Banach格上O-Dunford-Pettis算子的共轭性质

韩霖, 陈滋利, 陈金喜

(西南交通大学数学学院, 四川 成都 610031)

Banach格上O-Dunford-Pettis算子的共轭性质

韩霖, 陈滋利, 陈金喜

(西南交通大学数学学院, 四川 成都 610031)

主要对Banach格上O-Dunford-Pettis算子的共轭性质进行了研究, 探讨如果一个算子为O-Dunford-Pettis算子,那么满足什么条件时它的共轭算子也为O-Dunford-Pettis算子, 以及当算子及其共轭算子都是O-Dunford-Pettis算子, 其空间具有什么性质.

Banach格; O-Dunford-Pettis算子; Dunford-Pettis集; 共轭算子

1 引言

设X是一个Banach空间,A⊂X , 若对共轭空间X′中的每个序列都有(x′n)在A上一致收敛于0, 即则称A是Dunford-Pettis集. 在文献[3]、[12]、[13]中对Dunford-Pettis集已进行了深入的研究, 并且B.Aqzzou[z3]最近提出了O-Dunford-Pettis算子的概念. 设E、F为Banach格, T:E→F为连续算子, 若T将E中的序区间映为F中的Dunford-Pettis集, 则称T为O-Dunford-Pettis算子.例如,Idc0是O-Dunford-Pettis算子.

由上面概念可以知道, 每个相对紧集是Dunford-Pettis集, 但Dunford-Pettis集不一定是相对紧集. 当E自反或者E是离散的KB空间时, Dunford-Pettis集和相对紧集是等价的. 因此可知, 紧算子是O-Dunford-Pettis算子,而O-Dunford-Pettis算子未必是紧算子.

对于相对弱紧集有Dunford-Pettis集一般不是相对弱紧集, 相对弱紧集也不是Dunford-Pettis集. 当E是共轭的KB空间时, 每个Dunford-Pettis集是相对弱紧集；如果E有Dunford-Pettis性则相对弱紧集是Dunford-Pettis集. 所以, 当E有Dunford-Pettis性, 序弱紧算子是O-Dunford-Pettis算子.

在Banach格中O-Dunford-Pettis算子不满足共轭性. 即存在O-Dunford-Pettis算子, 它的共轭算子不是O-Dunford-Pettis的. 例如Banach格ℓ1的单位算子Idℓ1:ℓ1→ℓ1是O-Dunford-Pettis的, 而对于它的共轭算子Idℓ∞:ℓ∞→ℓ∞不是O-Dunford-Pettis算子. 因此探讨在什么情况下O-Dunford-Pettis算子T的共轭算子T′也是O-Dunford-Pettis的是一个有趣的课题, 并且如果一个算子T和它的共轭算子T′都是O-Dunford-Pettis算子时,空间又有什么性质也是值得探讨的.

本文中所涉及的未经解释的Banach格以及算子理论中的一些概念、符号及术语详见本文文献[1][2].

2 主要结论

由文献[3]可知, Banach格上算子F E T→:是一个O-Dunford-Pettis算子当且仅当

回忆一下,E是一个Banach格, 对(x′n)⊂E′, 若则称E′有序列连续格运算；则称E′有弱*序列连续格运算；则称E′有弱序列连续格运算.

定理2.1E、F是Banach格,T:E →F 是正的线性算子, 如果满足下面条件之一, 则T是O-Dunford-Pettis算子.

(1)E′有弱序列连续格运算.

(2)F′有弱序列连续格运算.

(3)E′有弱*序列连续格运算.

(4)F′有弱*序列连续格运算.

(5)F′有Schur性质.

证明:

推论2.2E、F是Banach格, 如果下列条件之一成立, 则每个线性算子T:E →F 是O-Dunford-Pettis算子.

(1)E有AM紧性.

(2)F有AM紧性.

(3)E′是离散的.

(4)F′是离散的.

注:上述推论的条件不是必要的, 如取E=F=L1[0,1],T:L1[0,1]→L1[0,1]是O-Dunford-Pettis算子, 但E′=F′=L∞[0,1]不是离散的.

定理2.3E、F是Banach格, 若E或F有序连续范数且F有Dunford-Pettis性, 则每个线性算子T:E→F是O-Dunford-Pettis算子.

证明:若E有序连续范数, 则序区间[0,x]⊂E 是弱紧的,T[0,x]是弱紧的, 也是相对弱紧的, 又F有Dunford-Pettis性, 则T[0,x]是Dunford-Pettis集. 所以T是O-Dunford-Pettis算子. 同样, 若F有序连续范数, 则T[0,x]⊂F是相对弱紧的, 又F有Dunford-Pettis性, 则T[0,x]是Dunford-Pettis集. 所以T是O-Dunford-Pettis算子.

定理2.4设E、F是自反的Banach格, 正则线性算子T:E →F 是O-Dunford-Pettis算子⇔T′是O-Dunford-Pettis算子.

证明:因为T是O-Dunford-Pettis算子, 则对于x∈E+有T[0,x]是Dunford-Pettis集. 而F自反, 所以T[0,x]是F中的范数相对紧集, 则在|σ|(F,F′)中是相对紧的, 由定理1.3[9],T′[0,f]在|σ|(E′,E)中是相对紧的, 其中[0,f]⊂F′. 又因E自反,E′有序连续范数, 由定理1.4[9],|σ|(E′,E)和E′的范数拓扑在序有

界子集上相同, 所以,T′[0,f]在E′上是范数相对紧的, 所以T′[0,f]是Dunford-Pettis集. 因此,T′是O-Dunford-Pettis算子.

反过来, 因T′是O-Dunford-Pettis算子, 所以T′[0,f]是Dunford-Pettis集, 又由于E是自反的, 因此T′[0,f]是E′中的范数相对紧集, 则在|σ|(E′,E)中是相对紧的. 又因F是自反的, 所以T[0,x]在F上是范数相对紧的, 所以T[0,x]是Dunford-Pettis集, 因此T是O-Dunford-Pettis算子.

定理2.5E、F是Banach格,T:E →F 是正的O-Dunford-Pettis算子, 如果有下面条件之一成立, 则T′是O-Dunford-Pettis算子.

(1)E和E′有序连续范数且F是离散的KB空间.

(2)E有单位,E′有Dunford-Pettis性且F是共轭的KB空间.

(3)E自反且F是离散的KB空间.

证明:(1)因为E有序连续范数, 所以[0,x]⊂E 是相对弱紧的, 又T是O-Dunford-Pettis算子, 所以T[0,x]是Dunford-Pettis集. 又F是离散的KB空间, 所以T[0,x]是相对紧的, 所以T是Dunford-Pettis算子. 由定理2.8[10]可知,T是紧的, 所以T′是紧的, 因此T′是O-Dunford-Pettis的.

(2)因为E有单位且F是共轭的KB空间,T又是O-Dunford-Pettis算子, 所以T是弱紧的,T′也是弱紧的,又E′有Dunford-Pettis性, 所以T′是O-Dunford-Pettis的.

(3)由(1)中证明可知,T是Dunford-Pettis算子, 又因E自反, 所以E′有序连续范数, 则对任意ε＞0, 存在y∈F+, 使得

T(BE∩E+)⊂εBF+T[0,y]⊂εBF+[0,T(y)],

由F是离散的KB空间, 所以[0,T(y)]是紧的, 所以T是紧的,T′是紧的, 因此是O-Dunford-Pettis的.

定理2.6E、F是Banach格,T′:F′→E′是正的O-Dunford-Pettis算子, 如果有下列条件之一成立, 则T是O-Dunford-Pettis的.

(1)F′和F″有序连续范数且E′是离等散：的川西KB獐牙空菜间多.糖的提取及含量测定

(2)F′有单位,F有Dunford-Pettis性且E′是共轭的KB空间.

(3)F自反且E′是离散的KB空间.

证明:

(1)由F′有序连续范数, 可知[0,f]⊂F′是弱紧的,T′是O-Dunford-Pettis算子, 所以T′[0,f]是Dunford-Pettis集. 而E′是离散的KB空间, 可知T′[0,f]是紧的, 所以T′是Dunford-Pettis算子. 又F″有序连续范数, 所以T′是紧的, 所以T是紧的, 因此T是O-Dunford-Pettis算子.

(2)F′有单位且E′是共轭的KB空间, 又T′是O-Dunford-Pettis算子, 所以T′是弱紧的, 所以T是弱紧的,又因为F有Dunford-Pettis性, 因此T是O-Dunford-Pettis算子.

(3)因为F自反, 则F′有序连续范数, 又E′是离散的KB空间, 由(1)中证明可知,T′是Dunford-Pettis算子.又F′′有序连续范数, 则对任意ε＞0, 存在y′∈(F′)+, 使得

T′(BF′∩(F′)+)⊂εBE′+T′[0,y′],

又因T′是正的, 所以

T′(BF′∩(F′)+)⊂εBE′+[0,T′(y′)].

又E′是离散的且有序连续范数, 则[0,T′(y′)]是紧的, 所以T′是紧的,T是紧的, 因此T是O-Dunford-Pettis算子.

定理2.7E、F是两个Banach格, 如果对每个O-Dunford-Pettis算子T:E →F , 它的共轭算子T′:F′→E′是O-Dunford-Pettis的, 则E′有序连续范数或F′有序连续范数.

证明:假设E′和F′不具有序连续范数, 由文献[1]定理4.69,E(或F)包含一个与ℓ1同构的子格, 并且存在正投影P1:E→ℓ1(或P:F→ℓ1). 令i:ℓ1→E是ℓ1到E的典范映射；i2:ℓ1→F的典范映射.

考虑算子i2◦P1:E→ℓ1→F. 因i2◦P1=i2◦Idℓ1◦P1,Idℓ1是O-Dunford-Pettis算子, 所以i2◦P1是O-Dunford-Pettis算子, 而P1′◦i′2不是O-Dunford-Pettis的. 假若P1′◦i′2是O-Dunford-Pettis的, 则i1′◦P1′◦i2′:F′→ℓ∞是O-Dunford-Pettis的, 把它限制到ℓ∞上是Idℓ∞即ℓ∞的单位算子, 也是O-Dunford-Pettis的,显然不正确, 因此原命题成立.

定理2.8E、F是序-σ完备的Banach格, 如果T′:F′→E′是O-Dunford-Pettis算子,T:E →F 也是O-Dunford-Pettis的, 则E有序连续范数或F有序连续范数.

证明:假设E和F不具有序连续范数, 因E、F是序-σ完备的, 则由文献[1]定理4.51,E(或F)包含一个与ℓ∞同构的子格, 且存在正投影:P1:E→ℓ∞(或P2:F→ℓ∞). 令i:ℓ∞→F是ℓ∞到F的典范映射.

考虑算子T=i◦P1:E→ℓ∞→F. 因(ℓ∞)′的范数是序连续的, 并且它有Dunford-Pettis性, 所以可知Id(ℓ∞)′:(ℓ∞)′→(ℓ∞)′是O-Dunford-Pettis算子. 因此我们有

是O-Dunford-Pettis的. 但T=i ◦P1不是O-Dunford-Pettis的. 假若它是, 则P2◦i◦P1:E→ℓ∞也是O-Dunford-Pettis的, 它限制到ℓ∞上是ℓ∞的单位算子, 也是O-Dunford-Pettis的, 显然不对, 所以原命题成立.

推论2.9E是Banach格, 如果每个正的O-Dunford-Pettis算子T:E →E 的共轭算子T′:E′→E′是O-Dunford-Pettis算子, 则T2:E →E 是AM紧的. 若E有单位, 则T2是紧的.

证明:因为T和T′是O-Dunford-Pettis算子, 由定理2.9可知E′有序连续范数. 所以T′:E′→E′是弱紧的,所以T:E →E 是弱紧的. 又因T是O-Dunford-Pettis的, 所以对任意x∈E+, 有T([-x,x])是Dunford-Pettis集,而T又是弱紧的, 所以T2([-x,x])是范数相对紧的, 所以T2是AM紧的. 若E有单位, 则E中序区间为它的闭单位球, 所以T2是紧的.

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The duality properties of O-Dunford-Pettis operators on Banach lattices

HAN Lin, CHEN Zi-li, CHEN Jin-xi
(School of Mathematics, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, P.R.C.)

This paper mainly studies the duality properties of the O-Dunford-Pettis operators on Banach lattices. It proves how its dual operator is also O-Dunford-Pettis if an operator is O-Dunford-Pettis. Then it talks about the properties of the space if an operator and its dual operator are both O-Dunford-Pettis operators.

Banach lattice; Dunford-Pettis set; O-Dunford-Pettis operator; dual operator

O153.1

A

1003-4271(2014)01-0083-04

10.3969/j.issn.1003-4271.2014.01.17

2013-10-30

韩霖(1988-), 女, 硕士研究生, 研究方向为泛函分析; 陈滋利(1961-), 男, 教授, 博士生导师, 研究方向: 泛函分析, 线性算子理论; 陈金喜(1971-), 男, 副教授, 研究方向: 泛函分析，Banach格与正算子理论.