，学生只能干瞪着眼看，教师画完图后，学生又只能面对死板的图形和教师枯燥的说教，缺乏学习兴趣，自然也就不易掌握。如果教师利用几何画板软件，采用多媒体动画演示来启发学生，仅仅需要2个课时就能完成教学任务，且效果很好。

《正弦型函数y=Asin（ωx+φ）的图像与性质》这一节课的教学重点是启发学生理解并掌握正弦型函数y=Asin（ωx+φ）中的A、ω、ф的几何意义，即数A、ω、ф对函数性质有什么影响。笔者在利用几何画板讲这一节课的时候，并不是做一个完整的数学课件，而是做出了这个课件的基本框架，大多数比较重要的内容是留在课堂上边讲边做的。

1.难点一：y=Asin x型函数的图像与性质

笔者在讲授这一节课的难点之一“y=Asin x型函数的图像与性质”时，仅仅是在操作界面上做出函数y=sin x的图像，在进行函数y=2sin x与函数y=sin x图像的比较时，笔者利用几何画板工具在不到一分钟的时间内就画出了函数y= 2sin x的图像，且界面非常清楚，学生的观察没受到其他图像的干扰。然后笔者再引导学生去观察二者的相同点与不同点，启发学生去观察二者的最高点或最低点的区别和它们与x轴交点位置的相同之处，进而让学生自己去发现二者之间最大值与最小值的倍数关系。稍停，笔者接着画出函数y=3sin x的图像，启发引导学生观察函数y=3sin x与函数y=sin x图像的关系，进一步说明二者之间最大值与最小值的倍数关系。

这时，学生可能对这种倍数关系还会有些怀疑：是不是对任意的正实数A都有同样的结果呢？这一部分教学的关键是讲清楚函数y=Asin x中的A对图像的影响。笔者利用隐藏工具隐藏了函数y=2sin x与y=3sin x的图像，并开始在界面上画出函数y=Asin x的图像。（注意：在画出函数y=Asin x图像的过程中，教师需要向学生详细解释过程，特别是数A的来历）。笔者在学生的“监督”下，在平面上画出点A，接着马上度量出点A的纵坐标，向学生解释清楚：点A的纵坐标也就是点A到x轴的距离，度量出来的数字也就是函数y=Asin x中的系数。笔者在利用图表工具绘画函数y=Asin x的图像时，提醒学生看清楚作图过程，在sinx前边乘以A时，笔者点击的是度量出来的数A，而不是其他数，这样画出的图像学生就不会再有怀疑了。

紧接着，在上下拖动点A的同时，笔者提醒学生仔细观察函数图像的变化和数A的变化。学生就会发现，当数A的值变大时，图像的最大值也变大了，最小值变小了。接着，笔者又启发学生进一步观察函数的最大值与数A的值有什么关系？同时，拖动线段（过点A向x轴作的垂线段），使它平移到图像的最高点位置，可以看到，A点正好与函数的最高点重合，学生就会马上做出反应：“哦！数A纵坐标的值等于函数的最大值！”为了加深学生的印象，笔者就请学生继续观察，拖动点A时，无论数A的值是整数还是小数，图像的最大值都是点A的纵坐标。通常情况下，教材中所讲的A值是大于0的。为了进一步启发学生，笔者将点A拖到了x轴的下方，这时数A的值是负的，学生可以清楚地发现函数图像发生了实质性的变化——x轴翻转了180度。这时，笔者提示学生，仔细观察数A的值还等不等于函数的最大值？有的学生说等于，有的学生说不等于。接着，笔者又一次拖动点A到函数的图像上，学生马上会发现，等于函数的最小值。这时，笔者向学生进行强调：当A>0时，函数的最大值是A，最小值是﹣A；当A<0时，函数的最大值是﹣A，最小值是 A。因此，当A>0时，A的几何意义就是将函数y=sin x的图像沿y轴的方向拉伸为原函数的A倍，使函数的最大值变为A，最小值变为﹣A。

2.难点二：y=sinωx型函数的图像与性质

当讲授这一节课的第二个难点“y=sinωx型函数的图像与性质”时，笔者采用动画效果进一步调动学生的学习积极性。首先，笔者在操作界面上做出函数y=sin x的图像，再利用几何画板工具画出函数y=sin 2x的图像，引导学生去观察二者的相同点与不同点，观察二者的最大值或最小值以及与x轴的交点位置有何异同，进而让学生自己发现其周期的倍数关系。由于在前边已经学习过了数A对函数图像的影响，这时，有部分爱动脑子的学生就会有一些不成熟的想法。接着，笔者在学生的“监督”下在平面上画出y轴的一条垂线段，在垂线段上任取一点ω，马上度量出点ω的纵坐标的，提醒学生：点ω的纵坐标也就是点ω到x轴的距离，度量出来的数字也就是函数y=sinωx中的x系数。在利用图表工具绘画函数y=sinωx的图像时，笔者提醒学生们看清楚作图过程，在x前边乘以ω时，笔者点击的是度量出来的数ω，而不是其他数。紧接着，在上下拖动点ω的同时，笔者提醒学生仔细观察函数图像的变化和数ω的变化。学生就可以发现当数ω的值变大时，图像以原点为中心，沿x轴方向向y轴压缩；当数ω的值变小时，图像以原点为中心，沿x轴方向向两边伸展。当数ω的值由1变为2时，函数y=sinωx的图像以原点为中心，沿x轴方向向y轴压缩为原来的，即：在[0，2π]范围内，函数y=sinx的图像是1个周期，而函数y=sinωx的图像是两个周期。当数ω的值由1变为3时，图像以原点为中心，沿x轴方向向y轴压缩原来的，即：在[0，2π]范围内，函数y=sinx的图像是1个周期，而函数y=sinωx的图像是3个周期。笔者请学生通过自己的观察来归纳函数的周期与数ω的值有什么关系，为了进一步激发学生的兴趣，笔者设置点ω的动画，学生们可以清楚地看到随着ω点的运动，函数y=sinωx的图像会像弹簧弹动一样变化。

笔者学校有一位老教师说了这样一句发自肺腑的话：“过去，用多媒体不会上课，自从用了几何画板，不用多媒体就不会上课。几何画板真是让我们受益匪浅。”但需要说明的是，在利用几何画板进行数学课件制作的过程中，不能一味追求一个模式，教师应该根据不同的课题，采用不同的方法，充分展示几何画板在数学教学中的优势，上好每一节课，争取用最少的时间使学生学到最多的知识。

（作者单位：焦作市职业技术学校）