一道数学题引发的思考

王恒川

摘要：以学生巩固案中一道作业引起的思考为明线，分析学生的思维过程，反思作业错误生成的原因。经反思，我们发现有学生学习的思维品质和学习习惯的原因，也有教师课堂教学的原因。本文以几何语言的课堂学习为暗线，揭示几何语言在学习几何学中的重要地位，并介绍了笔者在课堂教学中的两点做法。

关键词：课堂教学；学生作业；几何语言

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）01-0079

作业是检验学生课堂学习效果的有效方式之一，同时学生作业中的得与失也能反映出教师的课堂教学效果。

一、案例呈现

笔者今年担任九年级数学的教学工作，九上第一章是图形与证明（二）。在第一节课后学生巩固案有一道题目：等腰三角形的一个内角为70°，求它一腰上的高与底边所夹的角的度数。学生的答案大致分为三类：第一类，能够根据题意准确画出图形，得到正确答案为35°、20°；第二类，只得到一个答案的35°或20°的；第三类，不会做，而且人数较多。为何有这么多学生出错或不会呢？通过了解得知，不会做的同学基本上是不能够根据题意准确画出图形，或者根本没想到先画图再进行解题，渴望通过观察、思考得到答案。

学生为何想不到通过画图，运用数形结合来解决问题呢？

二、问题思考

数形结合是初中数学中重要的数学思想方法之一，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”数形结合可以把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。此题学生如能准确出画图形，运用本节课知识很容易解决，为什么画图会成为学生学习的难点呢？

1. 从学生侧面来看

学生是学习的主体，学生对问题采取的态度与方法，与其学习的思维品质和学习习惯有关系。

（1）学生在学习过程中，自主探究积极主动，合作交流不足。对于案例中的问题，问题本身难度并不是太高，完全可以通过学生间的合作交流顺利解决。所以在课堂教学中，营造民主、科学的合作交流学习环境，不但可以提高学生的学习兴趣，而且能助于培养学生寻求解决问题的途径与方法，增强发现问题、分析问题、解决问题的能力。

（2）学生在解决问题过程中，善于专注思考，缺少动手操作。在谈话了解过程中得知，部分同学喜欢做带有图形的几何题，对于没有图形的几何题很少主动去画，奢望通过观察、思考来解决问题。也有部分同学想到借助几何图形来解决问题，但心有余而力不足不能准确把文字语言转化几何图形语言。学习好几何要掌握好三种语言之间的互化，即文字语言、几何语言与图形语言的互化。在解决问题时不仅要用脑积极思考，而且善于动手操作（如画图）、尝试（如试验）寻求更宽、更广的解决问题的途径。

2. 从教师侧面来看

从学生作业得到的反馈信息，可以作为教师课堂教学的一面镜子。有如此多的学生不能顺利解决此题，全是学生的问题吗？

（1）课堂教学放不开，学生学习主体不能得到充分体现。课堂是学生学习的主要阵地，教师是学生课堂学习的主导，但在实际教学中教师对学生的课堂学习仍不够放心，时常全全包办。包办的课堂教学束缚了学生手脚，学习和积极性、主动性与创造性不能得到有效的发挥。包办的课堂学生缺少了活动的机会，包办的课堂学生缺少了合作交流的可能，包办的课堂束缚了学生的学习思维，因为这样的课堂模仿多于创新。当学生遇到新的问题，运用模仿而获得的知识解决不了问题时，往往不会再想其他的办法。

（2）课堂教学束缚于学案，淡化学生能力培养。目前学案在许多学校广泛使用，学案特点之一是容量大，教师为了完成学案内容，不愿挤出更多的时间来对学生能力的培养。案例的背景是九年级图形与证明的第一课时，教学目标要让学生经历思考、猜想等数学活动，并能对操作活动的合理性进行证明，感受合情推理和演绎推理的重要性；培养学生灵活转换几何三种语言的能力。课堂教学中，淡化了该种能力的培养，所以在遇到案例中问题时，学生没有意识、没有能力想到把文字语言转化成几何语言来解题。

3. 从知识内容本身来看

笔者认为案例所带来最大思考是学生不擅长把文字语言转化为图形语言。等腰三角形的一个内角为70°，此处有悬疑，具体是哪个角为呢？要进行分类讨论，顶角可以为70°，底角也可以为70°。当顶角为70°或底角为时70°，图形该如何画呢？此时需要学生从原有的知识结构中，调用出几何图形的画法这部分知识。画图过程中，要关注题设中的两个关键词，“腰上的高”与“与底边的夹角”，只有准确理解这两个关键词，图形就不难得出了。分析学生不能画图原因有二：一是没有深刻理解题设的中关键词所代表的含义；二是缺少动手操作尝试的胆量与经验，所以不敢或不愿动手尝试。

其实几何语言间的转换教材中已有渗透，如教材后面的练习中有几道证明定理或结论的题目。如“证明：等边三角形的每个内角都等于60°”、“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”等。解决此类题目要把命题即文字语言运用几何语言表述出来，并准确画出图形，再进行证明。

几何语言在几何学学习中有着重要的地位，在教学中采用什么办法可以巩固、提高学生的几何语言应用能力呢？

三、尝试实践

几何语言的学习，教师示范作用是重要的，在例题的讲解、习题的思路分析过程中，教师都可以潜移默化地渗透几何语言的教学。为了有效地激发学生学习的积极性，提高学生对几何语言的关注程度，发挥其课堂学习的主体地位，笔者大胆采用“以兵教兵”的方法来巩固、提高几何语言的学习。

1. 改“讲题”为“说题”——运用几何语言“说思路”

笔者所在学校教学模式是以“建构式生态课堂”为指导，结合本校实际，新授课多以学生展示为主。展示方法大概是小组先抽签，再安排学生进行讲解所抽到的内容。学生讲解水平大都仍停留在“读答案”或“背答案”的层次上。为了促进对几何语言的学习，改“讲题”为“说题”，说一说自己做这一题的过程。

一说，遇到此题后是如何想的？

二说，遇到哪些困难？

三说，如何克服这些困难的？

四说，解决此题的关键是什么？

五说，解完此题有何收获（感受）？

这五个方面不必要面面具到，针对具体问题有选择地说其中几个方面。在说的过程中，会用到生活用语，题设中文字语言，几何语言和图形语言。每节课，每道题，每个展示的学生，每天都在重复如此的训练，首先从心理上和熟练程度上，学生都能运用的自如、洒脱，不会出现无话可说的现象。给出一个命题学生可以轻松地写出条件、结论，能准确在画出图形，并可以运用几何语言进行简单的分析与讲解。

2. 改“板书”为“思维导图”——运用框图“规范证明过程”

板书的主要作用示范，给学生直观、清晰的印象。几何题的证明与推理重在思路的探寻，为了增强学生证明、推理的方法，明析解题思路，把原来“板书”部分内容变为思维导图，借助思维框图规范证明过程。

如，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=DC。你能说明BE与DF相等吗？

分析：CE⊥AB，CF⊥AD

AC平分∠BAD

∠CFD=∠CEB=90°

BC=DC

思维导图特点：满足哪些条件，得到怎样的结论，证明思路清晰；思维导图使用方法：学生对照导图，运用几何语言表述证明过程。在导图的指引下学生的叙述更具有条理性，证明过程更加规范、简明。

从学生的“说题”到“思维导图”的使用，都是以学生的展示为主体，教师进行必要的指点，这种“以兵教兵”的方法大大提高学生活动的积极性，活跃课堂氛围，有效培养学生几何语言的应用能力。

总之，数学作业是课堂学习的延续，是学生独立完成学习任务的活动形式。细心观察、谨慎分析学生作业的反馈信息，可以得到许多有用信息，这些信息不仅可以检测学生的学习效果，而且有利于教师及时反思课堂教学。

参考文献：

[1] 罗增儒.中学数学解题的理论与实践[M].南宁：广西教育出版社，2008.

[2] 李淑文.中学数学教学概论[M]北京.中央广播电视大学出版社，2008.

（作者单位：江苏省连云港市东海外国语学校 222300）