基于最佳阶次FRFT的阶比分量提取

梅检民，李 枫，杨青乐，常 春，王国威

(1.军事交通学院军用车辆系，天津 300161；2.军事交通学院研究生管理大队，天津 300161)

前言

变速器的早期故障特征十分微弱，而变速过程更能反映微弱故障信息[1]，但噪声背景也更强，各阶比分量之间互相干扰，如何从强噪声和其他分量干扰中有效剥离出目标阶比分量是分析变速过程信号提取微弱故障特征的关键。

变速器以输入轴的转速为基准，各挡位的啮合频率分量按照不同的阶比随输入轴转速变化，构成不同的阶比分量，是典型的多分量线性调频信号(Chirp信号)，各分量时频混叠，单独从时域或频域都不能将各分量分离。分数阶傅里叶变换(fractional Fourier transform,FRFT)利用Chirp信号在不同阶次的分数阶傅里叶域呈现出不同的能量聚集性的特点，只要选择合适的FRFT阶次，就能提取到感兴趣的Chirp分量[2-4]；但目前基于搜索思想确定阶次的方法都需要多级不同步长的搜索才能得到合适的阶次，搜索工作量大、速度慢，而且对于邻近分量，强信号会“淹没”弱信号，直接搜索法难以检测弱信号分量[5-8]，因此研究快速、准确确定FRFT最佳阶次的方法成为基于FRFT提取阶比分量的关键。

本文中根据变速器传动原理和加速过程信号的线性调频特点，提出了一种根据变速器输入轴转速信号确定FRFT最佳阶次的方法，快速、准确、自适应地确定出目标阶比分量FRFT的最佳阶次，在该最佳阶次分数阶域剥离其他分量和噪声，提取目标阶比分量，并对提取出的单分量信号进行分析，得到该分量更加全面、详细的信息。

1 FRFT及其处理Chirp信号的原理

1.1 FRFT定义和性质[9]

信号x(t)的FRFT定义式为

(1)

其中

(2)

式中：Kp(t,u)为FRFT的变换核；p为FRFT的阶数，可以为任意实数；α为FRFT的旋转角度，α=pπ/2。

Xp(u)的逆变换为

(3)

由式(3)可以看出，信号x(t)由一组权系数为Xp(u)的正交基函数K-p(t,u)所表征，这些基函数是Chirp的复指数函数。

1.2 FRFT提取Chirp信号分量的原理

Chirp信号在时频域都具有较大的展宽，在时域或频域都不能很好分离。包含两个分量的Chirp信号的时频分布如图1所示，其中一个分量的时频分布与时间轴的夹角为β，分数阶傅里叶变换可以解释为信号在时频平面内绕原点旋转任意角度后所构成的分数阶域上的表示，只要分数阶傅里叶变换的旋转角度α与β正交，则该Chirp信号在分数阶傅里叶域上的投影就应该聚集在u0一点上，以u0为中心做窄带滤波，将Chirp信号从强背景下滤出或从多分量Chirp信号中分离，再做-α角旋转，就实现了Chirp信号的提取。

FRFT提取Chirp分量关键在于能找到合适的旋转角度，得到最佳的FRFT阶次。从图1可以看出，最佳角度α、阶次p与调频率fm有如下关系：

(4)

2 基于转速信号确定FRFT最佳阶次

变速器以输入轴的转速为基准，各挡位啮合齿轮按照不同的传动比运转，当变速器变速运行时，转动频率和各挡位的啮合频率分量按照不同的阶比随输入轴转速变化，构成不同的阶比分量，测得的变速器振动信号是多分量的Chirp信号。分析现有阶次确定方法存在的不足，结合变速器传动原理，本文中提出了一种根据输入轴转速信号确定FRFT最佳阶次的方法，其具体步骤如下。

(1) 根据转速信号计算出转动频率和各挡位的啮合频率分量fi，某型变速器5个分量的时频曲线如图2所示。

(2) 对转动频率和各挡位的啮合频率分量fi进行最小二乘拟合，计算出各分量的调频率fmi，图2中示意了分量f3的最小二乘拟合直线。

由于转速信号不受任何振源和噪声干扰，变速器的传动比又是固定的，因此根据转动频率得到各挡位啮合频率分量很准确，据此计算得到的各分量的调频率和阶次精度高，计算速度快，不管振动信号信噪比多低，根据转动频率都能得到精确的最佳阶次，鲁棒性好，而且根据不同的转速信号，该方法都能自动得到对应的最佳阶次，是一种自适应的FRFT最佳阶次确定方法。

3 基于最佳阶次FRFT提取阶比分量

3.1 变速器加速过程信号采集

试验对象为BJ2020S 4挡变速器，采样频率为20kHz，采样点数为24 576，调节负载励磁电压为200V来模拟负载工况，升速过程变速器从0开始加速至1 500r/min，以输入轴为基准，各挡啮合阶次见表1。

表1 BJ2020S变速器各挡位啮合阶次

3.2 最佳阶次FRFT提取阶比分量

3.2.1 原始信号的时频分析

采集变速器2挡时的加速过程转速和振动信号，对振动信号进行Gabor时频分析，如图3所示。从图3可以看出，变速器振动信号确实是多分量Chirp信号，各分量明显时频混叠、相互耦合，同时受噪声影响，不能清楚分辨各分量的具体位置和细致分布情况。

3.2.2 2挡阶比分量的提取

根据转速信号按照上述最佳阶次确定方法求得各分量的FRFT最佳阶次。2挡分量的FRFT最佳阶次为p=1.004 8，做p阶FRFT，如图4所示。从图4(a)可以清楚看出，信号在p阶分数阶域u0=12 113点位置出现明显峰值，说明2挡阶比分量在其最佳阶次分数阶域具有最佳的能量聚集性，而其他分量和噪声聚集性差且能量弱，因此做带宽为12 090～12 130的带通遮隔，见图4(b)，能有效剥离其他分量和噪声的干扰，再做p阶逆FRFT，提取到2挡阶比分量，其时域波形如图4(d)所示，图4(c)为原始信号时域波形。

3.2.3 常啮合阶比分量提取

常啮合阶比分量的FRFT最佳阶次为p=1.007 6，做p阶FRFT，如图5所示。从图5(a)中可以清楚看出，在p阶分数阶域u0=11 996点处出现明显峰值，做带宽为11 970～12 040的带通遮隔，见图5(b)，再做p阶逆FRFT，提取到常啮合阶比分量，其时域信号如图5(d)所示，图5(c)为原始信号时域波形。

对提取到的2挡和常啮合阶比分量分别进行Gabor时频分析，并累加结果，时频分布如图6所示。对比图3和图6可以发现，图6非常清晰细致地显现了2挡和常啮合阶比分量的时频分布位置和趋势，而图3中2挡和常啮合阶比分量的时频分布相对模糊，说明分量之间存在相互耦合和掩盖，加上噪声的影响，使目标分量难以分辨；而基于最佳阶次FRFT提取目标阶比分量，有效剥离了其他分量和噪声的干扰，最大程度地还原了目标阶比分量，对提取到的阶比分量进行单分量时频分析，能得到各个分量更全面、细致和准确的信息。

对提取到的2挡和常啮合阶比分量分别进行阶比分析，阶比谱见图7。

图7清楚反映了提取到的2挡阶比分量的阶次12和常啮合阶比分量的阶次19，说明该方法准确提取到了2挡和常啮合阶比分量，这充分验证了根据转速信号确定FRFT最佳阶次，以及根据该最佳阶次做FRFT提取阶比分量的正确性与准确性。

4 结论

(1) 根据转速信号确定FRFT最佳阶次的算法，准确、快速、鲁棒性好，具有自适应性，非常适合旋转机械加速过程微弱故障特征提取。

(2) 基于最佳阶次FRFT提取阶比分量能有效剥离其他分量和噪声，最大程度地还原真实阶比分量。

(3) 对提取到的目标阶比分量进行单分量分析，能得到该分量更全面、细致和准确的信息。

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