限制性哈密顿系统中局部坐标的选取对数值计算的影响

李江丹，张素英

（1.太原师范学院 物理系，太原 030012；2.山西大学 理论物理研究所，太原 030006）

一、局部坐标法

我们考虑拉格朗日系统。令r∈Rn为系统的位置坐标，r˙为其速度。设系统的拉格朗日函数已经给定：L（r,r˙）=T-V，其中 T 是系统的动能，V 是系统的势能。我们可以通过勒让德变换得到系统的哈密顿函数，然后用哈密顿函数得到哈密顿正则方程。对一般的哈密顿系统人们已经发展了很多高效的数值计算方法，无疑辛算法［1-2］是其中的佼佼者。辛算法在长时的跟踪计算上有传统解微分方程的龙格-库塔方法无法比拟的优势。但是如果系统处在某种约束之下，人们除了辛方法外，还得加上约束条件。针对这种情况人们已经发展了很多约束辛算法来解决这个问题。如果给定系统的约束为完整约束，那么我们可以引入合适的局部坐标来研究限制流形上的运动方程，这种方法被称为微分-几何方法［3-5］。它可以把微分-代数系统转变为一个流形上的微分方程。我们可以在这个流形上引入合适的局部坐标来求解运动方程。限制性代数方程可以定义一个光滑流形M。如果存在一个开区域可以覆盖所有的可能运动区域，那么这个开区域可以用局部坐标参数，进而我可以得到该流形上的拉格朗日函数，用勒让德变换可以得到系统在该流形上的的哈密顿函数：

约束解除后，我们就把原来限制性哈密顿系统的方程转化为非限制哈密顿系统的方程，仍然可以使用通常的辛算法进行数值求解。显然，哈密顿函数的形式取决于局部坐标的选取，我们将证明不同局部坐标系下的辛形式都是等价的。理论上不同局部坐标的等价性并不能带来具体计算当中的精度相当，事实上在具体的数值计算当中却表现为：在某些局部坐标下计算结果比较好，在另一些局部坐标下计算结果较差。

二、哈密顿系统辛格式的不变性

在使用辛算法求哈密顿方程的数值解时,我们希望系统的能量也是近似守恒,但是我们通过具体例子可以发现系统的能量的相对误差不仅取决于算法的精度,还取决于我们选取的局部坐标。

三、局部坐标的选取

原哈密顿系统可以通过引入适当的局部坐标来进行数值求解,并且具有限制不变性。从理论上讲,任何一种局部坐标都可以进行数值计算,因为所有的局部坐标都是等价的。但是我们并不能从实践的角度给以说明。我们通过具体的数值计算的例子发现系统能量是否近似守恒很大程度上取决于选取的局部坐标。

我们用这两种局部坐标（x，y）和（θ，φ）来进行数值求解。可以使用2阶和4阶辛方法［1-3］，选取步长为h=0.01。如图1和图2所示,在时间间隔［0，1000］内研究能量的相对误差，局部坐标（θ，φ）的能量相对误差近似守恒，而局部坐标（x，y）的能量相对误差就比较大。

四、结论

本文我们使用局部坐标法解决了限制性哈密顿系统的数值求解运动方程问题，通过具体的例子讨论了局部坐标法的具体细节。在给出的案例中,用局部坐标（x，y）的能量相对误差量级为100,如果用另一个局部坐标（θ，φ）能量的相对误差量级为10-9。我们可以看到用局部坐标法求解限制性哈密顿系统时,选取合适的局部坐标是很重要的。在局部坐标下,系统能量是近似守恒的,但是在某些坐标下能量的相对误差可能比较大。从本文案例的坐标选取来看,哈密顿函数表达式简练的坐标在计算时的误差要小。因为表达式简练反应到计算程序里就是计算量较少，这样就有效的的减少了误差的累积，也就是提高了精度。但在上述案例中精度在量级上的差别是无法解释的。对限制性哈密顿系统哪种局部坐标是最佳选择尚没完全解决。

［1］Zhang S.Y.，Deng Z.C.Geometric Tntegration Theory of Nonlinear Dynamical System and Its Application［M］.Xi’an：Northwestern PolytechnicalUniversity Press，2005.

［2］FengK.and QinM.Z.SymplecticGeometric Algorithms forHamiltonian Systems［M］.Hangzhou：ZhejiangScience and Technology Press,2003.

［3］Hairer E.and Wanner G.Solving Ordinary Differential Equations II［J］.Springer-Verlag,1991.

［4］Westenholz C.von.Differential Form in Mathematical Physics［J］.North Holland,1981.

［5］余扬政，冯承天.物理学中的几何方法［M］.北京：高等教育出版社，1998.