20世纪鲜为人知的音高组合理论

摘要：“set theory（musical）”一般被认为“pc set theory”（音级集合理论），殊不知它的源头是20世纪中期美国作曲家、作曲理论家霍华德·汉森的理论研究成果。汉森的理论著作论述了音高组合全部可能性的问题，为和声学的发展带来了新的发展契机。

关键词：音高组合理论 汉森理论 音级集合理论 20世纪音乐

20世纪音乐的发展突飞猛进，作曲家们不再遵循传统的规矩去安排某个乐音的解决和走向，也不再满足于传统范围内节奏、音色等元素的细微变化。追求新奇特的实验家们开始对不同音响效果感兴趣，他们不仅仅在乐音领域搞起实验，也随着科技的进步对噪音产生好奇，这一大批实验家们引来了全世界关心音乐发展的爱好者和专业音乐家们的视线，他们都拭目以待这似乎走到尽头却又可能带来新的启发的音乐发展之路。而另一批音乐家们从音高结构中看到了希望，他们在作曲实验中尝试着各种新鲜的音高组合，并且在理论研究上不断地探索着这些组合的逻辑规律，形成了诸多不同体系的音高组合理论（musical set theory）。

音乐语汇中最基本的构成要素包括音高和节奏，音高（pitch）即音的高度，是音的基本特征之一。音高组合理论，即将各种音高组合分类整理、阐述他们之间的关系并研究其逻辑规律的理论。无论在传统时期还是当代，乐音领域亦或噪音领域，音高组合的研究都是必不可少的课题。

笼统地讲，源于浪漫主义晚期的20世纪西方音乐发展分别伸向了延续浪漫主义继续向前发展的“保守”流派和分裂成极端反叛传统的新生流派，两者都是基于传统而摆脱教条迈出的新的一步。在这些流派中，音高组合的创新在作曲家的作品中可见一斑，其中形成理论体系的有勋伯格十二音序列技法、亨德米特理论、阿伦·福特音级集合理论等，除了这三位作曲家和理论家外，重要的研究者还有豪尔、巴比特等等。此外，还有一位作曲家、作曲理论家霍华德·汉森在这个领域里奋斗了40余年，他的理论实用性强、简单易懂，启发了后人对音高组合理论的不断发展，但却鲜为人知。

霍华德·汉森（Howard Hanson，1896-1981）祖籍瑞典，出生于美国，先后就读于路德学院、美国音乐艺术学院（今茱莉亚音乐学院）和西北大学音乐学院，曾师从珀茜·该丘斯（（Percy Goetschius，1853-1943）等，而后执教于西北大学（助教）。1921年获“Prix de Rome”大奖赴意大利学习两年，期间师从雷斯皮基（Ottorino Respighi，1879-1936）学习管弦乐队作曲法。回国后受任于伊斯特曼音乐学校担任校长长达40年。期间，他以作曲家、指挥家、音乐教育家、社会活动家等多重身份活跃在美国的音乐领域，将这所起初还是微不足道的私立音乐学校发展成为美国声誉最高的音乐学府之一，同时，他的努力也获得了多项殊荣，重要的奖项有普利策奖、迪特森奖和乔治·福斯特奖等。

早在20世纪20年代，风靡欧洲的勋伯格十二音序列音乐理论也传入了美国，但该理论强烈的维也纳新乐派的烙印使得主张创立“美国风格”的一大批作曲家们产生了研究新理论的念头，汉森在大学期间就开始对音高理论感兴趣，通过在欧洲的学习更加坚定了他对音高理论研究的信念。经过20几年的悉心研究，他的理论初步形成体系，又通过近20年在教学实践中逐步验证和完善，终于在1960年完成出版了著作《现代音乐中的音高材料—十二平均律资源》①（以下简称《音高材料》），这部理论著作全面阐述了他对音高材料研究的理论观点和内容，不仅为音乐创作提供了音高材料的范围和总视野，也为现代音乐的音高材料分类提供了一种新的思路，研究者将其称之为汉森理论。

一、汉森理论简述

汉森理论是为创作服务的，他在《音高材料》的前言中提到：“（该理论的）目的是帮助年轻作曲家整理大量不规则的、繁杂的、可组成和声与旋律材料组合的所有可能性，寻求‘遗失了的和弦并予以新的意义，从而探索一种伸向新的领域并能够满足其审美渴望的音乐表达语言。”他将研究范围划定在十二平均律音阶中的十二个音，是因为平均律音阶的有限性能够更好地降低研究的复杂性，但其研究结果通用于纯律和五度相生律等其他接近于十二平均律音阶的音乐分析和创作中。

汉森认为，和声与旋律性质的一致性十分重要，他将各种音高组合称为音组（sonority），包括纵向和声和横向旋律的音高组合。首先，汉森将所有音程简化为6种基本音程：纯五度（p）、大三度（m）、小三度（n）、大二度（s）、小二度（d）、三全音（t）（其他为转位音程），采用p、m、n、s、d、t的顺序表示一个音组所含有的音程属性，用数字形式标记在字母的右上角表示各音程所含有的数量，组合起来称为音程分析式。如七音组C2D2E2？F1G2A2B②的音程分析式为p6m3n4s5d2t，它表示该音组含有6个纯五度或纯四度，3个大三度或小六度，4个小三度或大六度，5个大二度或小七度，2个小二度或大七度和2个三全音（1x2）。

在著作中讨论了十二平均律音阶中所有音组（共222个）的结构性质、音响特性、风格，以及他们之间最为直接的包含关系。汉森采用映射法、对合法、互补映射法为音组构成或音组间组合的构成方法，采用穷尽法作为逻辑方法将所有音高组合的可能性全部计算出来。

（一）计算方法

映射（projection），即以某音开始按照某种逻辑（音程关系）始终如一地叠加构成音阶或和弦的方式。在著作中，汉森穷尽了单方向叠加映射、上下双向映射、单音程映射和多音程同时映射等多种映射方法。映射也是最基本的音组构成方法。

对合（involution）是指以音组中的某音或某两个以上的音为轴进行纵向翻转，在结构上与原音组构成反向的对应音组的方法，对应的音组与原音组构成对合音组。

互补音组（complementary sonorities）是在十二音范围内，除原音组的构成音之外的音所组成的音组，也可指该音组与原音组形成的互补关系。endprint

（二）计算过程

首先，单音程映射是汉森理论的入手点，他按照p、m、n、s、d、t的顺序将每一个基本音程通过同向映射叠加的方法构成基数为3-12的音组，这些音组是具有这六个基本音程属性最为强烈的音组群。在t映射出现之前，所有的三音组就全部呈现出来了。且当t映射完全计算完成后，所有的四音组完全出现。

第二步，汉森将完全出现的所有三音组作为映射对象，通过在三音组的三个音上分别构成该音组结构的方法进行映射。

第三步，汉森将两种不同的音程分别映射，而后进行叠加组合，这种方法可以获得上述两种方法不能够得到的3-12音音组。至此，所有的五音组全部呈现。

第四步，汉森沿袭这种思路将三音组在其他音程上进行映射，这种方法是第二步的补充，可获得新的音组，至此，得到全部六音组。

最后是互补映射构成音组法，这种方法的目的是将上述所有出现的3-6音组的互补音组及其性质展现出来。由于每个音组相对应的互补音组与原音组都具有同样性质的音程分析式，因此，他们的互补音组可以通过原音组的映射获得，即映射之映射。汉森将上述由各种映射方法所获得的六音以下的音组通过连接六音组与其对应的映射音组建立起前后关系③。

在这个计算过程中，音组与音组之间通过映射的方法组建了一个音程属性“关系网”，在这个网中，每个音组都有它独有的位置。汉森采用字母、数字或符号相结合的方法来表示音组映射或构成的方法，即构成式。一个音组可能会有多个构成式，这是因为同一个音组可以采用不同的映射方法获得，也说明一个音组的性质具有不同的解释方法，或者说，这个音组在“关系网”中有多重身份，它联系着不同领域或范围的其他音组。如六音组C2D2E2#F1G2A（p4m2n3s4dt）的构成式有三个：（1）PNS，是pns（C7G2A）的映射，即第二步；（2）pmn/s，是三音组pmn（C4E3G）在大二度（s）上重新构成同样结构的三音组（D4#F3A）的叠加；（3）p3+s3，是在同一个音上做三次纯五度映射和三次大二度映射叠加构成，即（C-G-D-A）+（C-D-E-#F）。由构成式可以看出，该六音组中纯五度和大二度非常突出，两者结合表现出的性格也与这两个音程的属性相关。同时，该六音组在“关系网”中具有三个坐标点，对于创作者来说，可以通过这个音组找到与它相关的不同属性音组与之构成的纵横关系。汉森将这个“关系网”简化排列为一个图表，参看著作《音高材料》的附录。

需要指出的是，这部著作只计算了音组构成的过程以及他们之间的简单关系，关于音组的连接等问题并没有深入讨论。汉森强调，该理论不是方法论，不能作为音乐分析的工具或手段，但却为音乐创作提供了一个宝贵的音高材料库。

二、汉森理论与音级集合理论

随着计算机技术的发展，汉森之后的研究者研发了诸多软件，如SPEED用来计算任意几个音组合构成音组的性质、排列方式等，为创作提供了方便。此外，巴比特（Milton Babbitt，1916–2011）、莱文（David Lewin，1933–2003）和阿伦·福特（Allen Forte，1926-）等在该领域理论研究卓有成就，其中与汉森的研究最为接近的是阿伦·福特的音级集合理论，该理论较为普及，也较早地由罗忠镕、郑英烈等老一辈作曲家以翻译、介绍甚至应用等方式进行推广。音级集合理论在很大程度上参考了汉森理论，但阿伦·福特对所有音组进行方法论式的归纳阐述，可以说是对汉森理论的具体化和技术化。在此，笔者试析两者的不同之处，如下：

1.汉森理论的目的是整理所有音高材料，从音乐属性本身出发寻找各个音组的规律和所属位置；音级集合理论则是从数学逻辑出发计算音程所含半音数的关系来构造音组和音组的排列顺序，以寻找各音组间的逻辑关系构成作曲技法和分析方法为目的。

2.汉森理论以乐音本身的属性为基点，注重音乐性和情感表达，他认为乐音本身都具有灵性，是音乐表达的基本内涵；音级集合理论在借助数学思维的情况下思考音乐问题，难免有“机械”之嫌。在将乐音换算为数字代码，再用数字计算后换算为乐音的创作过程中，整体音乐性会受影响，在具体应用中也为初学者提出了很大的难题。

3.汉森理论并不限制在调性或是无调性领域，但汉森非常注重调性在音乐中的地位，他认为“这一理论应该可以支撑最为集中透彻的音高材料研究，因为它是建立在调性思维的逻辑表达基础之上的”；音级集合理论则明确针对无调性音乐的创作和分析问题。

从分析来看，虽然音级集合源自或借鉴于汉森理论，但也只是将其中无调性部分（如果音乐可以分类为调性和无调性的话）借助数学知识进行整合，对调性领域的问题尚未涉及。也即是说，汉森理论中调性领域的问题并没有在音级集合理论中得到很好的开发、延伸或发展。

汉森理论具有非常实用的价值，为理解音高材料提供了一种新的途径和方法，这种方法也体现了身处20世纪中期的汉森对现代音乐观念的突破和超前意识，同时，也为作曲理论的进一步发展奠定了基础。

参考文献：

[1]邹建平.五位美国现代作曲家风格与技法简析[J].南京艺术学院学报（音乐与表演版），1993，（03）.

[2]Howrd Hanson.Haimonic Materials of Modern Music——Resources of the Tempered Scale[M].New York：Appleton Century Crofts Inc，1960.

[3]王丹.音高材料库——霍华德·汉森理论中的十二平均律资源[J].南京艺术学院学报（音乐与表演版），2013，（03）.

注释：

①见参考文献[2]，笔者将“harmonic materials”译为“音高材料”。

②如果将某音组的音按上行排列，两音之间的音程用所含有的半音数表示，即为音程列。

③连接六音组（connecting hexad），即任何包含一个特定的五音组并且包含于该五音组的映射七音组的六音组，见参考文献[2]的第269页。endprint