关于丢番图方程x(x+1)(x+2)=2pkyn的解

郑惠(阿坝师范专科学校数学系, 四川 汶川 623000)

关于丢番图方程x(x+1)(x+2)=2pkyn的解

郑惠
(阿坝师范专科学校数学系, 四川 汶川 623000)

设p是奇素数, 利用初等方法证明了: 当k≥2, n>2, 且都是整数, 则丢番图方程x(x+1)(x+2)=2pKyn没有正整数解(p, x, y).

丢番图方程; Lucas问题; 正整数解.

1 引言

早在1875年, 数学家Lucas[1]就猜想丢番图方程

仅有正整数解(x, y)=(1, 1), (24, 70). 直到1971年, 才由Ljunggren[2]利用四次域理论给出了肯定的回答. 随后, Watson[3]、马德刚[4]、徐肇玉, 曹珍富[5]分别给出了不同的独立证明. 1996年, 曹珍富[6]证明了更一般方程在时仅有正整数解(p, x, y)=(3, 1, 1)和(7, 7, 6). 再后来王云葵[8]、崔保军[10]等对(1)的推广形式进行了研究.

最近, 文献[7]研究了: 当p是奇素数, n是大于2的整数, 方程

仅有正整数解(p, x, y)=(3, 1, 1).

本文研究方程(1)的推广形式

利用不定方程的一般结论, 证明了方程(3)没有正整数解.

2 一些引理

引理1[7]设是n大于2的整数, 则方程?没有正整数解(x, y).

引理2[7]设是n大于2的整数, 则方程xn-2yn=-1仅有正整数解(x, y)=(1, 1).

引理3[9]设是n大于1的整数, 则方程

仅有正整数解(x, y, n)=(3, 2, 3).

引理4[6]设是n大于2的整数, 则方程没有正整数解(x, y).

3 定理及证明

[1] LUCAS E. Problem 1180[J]. Nouv Ann Math, 1875, 14:336

[2] LJUNGGREN W. A diophantine problem[J]. London Math Soc, 1971, 3:385-391.

[3] WASTON C N. The problem of the square pyramid[J]. Messenger of Math, 1981, 48:1-22.

[4] 马德刚. 方程6y2=x(x+1)(2x+1)的解的初等证明[J]. 四川大学学报: 自然科学版, 1985(4): 107-116.

[5] 徐肇玉, 曹珍富. 关于Mordell的一个问题[J]. 科学通报,1985, 30(7): 558-559.

[6] 曹珍富. 数论中的问题与结果[M]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社, 1996: 124-125.

[7] 管训贵. 关于丢番图方程x(x+1)(x+2)=2pyn[J]. 湖北民族学院学报: 自然科学版, 2012(4): 404-408.

[8] 王云葵. 关于丢番图方程x(x+1)(2x+1)=2pyn[J]. 吉首大学学报: 自然科学版, 2008, 29(2):18-19.

[9] 柯召. 关于方程x2=yn+1, xy≠0 [J]. 四川大学学报: 自然科学版, 1962, 14: 457-460.

[10] 崔保军. 关于方程x(x+1)(x+2)=2py3[J]. 高师理科学刊, 2011, 31(2): 25-26.

On the Diophantine equation x(x+1)(x+2)=2pkyn

ZHENG Hui
(Department of Mathematics, A’Ba Teacher’s College, Wenchuan 623000, P.R.C.)

Let p be odd prime. This paper uses the elementary method to study the problem that if k ≥2, n>2 are integers, Diophantine equation x(x+1)(x+2)=2pKynhas no positive integer solution .

Diophantine equation; Lucas’s problem; positive integer solution

O156.7

: A

: 1003-4271(2014)03-0399-03

10.3969/j.issn.1003-4271.2014.03.13

2014-01-07

郑惠(1977 -), 女, 四川南充人, 副教授, 研究方向: 数论以及几何研究.基金项目: 阿坝师专校级科研基金资助项目.