洛伦兹变换物理模型的建立与光传播路径及超光速探讨

李嘉，李琳，张勇军，李钦豪，明宗峰

（1.华南理工大学学报编辑部；2.华南理工大学轻工与食品学院；3.华南理工大学电力学院；4.华南理工大学数学学院，广东广州510640）

洛伦兹变换物理模型的建立与光传播路径及超光速探讨

李嘉1，李琳2，张勇军3，李钦豪3，明宗峰4

（1.华南理工大学学报编辑部；2.华南理工大学轻工与食品学院；3.华南理工大学电力学院；4.华南理工大学数学学院，广东广州510640）

对体现“真空中光沿各个方向传播的速率都等同于一个常量c”的洛伦兹变换公式，通过球面参数方程并与阿基米德螺线旋转面方程比对，分析了洛伦兹变换公式所表达的实质物理模型与物理意义，得出如下结论：（1）当参数方程角度参数与角速度和时间无关时，洛伦兹变换物理模型表现为从原点出发沿x,y,z轴的射线，xz平面内或过y轴并与x轴成一夹角的圆的横向均匀扩散，圆锥面扩散，球面扩散几种型式；当参数方程角度参数与角速度和时间相关时，洛伦兹变换物理模型表现为圆锥螺线，阿基米德螺线面和阿基米德螺线旋转面形式；（2）洛伦兹变换方程本身隐含“时空弯曲”，由洛伦兹变换参数方程物理模型得出光是线、面、体扩散传播和平面、立体螺线传播；（3）理论上能找到超光速运动的粒子.

洛伦兹变换；物理模型；阿基米德螺线；光的传播路径；超光速

爱因斯坦广义相对论基于狭义相对论［1-2］，运用高斯四维坐标，将时间作为一个维度，并结合牛顿定律提出来的理论，是牛顿引力定律的相对论推广.1905年，爱因斯坦提出两条基本假设，并在此基础上建立狭义相对论.爱因斯坦两条基本假设为：（1）狭义相对论的相对性原理，即在所有惯性系中物理定律及其数学表达式都应相同；（2）光速不变原理，即所有惯性系中，真空中光沿各个方向传播的速率都等同于一个常量c，与光源和观察者的运动状态无关［3］.

爱因斯坦根据相对性原理和光速不变原理得到了能同时满足这两条准则的变换，一般称为洛伦兹变换.狭义相对论假设“真空中光沿各个方向传播的速率都等同于一个常量c”和洛伦兹变换已被写入教科书［3］，不过目前没有见到洛伦兹变换物理模型的报道.

笔者对相对论假设之洛伦兹变换推导公式，列出球面参数方程，分析了洛伦兹变换公式所表达的本质物理模型与物理意义，按不同角度参数，得出10种物理模型并以图示说明洛伦兹变换公式隐涵表达了“时空弯曲”和光的7种传播路径型态，通过对运动方程求导，得出理论上粒子能以超光速运动的结论.

1 洛伦兹变换物理模型的建立

1.1 洛伦兹变换的简单推导

洛伦兹变换的简单推导众所周知，参照文献［2］首先考察位于x轴上的事件.这样一个事件相对于坐标系K由横坐标x和时间t给出，相对于坐标系K′则由横坐标x′和时间t′给出.

沿正x轴前进的一个光信号的传播遵循方程

由于同一光信号相对于K′以速度c传播，因此相对于K′的传播将由类似的公式

来描述.满足（1）的那些空时点（事件）必须也满足（2）.这显然是成立的，只要关系

被满足，其中λ是一个常数；因为根据（3），x-ct等于零时，x′-ct′必然也为零.

在文献［2］中，将方程（3）和（4）相加和相减，经过一系列推导，得到对于x轴上事件的洛伦兹变换，

它满足条件

或者两边取平方，遵循方程

光的传播定律结合相对性公设要求，信号传播（从K′判断）应遵循相应的公式r′=ct′或

为使方程（9）能由方程（8）推出，必须有

由于方程（6）对于x轴上的点必须成立，因此必须有σ=1.不难看出，对于σ=1，洛伦兹变换确定满足（10）；因为（10）可由（6）和（7）推出，因此也可由（5）和（7）推出.这样就导出了洛伦兹变换.

由（5）和（7）表示的洛伦兹变换还需要加以推广.是否要把K′的轴选得与K的轴在空间中平行显然是无关紧要的.K′相对于K的平移速度是否沿x轴方向也是无关紧要的.我们可以用数学方向对这种推广的洛伦兹变换作以下描述：

并被恒等地满足.

1.2 洛伦兹变换参数方程

建立如图1所示坐标系.

为把这个结果推广到x轴之外发生的事件，只要补充关系式

这样一来，无论对于坐标系K还是坐标系K′，我们都满足了任意方向的光线在真空中速度恒定的公设.这一点可以证明如下.

设时间t=0，从坐标系K的原点发出一个光信号.其传播遵循方程

根据洛伦兹变换公式(8)和式(9),建立球面参数方程如下：

式中，a为坐标系K中点（x,y,z）在xy平面投影与y轴的夹角，b为点（x,y,z）在xz平面投影与x轴的夹角；a′、b′在坐标系K′内，意义类推.

显而易见，公式（12），（13）满足公式(8)和式(9).

1.3 阿基米德螺线旋转面的构建

以x轴为水平坐标轴，以xy平面为水平面，以z轴为纵轴建立坐标系.先构建xz平面的阿基米德螺线（14），图线如图2所示.

图1 洛伦兹变换参数方程坐标系K

图2 方程（14）的阿基米德螺线图

由式（14）可知，

将图线（15）绕x轴旋转，即得到阿基米德螺线旋转面为

式中，12π/180表示旋转线速度.

1.4 洛伦兹变换物理模型与阿基米德螺线旋转面比对及讨论

比对公式(8)，(12)和(16)可知，式(12)为式(8)的参数方程.式(8)与式(16)的区别在于线速度不同，将式(16)中的换为c,即可得到洛伦兹变换式.因此当参数角度与时间、与角速度相关时，洛伦兹变换物理模型可以是阿基米德螺线旋转面.下面分几种情况讨论洛伦兹变换物理模型.

1.4.1 角度参数a,b与角速度和时间无关

（1）当a=k1π(k1=0,1,2,…)时.

模型1：当a=k1π(k1=0,1,2,…)时，sin a=0,cos a=±1,此时，式（12）变为

物理模型为y轴上随时间匀速运动的一条射线，如图3(a)所示.

图3 角度参数a,b与角速度和时间无关时的洛伦兹变换物理模型

（2）当a=π/2+k1π(k1=0,1,2,…)时，sin a=±1,cos a=0,此时，式（12）变为

模型2：当a=π/2+k1π(k1=0,1,2,…)，b=k2π(k2=0,1,2,…)时，式（18）变为

物理模型为x轴上随时间匀速运动的一条射线.

模型3：当a=π/2+k1π(k1=0,1,2,…)，b=π/2+k2π(k2=0,1,2,…)时，式（18）变为

物理模型为z轴上随时间匀速运动的一条射线.

模型4：若a=π/2+k1π(k1=0,1,2,…)，b≠π/2+k2π，k2π，模型（18）为一个以原心为起点，向四周均匀扩散的圆平面，如图3(b)所示.物理模型为向四周均匀扩散的圆平面.

（3）当a为常数，且a≠π/2+k1π，k1π.

模型5：当a为常数，且a≠π/2+k1π，k1π，式（12）表示从原点开始，沿y轴均匀扩散的圆锥面，如图3(c)所示.物理模型为向四周均匀扩散的圆锥面.

（4）当b为常数.

模型6：当b为常数时，物理模型表示含极径的平面均匀扩散，式（12）表示的物理模型如图3(d)所示.过y轴并与x轴成一夹角b角的圆平面.

（5）当a≠π/2+k1π，k1π，b≠π/2+k2π，k2π，a、b均不为常数时.

模型7：若a≠π/2+k1π，k1π，b≠π/2+k2π，k2π，a、b均不为常数时，式（12）表示的物理模型是从圆心向四周均匀扩散的球面.如图3(e)所示.

1.4.2 角度参数a,b与角速度和时间相关

(1)当a=ω1t,b=ω2t时.

模型8：当a=ω1t,b=ω2t时，式（12）变为

图4 式（16）阿基米德螺线旋转面(t=［0,60］)

(2)当a与ω、t无关时,b=ω2t时.

模型9：当a与ω、t无关时,b=ω2t时，式（12）变为

图5 阿基米德螺线沿圆锥面旋转的圆锥螺线(t=［0,60］)

(3)当a=ω1t,b与ω、t无关时.

模型10：当a=ω1t,b与ω、t无关时,式（12）变为

物理模型为过y轴并与x轴成一夹角b角的阿基米德螺线面.将c换成设ω1=2π,b=π/6,阿基米德螺线面三维计算机模拟图如图6所示.

图6 与x轴成一夹角b角的阿基米德螺线面(t=［0,60］)

综上所述，当角度参数变化时，洛伦兹变换物理模型能呈现10种形态.由于洛伦兹变换式（8）基于“真空中光沿各个方向传播的速率都等同于一个常量c”的假设.由此，洛伦兹变换物理模型实际体现的是10种光的传播路径.按形状分，光的传播路径可以归纳为射线型、圆平面横向扩散圆型、圆平面纵向扩散圆锥型、扩散球型、圆锥螺线型、阿基米德螺线面型和阿基米德螺线旋转面型7种.

2 光的传播路径新探讨

2.1 洛伦兹变换方程本身隐含“时空弯曲”

洛伦兹变换首先从x=ct出发进行推导，扩展到三维直角坐标x2+y2+z2=c2t2，而由第1.4.1节的分析可知，x=ct是洛伦兹变换物理模型y=0,z=0时的特例，而x2+y2+z2=c2t2实际上表现的是光线与时空相关的立体曲线传播.

2.2基本假设与光的传播路径多样性

由第1节的分析可知，由体现基本假设的洛伦兹变换参数方程物理模型得出光是线、面、体扩散传播和平面、立体螺线传播.

3 理论上粒子的超光速运动探讨

当角度参数a,b与ω，t无关时，将式（12）对t求导，经计算得到粒子按模型1-7运动时的速度v1-v7，

当角度参数a,b与ω，t有关时，将式（12）对t求导，并对式（21）、（22）、（23）3式分别取特殊参数①ω1=ω2=2π，②a=π/6,ω2=2π，③ω1=2π,b=π/6(特殊参数与图4,5,6取值对应)，得到粒子按模型8,9,10运动时的特殊速度：

因此，从理论上能找到超光速运动的粒子.

4 结论

笔者对体现真空中光沿各个方向传播的速率都等同于一个常量c的洛伦兹变换公式，列出球面参数方程，并与阿基米德螺线旋转面方程比对，分析了洛伦兹变换公式所表达的实质物理模型与物理意义，得出如下结论：（1）当参数方程角度参数与角速度和时间无关时，洛伦兹变换物理模型表现为从原点出发沿x,y,z轴的射线，xz平面内或过y轴并与x轴成一夹角的圆的横向均匀扩散，圆锥面扩散，球面扩散几种型式；当参数方程角度参数与角速度和时间相关时，洛伦兹变换物理模型表现为圆锥螺线，阿基米德螺线面和阿基米德螺线旋转面型式；（2）洛伦兹变换方程本身隐含“时空弯曲”，由洛伦兹变换参数方程物理模型得出光是线、面、体扩散传播和平面、立体螺线传播；（3）理论上能找到超光速运动的粒子.

致谢：感谢华南理工大学物理系文德华教授参与讨论.

［1］阿尔伯特.爱因斯坦.相对论［M］.南京：江苏人民出版社，2013.

［2］阿尔伯特.爱因斯坦.狭义与广义相对论浅说［M］.北京：商务印书馆，2013.

［3］万雄，余达祥.大学物理：上册［M］.北京：科学出版社，2012.

On the establishment of Lorentz transformation model and the light propagation path and superluminal

LI Jia1，LI Lin2，ZHANG Yong-jun3，Li Qing-hao3，Ming Zong-feng4
（1.Editorial Department,Journal of South China University of Technology,2.School of Light Zndustry and Food Sciences,South China University of Teehnology;3.School of Electricity,South China University of Technology;4.Department of Mathematics,South China University of Technology, Guangzhou 510640,Guangdong,China)

The thesis will explain Lorentz transformation formula that the speed of light in all directions equals to a constant c in vacuum,display spherical parameter equation and contrast it with Archimedean spiral equation of surface of revolution,and then analyze the essential physical model and physical significance in Lorentz transformation equation.The main findings are as follows:a)when the angle parameter of parametric equation has no concern with angular speed and time,Lorentz transformation model manifests itself as half-line which starts from the origin and is along x,y,z axis,or other types like transverse homogeneous diffusion of a circle,which are in xz plane,or across y axis and makes an angle with x axis，diffusion of a circular conical surface and a spherical surface;and when the angle parameter of parametric equation is concerned with angular speed and time,Lorentz transformation model manifests itself as circular conical spiral，Archimedean spiral plane and Archimedean revolution surface;b)Lorentz transformation equation implies“curved space-time”, thus the parametric equation model results in that light is linear,plane,stereo and spiral spread;c)We can find superluminal movement of the particles.

Lorentz transformation;physical model;Archimedean spiral;light propagation path;superluminal

O412.1;O431

：A

：1007-5348（2014）10-0023-06

（责任编辑：李婉）

2014-05-21

李嘉（1974-），女，湖北荆州人，华南理工大学学报编辑部副编审，主要从事物理学和编辑学研究.