级数在求极限中的应用

□杨京开，陈秀红

（1.玉林师范学院 数学与信息科学学院，广西 玉林 537000；2. 广西玉林高中 数学科，广西 玉林 537000）

级数在求极限中的应用

□杨京开1，陈秀红2

（1.玉林师范学院 数学与信息科学学院，广西 玉林 537000；2. 广西玉林高中 数学科，广西 玉林 537000）

级数是数学分析的一个重要工具，也是高等数学的重要组成部分.级数在理论和实际上都有很多应用. 本文讨论了级数在极限计算中的作用，并通过具体例子说明了其在求极限中的应用.

幂级数；傅里叶级数；极限

极限是数学分析与高等数学的主要内容，是这两门课程其他理论的基础.因此，深刻理解极限的定义，并且掌握求极限的一些方法，对于这两门课程的学习具有重要的意义.一般来说，求极限常用的方法有：定义法、极限存在准则、利用重要极限求极限、压缩映射原理、Stolz定理等等.但对于某些形式的极限问题，利用这些方法来求解仍然还很困难.因此，我们有必要寻求其他求极限的简便方法.本文主要利用无穷级数的有关理论，比如，利用无穷级数收敛的必要条件、利用函数的幂级数展开式、利用级数的和式等，求一些特定形式的数列和函数的极限.

1 利用级数收敛的必要条件求极限

对于通项含有n!、n的方幂、n次幂，或关于n的连乘积的数列极限，若我们把数列的通项看作某个级数的通项，并且用级数敛散性的一些判别方法知道这个级数收敛，那么由级数收敛的必要条件，原数列的极限为零.当然，这种方法只适用于以数列的通项作为级数的通项，且级数收敛的情况下，这时原数列的极限为零；而对于对应的级数发散或者无法判断出敛散性时，该方法行不通.

分析 该数列极限用一般求极限的方法求解是非常困难的，若考虑到把该数列的通项看作正项级数的通项，然后利用正项级数收敛性的一些判别法，如果这个正项级数收敛，则由级数收敛的必要条件，该级数的通项必定趋向于零.

因为

2 利用函数的幂级数展开式求函数的极限

对于某些函数的极限，当我们把极限式中的某一项或几项展开成幂级数后，往往能消掉一些式子，把原来比较复杂的函数变成简单且容易求极限的函数.

分析 利用求函数极限的一般方法来求解本题几乎是无从下手，若想到利用函数ln(1+x)的幂级数展开式，则本题会化繁为简，从而轻易求出极限的值.

解 由函数f(x)=ln(1+x)的幂级数展开式，有

3 利用级数和的定义求极限

一些数列的极限在数值上等于某个数项级数的和，有时我们可以根据数项级数和的定义，通过求数项级数对应的部分和数列的极限得到原来数列的极限.

4 利用幂级数的和函数求数列的极限

有些数列的极限，通项是含有自然数n的式子之和，对于这种类型的极限问题，可以把数列极限转化为级数和，然后通过求级数和的一些方法，间接求出原来的极限；或者可以根据级数的特点，构造出一个对应的幂级数，求出幂级数的和函数，再通过和函数在收敛点的函数值得到数列极限的值.

5 利用函数的傅里叶级数展开式求极限

一些比较复杂的，通项与自然数n有关的式子的和的数列极限，还可以通过给出一个函数，将这个函数展开成傅里叶级数，然后在傅里叶级数的收敛域内代入某个数值，从而把数列极限求出来.这时，函数的选择是关键.虽然有可能利用不同函数的傅里叶级数展开式都可以求解，但难易程度是不一样的.

解 设f(x)是周期为2π的周期函数，它在[-π,π)上的表达式为

因为函数f(x)满足狄利克雷定理的条件，且f(x)在整个数轴上连续，故其傅里叶级数在整个数轴上都收敛于f(x).

将f(x)展开成傅里叶级数，得

由f(x)在[-π,π)上的表达式和f(x)的傅里叶级数展开式得

同理，利用上面的函数f(x)的傅里叶级数展开式，我们还可以求出以下几个数列的极限.

6 结语

级数在求极限中有着非常广泛的作用，但要具体情况具体分析，选择恰当的方法进行求解.本文归纳了利用级数收敛的必要条件、利用函数的幂级数展开式等方法来求极限，并通过具体例子表明，利用级数计算极限简洁、准确.若利用常规方法，则无法或很难求解本文中列举的一些极限类型.掌握这些方法，对培养学生的思维能力，提高运算能力有极大的帮助. ■

[1]黄立宏. 高等数学(上册)[M].上海：复旦大学出版社, 2011.

[2]华东师范大学数学系. 数学分析(下册)[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]毛纲源. 高等数学解题方法技巧归纳(下册)[M].武汉：华中科技大学出版社，2010.

[4]钱吉林. 数学分析题解精粹[M]. 武汉：崇文书局出版社，2003.

[5]裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，2006.

[6]谢惠民. 数学分析习题课讲义(下册)[M].北京：高等教育出版社，2006.

【责任编辑 谢文海】

Application of Series in the Calculation of Limits

YANG Jing-kai ，CHEN Xiu-hong
(1． College of Mathematics & Information Science, Yulin Normal University, Yulin, Guangxi 537000; 2． Mathematics Group, Guangxi Yulin High School, Yulin, Guangxi 537000)

Series is not only an important tool of mathematical analysis, but also an important part of higher mathematics． There are many applications in theory and practice for series． This paper discusses the role of series in limit calculation, and illustrates its application in limit operation through specific examples．

Power Series; Fourier Series; limit

G642.0

A

1004-4671（2014）02-0031-04

2014-02-26

广西高校教学名师教学改革项目(2013GXMS113)；玉林师范学院高等教育教学改革工程项目(14YJJG17)。

杨京开（1982～），男，广西贵港人，玉林师范学院数学与信息科学学院讲师，研究方向：代数及其应用、自动机理论。