三次函数零点判别法

玉邴图

（广南县第一中学，云南 广南 663300）

三次函数零点判别法

玉邴图

（广南县第一中学，云南 广南 663300）

三次函数是重要的初等函数之一，其性质是数学教学的研究重点。文章将根据其极值点的分布情况，应用韦达定理推导出三次函数零点的一种判别法，为解决三次函数零点个数及其相关问题提供了借鉴和参考。

三次函数；零点；韦达定理

高中数学新课程标准开设导数以后，三次函数是高考的重头戏，题目形式多样，角度常变，常考常新。论述其零点判别法的文章也有之，如最近的文献[1]和文献[2]是按平移和伸缩变换，将f (x)=ax3+bx2+cx+d化为f (x)=x3+px2+q以后，再用盛金公式求解，这种方法在应用时，需要转化和分类讨论，不易操作。本文是根据三次函数图像和极值点的分布情况，应用韦达定理推导出另一种判别法——直接用a, b, c, d的不等式表示三次函数零点判别法。这种方法直截了当，应用方便，现论述如下。

定理1函数f (x)=ax3+bx2+cx+d (a ≠ 0)有三个零点的充分必要条件是

证明：因为f ′(x)=3ax2+2bx+c，令f ′(x)=0得方程

要使三次函数有三个零点，则三次函数必有两个极值点，等价于方程（1）有两个不相等的实数根，又等价于判别式Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac)＞0b2-3ac＞0，此时两个极值点分别在x轴的两侧，如图1所示，即对应两个极值的积为负数，即y1y2=f (x1) f (x2)＜0。

图1 两个极值点分别在x轴两侧的示意图

定理2函数f (x)=ax3+bx2+cx+d (a ≠ 0)有两个零点的充分必要条件是

证明：由题意，同定理1的分析得b2-3ac ＞ 0。

要使三次函数有两个零点，此时有一个极点在x轴上，如图2所示。

图2 只有一个极值点在x轴上的示意图

对应的两个极值的积为零，即y1y2+ f (x1) f (x2)=0。以下证明与定理1相仿，从略。

定理3函数f (x)=ax3+bx2+cx+d (a ≠ 0)有一个零点的充分必要条件是

证明：①同定理1的证明得b2-3ac ＞ 0。

要使三次函数有一个零点，等价于两个极点在x轴的同一侧，如图3所示。

对应的两个极值的积大于零，即y1y2=f (x1) f (x2) ＞ 0。以下证明与定理1相仿，从略。

②当方程（1）的判别式Δ=4b2-12ac=4 (b2-3ac) ≤ 0b2-3ac ≤ 0时，导函数y′=3ax2+ 2bx + c ≥ 0或y′=3ax2+ 2bx + c ≤ 0恒成立，函数f (x)是单调函数，函数f (x)的图像与x轴一个交点，如图4所示，此时，问题等价于函数f (x)有且只有一个零点。

图3 两个极值点在x轴同侧的示意图

图4 f(x)与x轴有一个交点的示题图

下面举例说明上述判别法的应用。

以上的例题可改变为如下更有趣的问题。

例5 设函数f (x)=| ax3-2x2-3x + 1| (a ≠ 0 )，求：

1）a在什么值的范围内，函数有六个单调区间；

2）a在什么值的范围内，函数有四个单调区间；

3）a在什么值的范围内，函数有两个单调区间。

解：因为三次函数的绝对值的图像全部在x轴上方，也就是图像在x轴下方部分以x轴为对称轴向上翻折，于是问题立即得解。因为b=2, c=-3, d=1。

1）依题意，由定理1知，当a满足以下不等式时，符合题意。

［1］ 胡勇.三次函数零点判别探究的教学实录和感想[J] .福建中学数学，2013（9）：12-15.

［2］ 360百科.三次函数[EB/OL]. [2014-03-20] http://baike.so.com/doc/4720205.html.

On the Test of Zero Vector of Cubic Function

YU Bing-tu
(No. 1 Middle School, Guangnan 663300, China)

Cubic function is one of important elementary functions and its properties are the focus of mathematics teaching. The paper deduces a test of zero vector of cubic function from Vieta’s theorem, based on the distributions of its extreme value points, which provides a reference basis for the number of zero vector and its related problems.

Cubic function; zero vector; Vieta’s theorem

O122

A

1674-9200（2014）06-0043-05

（责任编辑 刘常福）

2014-04-09

玉邴图（1958-），男，云南广南人，云南省特级教师，全国模范教师，云南省委联系专家，主要从事高中数学教学和解析几何理论研究。