考虑瞬时脱离的列车作用下桥梁振动分析

杨宏印，张海龙，陈志军，黄 雯

(1.华中科技大学 土木工程与力学学院，湖北 武汉 430074；2.中铁大桥局集团 武汉桥梁科学研究院有限公司，湖北 武汉 430034)

0 引 言

车辆的振动会引起桥梁的振动，而桥梁的振动亦会引起车辆的振动，近年来，随着铁路和公路交通中行车速度的不断提高及车辆荷载的不断增大，车-桥耦合相互作用一直是人们普遍关注的问题。车-桥耦合分析要建立两组动力方程，即车和桥的动力方程，通过车轮与桥的相互关系耦合起来。而车轮和桥的相互作用是一个高速移动接触-碰撞-滑移非线性过程，通常都被简化为力和位移的协调[1-2]，即基于车轮密贴假设。分析车-桥耦合动力响应主要分为两种方法：解析法和数值法。前者仅能计算移动力(集中力、连续力)作用下简单结构的动力响应[3-4]。而对于后者，有限元是被广泛采用的方法之一[5-6]。各国学者提出了各种不同车-桥相互作用单元，但都基于车轮密贴假设。然而在脉冲型不平顺或车辆速度非常高等情况下，存在车轮瞬时脱离[1]，故车轮密贴假设存在以下不足[7]：忽略了车轮脱离现象；车轮没有独立竖向自由度；时变的动力方程矩阵使求解计算量增大；发生脱离时很难得到正确的结果。

笔者先视车辆和桥梁为两个独立的动力系统，研究了移动车辆作用下车轮与桥梁的接触关系，采用非线性Hertz弹性接触理论[8]，并从各子系统动力方程出发，推导了考虑车轮瞬时脱离和不平顺的车-桥相互作用单元动力方程。然后视车辆-桥梁为整体系统，将列车编组，应用形成矩阵的“对号入座”法则建立了系统动力微分方程。采用Newmark-β方法逐步积分求解，不需迭代，能同时准确获得车辆和桥梁的动力响应。最后应用所提出的方法对现有铁路桥梁进行了分析，讨论了车-桥共振现象，并研究了脉冲型不平顺对动力响应的影响，得到了一些有益的结论。

1 车-桥耦合系统方程的建立及求解

图1描绘了列车过桥时耦合系统模型，将列车模拟为一系列作用在车轴处的移动质量-弹簧-阻尼系统以简化计算，Mv，Mw分别为车身和车轮质量，kv，cv分别为车身和车轮间悬架的刚度和阻尼；桥梁简化为长度为Lb，单位长度质量为mb，抗弯刚度为EbIb的Euler-Bernoulli简支梁，采用Rayleigh阻尼。

图1 列车过桥时耦合系统模型Fig.1 Vehicle-bridge coupling system model

1.1 车辆-桥梁耦合单元动力方程推导

将车辆和桥梁视为两个独立的子系统，通过其间接触力耦合。由于车轮与梁间只能承受压应力，而不能承受拉应力，是一个典型的单面约束接触问题[9]。采用非线性Hertz弹簧来模拟这种接触关系，设其切线压缩刚度为kH，拉伸刚度为0，车轮与桥梁间距离为yin，且为方便计算和推导，引入参数a，使接触刚度可统一表示为akH，则接触力fin为：

fin=-akHyin

(1)

式中：yin≥0时，a=0，表示车轮发生脱离；yin<0时，a=1，表示车轮未脱离。

而由非线性Hertz弹性理论可知接触力为：

(2)

式中：CH为Hertz接触弹簧常数，与材料及车轮半径有关。

将式(2)求导得Hertz接触弹簧切线刚度：

将车辆作用看为一系列的外部激励荷载，则桥梁振动的偏微分方程可表示为：

(3)

采用有限元方法将整个桥梁离散，考虑不平顺r(x)的影响，并沿梁长每个单元对式(3)进行加权积分，则共有两种桥梁单元：无车辆作用的普通梁单元，其振动方程可由结构动力学直接写得[10]；有车辆作用的耦合单元，如图2，其动力方程为：

(4)

Hermite3次插值形函数为：

图2 车-桥耦合单元模型Fig.2 Vehicle-bridge coupling element model

车轮和桥梁间距离为：

yin=[y1-yb-r(x)]x=xi

(5)

而梁单元位移可表示为：

(6)

车辆动力方程为：

(7)

联立式(1)和式(4)～式(7)可得图2所示的考虑车轮瞬时脱离和不平顺的耦合单元动力方程：

(8)

1.2 车-桥耦合系统方程组装及求解

将所要计算车辆编组，运用形成矩阵的“对号入座”法则[11]组装所有普通梁单元和耦合梁单元方程，得到整个系统的动力方程，其分块表达式为：

(9)

式中：下标b和v分别代表与桥梁和列车相关的项；下标c表示由接触而产生的项。

式(9)为2阶时变微分方程，而由前面推导可知，只有矩阵[Kbv]，[Kcb]和[Kcv]及向量[Fcb]和[Fcv]是时变的，而其他项均是时不变的。故在求解时可先由式(8)组装时不变部分，作为初始方程，然后在每个积分步根据时间叠加时变部分便可得到系统动力方程，采用Newmark-β方法直接积分求解，不需迭代。而非线性Hertz弹簧刚度可根据前一积分步的相对压缩距离求得其切线刚度而作为下一积分步的线性刚度。由于文中考虑了车轮瞬时脱离，即a=0，脱离后，整个系统解耦为两个独立的动力系统，使得整个系统呈现很强的非线性，脱离发生临界时刻的准确性对整个系统求解的精度有很大的影响，笔者采用自动半步长方法来准确寻找脱离发生临界时刻，设精度为ε，具体求解步骤如下：

1)按a=1逐步算得下一时刻系统的反应及yin，直至ti时刻yin>ε；

2)回到ti-1时刻，且取上一时间步长的一半重新计算ti时刻系统的反应及yin，直至yin≤ε；

3)按a=0逐步算得下一时刻系统的反应及yin，直至ti+k时刻-yin>ε；

4)回到ti+k-1时刻，且取上一时间步长的一半重新计算ti+k时刻系统的反应及yin，直至yin≤ε，回到步骤1)，再向后进行。

2 列车作用下桥梁动力响应分析

以现有铁路线上大量使用的32 m标准跨简支箱梁桥为分析对象，考虑车轮瞬时脱离和不平顺，编制了相应MATLAB计算程序，研究图1所示列车过桥时耦合系统的动力响应。桥梁参数如下：Eb= 34.5×109Pa，Ib=11.1 m4，mb=43 628 kg/m，Lb=32 m，阻尼比ξ=0.025。车辆模型参数如下[12]：Mw=5 000 kg，Mv=24 000 kg，轴距Lc=18 m，kv=1.5×106N/m，cv=8 500 Ns/m，车辆间距Lv=24 m。

2.1 不同车辆模型对桥梁动力响应的影响

忽略不平顺的影响，分别用图1所示列车模型和将列车重量转化为轴重的移动力模型对列车过桥进行对比分析，以研究两种模型所产生的影响。

桥梁跨中最大位移响应对比见图3(a)，由图可见所得结果和速度并没有很好的相关性；两种模型所得结果基本一致，但400 km/h时(接近共振速度)，移动力模型响应大于列车模型，与文献[13]结果一致，即共振速度下移动力模型所得结果偏于安全。桥梁跨中最大加速度响应对比见图3(b)，同位移响应类似，在200～400 km/h间，响应随速度增加而增大；两种模型所得结果基本一致，说明由于桥梁的刚度很大，列车振动产生的影响很小，同时也反映了前面推导的耦合单元的准确性。

图3 桥梁跨中最大位移和最大加速度对比Fig.3 Comparison of maximum deflection and acceleration at the mid-span of bridge

桥梁的1阶频率为4.54 Hz，理论共振车速为392 km/h，图4分别为跨中位移和加速度响应时程对比。可见共振车速下，两种模型所得结果基本一致，且随着通过车辆数目的增加而急剧增大，形成了明显的“拍”，出现了共振现象；而列车下桥后在结构阻尼影响下，响应逐渐衰减。共振车速下响应峰值滞后于350 km/h情况，且前者最大位移响应为后者的1.4倍，最大加速度响应为后者的2.5倍，在设计中应尽量避免出现共振。

图4 桥梁跨中位移和加速度时程对比Fig.4 Comparison of the time history of bridge mid-span deflection and acceleration

2.2 脉冲型不平顺对耦合系统动力响应的影响

铁路有缝线路的轨道接头，及由温度力或制动力等作用造成的断轨，均会形成脉冲型不平顺，同时桥梁结构变形也会引起不平顺。根据文献[14]，考虑如下脉冲型不平顺：

r(x)=Ae-k|x|

(10)

式中：A和k分别取3.6 mm和0.66，考虑5级线路。

将式(10)不平顺置于桥梁跨中，分别采用考虑和不考虑车轮瞬时脱离的模型分析其不利影响。同时对桥面光滑的情况也进行了分析。分析发现175 km/h时车轮开始出现瞬时脱离，且速度越大，脱离越显著。桥梁跨中最大位移响应见图5(a)，可见共振车速附近响应最大，在200～300 km/h间，不平顺使响应增大；但在350 km/h时结果却减小，说明此时不平顺激起了强烈的高频振动。跨中加速度响应见图5(b)，可见同光滑情况相比，不平顺使响应显著增大，说明激起了很强的冲击作用，未发生脱离时,考虑和不考虑脱离所得结果一样；发生脱离时，后者响应偏大，且高速下相差很显著，说明后者结果不准确。

图5 桥梁跨中最大位移和最大加速度Fig.5 Maximum mid-span deflection and acceleration of the bridge

速度为350 km/h时桥梁跨中加速度响应时程见图6，可见不考虑脱离时，振动更剧烈，幅值明显大于考虑的情况。

图6 桥梁跨中加速度时程Fig.6 Time history of mid-span acceleration of the bridge

图7为300 km/h时中间车辆前轮接触力时程对比，可见跨中不平顺尖点处激起了强烈的振动，考虑车轮脱离情况最小接触力为0，准确模拟出瞬时脱离现象；而未考虑情况出现了负的接触力，与实际情况不符。同时可见出现车轮脱离前，两者的振动几乎一致；而出现脱离后，振动的幅值和频率特性均出现了差别。

图7 车轮接触力时程对比Fig.7 Time history of contact force of the wheel

综上，即使幅值较小的脉冲不平顺也能激起强烈的桥梁振动，甚至出现了危及安全的车轮脱离现象，说明了线路养护维修和桥梁变形控制的重要性。而分析中应采用考虑车轮瞬时脱离的模型，以准确高效计算耦合系统动力响应。

3 结 论

基于车-桥耦合分析中“车轮密贴”假设的不足，采用非线性Hertz接触理论，并将其线性化，推导了考虑不平顺和车轮瞬时脱离的车-桥耦合单元方程，并建立了系统分析动力方程。结合现有铁路桥梁进行了分析，讨论了车-桥共振现象，并研究了脉冲型不平顺对动力响应的影响，得到了如下结论：

1)光滑时，移动力模型结果和列车模型基本一致；共振速度时，前者结果更偏于安全。共振时，桥梁动力响应会显著增大，在设计中应尽量避免。

2)不平顺会使桥梁加速度响应显著增加，却使特定速度下位移响应减小，说明其激起了强烈的高频振动。车轮未发生脱离时，考虑和不考虑脱离模型所得结果一样；而发生脱离时，后者加速度响应偏大，且高速下相差很显著。

3)发生脱离时，不考虑脱离模型出现了负的接触力，说明其结果是不准确的；而考虑脱离模型准确模拟出了脱离现象。同时两种模型振动的幅值和频率特性均会出现差别。

4)应重视线路养护维修和桥梁变形控制以避免出现脉冲型不平顺，同时应采用考虑车轮脱离的模型进行车-桥耦合振动分析。

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