绕来绕去的向量

王芳

数学与物理的密切关系在“向量”中体现得淋漓尽致：力、位移与速度为抽象的向量概念提供了原型，促成了向量加减法的运算规则；向量数量积的物理意义即力使物体产生位移所做的功.脱去实际情景的外壳，向量们“美丽的身姿”能够搭建成变化多端的几何图形，演绎出一片几何研究的新天地.

“精钢可化绕指柔”

运算和运算律是向量的灵魂.

纵览人教版数学教材必修④《平面向量》一章，向量运算的学习会经历两个阶段——线性运算和坐标运算.其中线性运算需要对图形进行分析和处理，具有浓郁的几何色彩，和坐标运算相比，思维要求更高.

我们知道，一个确定的向量必然有确定的方向和长度，所以向量可以用有向线段来表示.但因为向量可以平移，因此始点与终点的位置是不确定的，这给了向量无限的自由，却又让它们变得难以控制.怎样才能两者兼顾呢？

让我们重新回顾向量的运算法则.如图1所示，向量加法的平行四边形法则与三角形法则分别源自力的合成与位移的合成；向量的减法来自相反向量的引入；向量的数乘又是类比数量的运算得到的，这样就建立了一套以向量加法为基础的向量运算系统.

虽然平行四边形法则与三角形法则脱胎于不同的物理背景，但观察图2与图3可知，这两个法则的数学本质是一致的.由于=，所以图3其实是图2的局部，但更加简洁：把向量b的始点置于向量a的终点A处，使之首尾相连，那么a+b就是以向量a的始点为始点、向量b的终点为终点的向量.

这种做法具有明显的优势：

一是操作简单，易于理解.

例如求a1+a2+…+an，只需把a2的始点置于a1的终点A1处，a3的始点置于a2的终点A2处……，an的始点置于an-1的终点An-1处，那么以向量a1的始点为始点、向量an的终点为终点的向量即为所求，如图4所示.求a1+a2+…+an的过程不就是一条O→A1→A2→…→An的行走路线吗？只需把要相加的各个向量依次首尾相连，则各个向量之和就是从最初始点到最后终点的一次位移.

同理，遇到向量的减法也不必畏惧，只需通过相反向量把减法转化成加法，例如把a-b看作a+（-b），依照刚才的规则操作即可.

二是多条路线，殊途同归.

我们再次观察图4和式子++…+=，两个向量间的连接点A1，A2，…，An-1都消失了，只留下了起点O与终点An.这说明除了这两个点外，其他点的位置、数量无论如何变化，对的结果都不会产生任何影响.

因此，我们自然也可以在点O与An之间插入其他的点，比如如图5所示，插入点M，N，可以把拆分为++.这说明我们不必拘泥于既定的路线O→A1→A2→…→An，换作另一条行走路线O→M→N→An也能到达“幸福的彼岸”，而途经的各个向量的方向居然可以完全不同，并且这样的路线有无数条！

换言之，尽管不能改变向量，但可以借助三角形法则把它分解为若干个其他向量，使之依照我们的意愿进行拐弯、迂回、环绕！

“丛林中的弯道超越”

在实际中，我们所面对的几何图形，其间线段何止数条！赋予这些线段方向，几何图形就变成了一个由众多向量编织而成的“向量丛林”.“拐弯”向量真的可以在这片丛林中开辟出一条顺畅之道吗？

例1 在边长为1的正三角形ABC中，=，E是CA的中点，求·的值.

思路1： 如果直接套用数量积公式·=··cosα，虽然两个向量，的模可以通过余弦定理求出，它们的夹角α却不易求得.

思路2： 能否利用已知条件“正三角形内角为60°”呢？那就必须使，这两个向量“拐弯”到三角形的外围.

根据上文得出的结论，结合正三角形考虑，要获得可通过下面两条线路（见图6）：

线路①： C→B→D，即=+；

线路②： C→A→D，即=+.同样，获得的线路也有两条，如图7所示.

线路③： B→C→E，即=+；

线路④： B→A→E，即=+；

观察图6与图7，我们发现线路①③分别途经点B，C，而②④都途经点A，因此选择有重合之处的线路②④：·=（+）·（+）=+·+=·-（）2-（）2+·=-.

思路2使原本受困在三角形内部的向量沿着图形的外围“拐弯”，虽然多了几个迂回，却摆脱了求与的模和所夹角的羁绊，成功实现了“弯道超越”.

这些“弯道”具有如下共性：

（1） 因为分解向量时依据了向量加法的三角形法则，故每个“弯道”都依附于某个三角形.例如线路①依附于△CBD，线路②依附于△CAD.

（2） 每个三角形中的两个顶点为被分解向量的始点和终点，第三个顶点则可以随意选取，这第三个顶点决定了“弯道”的线路.比如，对于，在平面ABC内任取一点P，同样可得=+.

（3） 合理的线路可以简化解题过程.例如，线路②④都途经点A，就可以利用∠A=60°.如果选择线路①与③：·=（+）·（+）=-（）2+·+·+·，则必将涉及∠B，∠C和与所成的角，解题会麻烦得多.

解题中的运用

那该如何制订和选择恰当的路线呢？

例2 如图8所示，在△ABC中，AD⊥AB，=，=1，则·= .

解析： 观察向量与，因为=1，不妨保留. 让“绕弯”的线路有两条：

线路①： 利用△ADC得A→D→C，即=+，此时·=2-·.要求出与∠ADC仍然比较麻烦.

线路②： 利用△ABC得A→B→C，即=+，这时·=·+·.由AB⊥AD可得·=0，至此，只需求出·.

因为=1，不妨保留.考虑到=，而可以利用△ABD沿线路③： B→A→D“绕弯”，故==（+）.则·=（·+2）.因为·=0，且=1，故·=.

所以·=.

由例1、例2可知，设计和选择线路的重要标准是最大化地利用向量所在图形的几何特性.通常要关注：

（1） 特殊的图形，尤其是特殊的三角形.如例1中的正三角形ABC、例2中的直角三角形ABD，让线路尽可能依附在这些特殊图形上.

（2） 已知条件密集的线段或已知的角.如例2中的线段AD、例1中的∠A，让路线尽量多地经过这些线段或角.

（3） 特殊的位置关系，尤其要优先考虑垂直关系，如例2通过线路①、线路②两次利用了条件AD⊥AB. 反观例1，若注意到BE⊥AC，就能找到更快的解法：保留，只让“绕弯”：·=（+）·=0+·=·，而·=-··cos∠ABC=-，故·=-.

这些特殊的图形和线段其实就是“主干道”.利用“主干道”设计的路线，即便多走几个回路也无大碍.例2中的线路①貌似快捷，实则隐含着求解的困难.线路②虽然拉长了解题过程，却大大降低了烦琐的程度.

让向量“绕弯”，其实就是以“长度”为代价，换取向量在“方向”上妥协的一种智慧.真可谓：

向量绕弯生奇效，

弯道超越靠三角；

一量分成若干和，

来去瞄准主干道.

设计和选择路线的重要标准是最大化地利用向量所在图形的几何特性.通常要关注：

（1）特殊的图形，尤其是特殊的三角形.让线路尽可能依附在这些特殊图形上；

（2）已知条件密集的线段或已知的角，让路线尽量多地经过这些线段或角；

（3）特殊的位置关系，尤其要优先考虑垂直关系.

【练一练】

1. 已知P为锐角三角形ABC的边AB上一点，A=60°，AB=5，AC=4，则+3的最小值为 .

2. 如图9所示，在等腰直角三角形OAB中，=a，=b，且OA=OB=1.设点C为线段AB上靠近A的四等分点，过C作AB的垂线l，点P在垂线l上.记=p，则p·（a-b）的值是 .

（A） -

（B）

（C）

（D） 与点P的位置有关

【参考答案】

1. 6 【提示： 如图10所示，设AP长度为x（0≤x≤5），让沿P→A→C绕弯，则+3=+3（+）=4+3=，当且仅当x=时有最小值】

2. B 【提示： 如图11所示，取AB的中点D，让沿路线O→D→C→P绕弯，则p·（a-b）=（++）·=·=】

所以·=.

由例1、例2可知，设计和选择线路的重要标准是最大化地利用向量所在图形的几何特性.通常要关注：

（1） 特殊的图形，尤其是特殊的三角形.如例1中的正三角形ABC、例2中的直角三角形ABD，让线路尽可能依附在这些特殊图形上.

（2） 已知条件密集的线段或已知的角.如例2中的线段AD、例1中的∠A，让路线尽量多地经过这些线段或角.

（3） 特殊的位置关系，尤其要优先考虑垂直关系，如例2通过线路①、线路②两次利用了条件AD⊥AB. 反观例1，若注意到BE⊥AC，就能找到更快的解法：保留，只让“绕弯”：·=（+）·=0+·=·，而·=-··cos∠ABC=-，故·=-.

这些特殊的图形和线段其实就是“主干道”.利用“主干道”设计的路线，即便多走几个回路也无大碍.例2中的线路①貌似快捷，实则隐含着求解的困难.线路②虽然拉长了解题过程，却大大降低了烦琐的程度.

让向量“绕弯”，其实就是以“长度”为代价，换取向量在“方向”上妥协的一种智慧.真可谓：

向量绕弯生奇效，

弯道超越靠三角；

一量分成若干和，

来去瞄准主干道.

设计和选择路线的重要标准是最大化地利用向量所在图形的几何特性.通常要关注：

（1）特殊的图形，尤其是特殊的三角形.让线路尽可能依附在这些特殊图形上；

（2）已知条件密集的线段或已知的角，让路线尽量多地经过这些线段或角；

（3）特殊的位置关系，尤其要优先考虑垂直关系.

【练一练】

1. 已知P为锐角三角形ABC的边AB上一点，A=60°，AB=5，AC=4，则+3的最小值为 .

2. 如图9所示，在等腰直角三角形OAB中，=a，=b，且OA=OB=1.设点C为线段AB上靠近A的四等分点，过C作AB的垂线l，点P在垂线l上.记=p，则p·（a-b）的值是 .

（A） -

（B）

（C）

（D） 与点P的位置有关

【参考答案】

1. 6 【提示： 如图10所示，设AP长度为x（0≤x≤5），让沿P→A→C绕弯，则+3=+3（+）=4+3=，当且仅当x=时有最小值】

2. B 【提示： 如图11所示，取AB的中点D，让沿路线O→D→C→P绕弯，则p·（a-b）=（++）·=·=】

所以·=.

由例1、例2可知，设计和选择线路的重要标准是最大化地利用向量所在图形的几何特性.通常要关注：

（1） 特殊的图形，尤其是特殊的三角形.如例1中的正三角形ABC、例2中的直角三角形ABD，让线路尽可能依附在这些特殊图形上.

（2） 已知条件密集的线段或已知的角.如例2中的线段AD、例1中的∠A，让路线尽量多地经过这些线段或角.

（3） 特殊的位置关系，尤其要优先考虑垂直关系，如例2通过线路①、线路②两次利用了条件AD⊥AB. 反观例1，若注意到BE⊥AC，就能找到更快的解法：保留，只让“绕弯”：·=（+）·=0+·=·，而·=-··cos∠ABC=-，故·=-.

这些特殊的图形和线段其实就是“主干道”.利用“主干道”设计的路线，即便多走几个回路也无大碍.例2中的线路①貌似快捷，实则隐含着求解的困难.线路②虽然拉长了解题过程，却大大降低了烦琐的程度.

让向量“绕弯”，其实就是以“长度”为代价，换取向量在“方向”上妥协的一种智慧.真可谓：

向量绕弯生奇效，

弯道超越靠三角；

一量分成若干和，

来去瞄准主干道.

设计和选择路线的重要标准是最大化地利用向量所在图形的几何特性.通常要关注：

（1）特殊的图形，尤其是特殊的三角形.让线路尽可能依附在这些特殊图形上；

（2）已知条件密集的线段或已知的角，让路线尽量多地经过这些线段或角；

（3）特殊的位置关系，尤其要优先考虑垂直关系.

【练一练】

1. 已知P为锐角三角形ABC的边AB上一点，A=60°，AB=5，AC=4，则+3的最小值为 .

2. 如图9所示，在等腰直角三角形OAB中，=a，=b，且OA=OB=1.设点C为线段AB上靠近A的四等分点，过C作AB的垂线l，点P在垂线l上.记=p，则p·（a-b）的值是 .

（A） -

（B）

（C）

（D） 与点P的位置有关

【参考答案】

1. 6 【提示： 如图10所示，设AP长度为x（0≤x≤5），让沿P→A→C绕弯，则+3=+3（+）=4+3=，当且仅当x=时有最小值】

2. B 【提示： 如图11所示，取AB的中点D，让沿路线O→D→C→P绕弯，则p·（a-b）=（++）·=·=】