DLA模型及其在模拟植物生长中的应用

马林涛，陈德勇

（1.广西师范大学数学与统计学院，广西桂林 541004;2.桂林市计量测试研究所，广西桂林 541004）

DLA模型及其在模拟植物生长中的应用

马林涛1，陈德勇2

（1.广西师范大学数学与统计学院，广西桂林 541004;2.桂林市计量测试研究所，广西桂林 541004）

主要用迭代法产生并绘制最具代表性的分形结构——扩散限制凝聚模型，模拟植物的生长，动态观察粒子生长的过程，并借助数学建模中解曲线拟合问题的思想方法，最终建立了2个比较合理的模拟植物生长的三次多项式模型与指数函数模型，较好地预测植物的生长趋势，实现对植物生长的实时监控和估测。

DLA模型;三次多项式模型;指数函数模型

1 DLA模型简介

DLA（Diffusion Limited Aggregation）模型能够产生复杂的具有随机分形〔1〕结构的图形。主要用它来模拟自然界中的随机生长现象。植物生长的模拟是分形〔2〕的一个新兴的、热门的研究领域。

2 DLA模型生长的数学原理

DLA模型均匀随机释放游动的粒子与凝聚体碰撞并粘贴在其上形成分形图形〔3〕的过程都遵循可动边界的拉普拉斯方程〔1〕。

3 DLA模型的分形演化过程

（2）从方格区域内随机释放粒子，并且每次只释放一个粒子，该粒子以类布朗运动的方式在平面区域上游动。

（3）判断每一时刻运动粒子左、上、右、下这4个位置与随机粒子相邻的凝聚体粒子，若不存在粒子，则运动粒子将会继续运动下去，直至在方格区域的边界上消失;若存在粒子，则运动粒子将会停止运动，并将该粒子用凝聚体的颜色在方格上描绘出来，与原来的凝聚体形成新的凝聚体，且返回步骤（2）。

4 DLA模型模拟植物生长过程，并生成分形图形

下面我们用Matlab程序绘出DLA模型〔4-5〕，取粒子数为600，100，3 000，分别得到相应的粒子成长过程分形图形，见图1～3。

图1 600个粒子生长的过程

图2 1 800个粒子生长的过程

图3 3 000个粒子生长的过程

5 DLA模型模拟植物生长过程的数据处理及建立数学模型

根据以上图1至图3中粒子数目及植物生长需要的时间（由计算机根据程序命令执行计算），再多取一些粒子数，得到如表1中的统计数据。

表1 粒子数目及植物生长需要的时间

根据上述表格中的数据，建立数组，

χ=[200,300,800,900,1400,1500,……,1300,1800,1900,2400,2500,3000]；

y=[10.3,21.4,75.5,90.8,200.2,……,146.3,289,377.2,591.7,812.3,1455.7]；以粒子生长的数目为横坐标，植物生长所用的时间为纵坐标，利用Matlab软件〔6-7〕绘制图形的功能，将随着粒子的不断生长，DLA模型中植物生长所用的时间的变化情况绘制出来。运行结果如图4所示。

图4 植物生长时间变化的情况

从图4植物生长时间变化情况中，可以看出来，它大致服从二次函数或三次多项式函数或指数函数增长的规律：当给定粒子总数，让粒子等概率随机地生长时，粒子数目在[2 00，2000]范围内植物生长所需要的时间是随着粒子数目的增加而较小幅度地增加；粒子数目在[2 000，3000]范围内植物生长所需要的时间是随着粒子数目的增加而较大幅度地增加，最后植物将以很缓慢的速度生长，并且速度会趋于平稳，这与生物学中种群在一个适宜环境中生长的“S”型曲线的生长规律是大致相同的〔8〕。

下面用二次多项式对植物生长数据进行拟合，根据最小二乘法〔9〕，利用以下的Matlab程序建立植物生长的二次多项式模型。数据拟合见图5。

编写M—文件shujunihe2.m

A=polyfit（x，y，2）;%用二次多项式拟合向量数据（x，y），返回多项式的降幂系数向量A

Z=polyval（A，x）;%根据多项式A计算出在x处的插值函数值

Z1=polyval（A，x1）%根据多项式A计算出在x1处的插值函数值，即预测值

Q1=sqrt（abs（sum（（y-Z）.^2）））%求均方误差

plot（x，y，'k.'，x，Z，'ko'，x1，Z1，'k+'）;%同时绘制出原数据的散点图，拟合原数据得到的散点图，预测值的散点图

xlabel（'生长的粒子数目单位：个'）;

ylabel（'植物生长所用的时间单位：秒'）; hold on

x=linspace（190，3100）;

y=a*x.^2+b*x+c;

plot（x，y，'k'）;

gtext（'离散的实心点（.）为植物生长时间的原数据'）;

gtext（'离散的空心点（o）为对植物生长时间的原数据拟合'）;

gtext（'离散的点+为预测植物生长时间得到的数据点'）;

gtext（'光滑的曲线为以二次多项式对原数据进行拟合'）; end

程序的运行结果如下：

均方误差：Q1=315.0529。

图5 二次多项式对原数据进行拟合

建立二次多项式模型：y=2.5226×10-4χ2-0.3424χ+143.4500。

利用二次多项式模型对植物生长进行预测，结果见表2。

表2 二次多项式模型对植物生长预测

为了减少拟合的误差，用三次多项式对植物生长数据进行拟合（见图6），同理可以得到系数

均方误差：Q2=228.4554。

图6 三次多项式对原数据进行拟合

建立三次多项式模型：

利用三次多项式模型对植物生长进行预测，结果见表3。

表3 三次多项式模型对植物生长预测

考虑用指数函数对植物生长数据进行拟合（见图7），建立植物生长的指数函数模型：均方误差：Q3=252.9088。

图7 指数函数模型对原数据进行拟合

建立指数函数模型：y=31.6035×e0.02×0.0648χ。

利用指数函数模型对植物生长进行预测，结果见表4。

表4 指数函数模型对植物生长预测

现将DLA模型植物生长时间变化情况、二次多项式模型、三次多项式模型和指数函数模型的图像综合在同一个图中，进行观察和分析。见图8。

图8 3个数学模型与原数据综合在一起

从上面3个模型与图8中可以看出：Q2与Q3比较接近，且均小于Q1。因此，三次多项式模型与指数函数模型在区间[5 00，2822]上很逼近，都可以很好地用来模拟植物生长的过程；在区间，三次多项式模型与指数函数模型产生明显的分叉。区间[5 00，2822]与χ=2822的确定方法如下：先作出y=y1-y2的图像。得到结果如图9所示。

图9 函数y=y1-y2的示意图

从图9中观察到 y=y1-y2在 χ=2 000和χ=3 000附近均有一个根，以下求解这两个近似根。

由上述可以得到函数y1与y2函数的两个近似交点为 χ=1884.3与 χ=2822.0，对应函数值f=2.2908×10-11和 f=-2.4575×10-9都非常接近于零，h1与h11大于零说明结果可靠。

6 结束语

通过DLA模型模拟植物的生长，动态观察粒子生长的过程，建立适当的模拟植物生长的三次多项式与指数模型，可以实时监控并预测植物生长的趋势。此外Batty等最先借助DLA模型将城市扩展视为粒子凝聚生长过程〔10〕，还可以利用DLA模型大致了解城市扩展的随机过程〔11〕，预测城市在将来的扩展趋势。

〔1〕肯尼思·法尔科内.分形几何:数学基础及其应用〔M〕.曾文曲，译.沈阳：东北大学出版社，2003：344-349.

〔2〕沙震，阮火军.分形与拟合〔M〕.杭州：浙江大学出版社，2005：183-188.

〔3〕苏维宜.局部域上的调和分析与分形分析及其应用〔M〕.北京：科学出版社，2011：229-230.

〔4〕高睿，谢淑云，陶继东.在MATLAB平台下实现DLA分形聚集生长的模拟〔J〕.西南师范大学学报:自然科学版，2005，30（1）:84-86.

〔5〕孙博文.分形算法与程序设计:Visual C++实现〔M〕.北京：科学出版社，2004:98-100.

〔6〕马林涛，陈德勇，张琰.分形插值函数及其维数〔J〕.广西民族大学学报:自然科学版，2012，18（3）:34-38.

〔7〕马林涛，陈德勇.基于Matlab程序的图像灰度均衡化及其边缘检测〔J〕.广西师范学院学报:自然科学版，2012，29（2）:37-42.

〔8〕王昊鹏，赵凯，关止.基于DLA模型的植物生长模拟研究〔J〕.微计算机信息，2007，23（8-3）:234-235.

〔9〕李红.数值分析〔M〕.武汉：华中科技大学出版社，2010: 67-74.

〔10〕况颐，陈彦光.DLA和DBM模型与城市生长的分形模拟:关于城市分形形态模拟方法的一个理论探讨〔J〕.信阳师范学院学报:自然科学版，2001，14（3）:303-307.

〔11〕张丽娜，何远，窦琼英，等.基于组合混沌的伪随机数算法研究〔J〕.大理学院学报，2013，12（10）:6-8.

（责任编辑 袁 霞）

Study on DLA Model and Its Application in Simulating Plants Growth

MA Lintao1,CHEN Deyong2
（1.School of Mathematics and Statistics,Guangxi Normal University,Guilin,Guangxi 541004,China;2.Guilin Measurement and Testing Research Institute,Guilin,Guangxi 541004,China）

This paper discusses how to produce and draw the most representative of the fractal structure of Diffusion Limited Aggregation（DLA）model based on the fractal theories of iterative process,so that the process of particle dynamic growth and simulate the growth of plants are observed.By using the method of mathematical modeling for curve fitting,it establishes two more reasonable mathematical models of simulating plants growth,which are 3 polynomial model and index function model.They can predict the trend of plants growth,and realize the real-time monitoring of plants growth and estimation.

DLA model;3 polynomial model;index function model

O244

A

1672-2345（2014）06-0029-04

10.3969∕j.issn.1672-2345.2014.06.008

2013年度广西师范大学校级博士启动基金资助项目（17A4）

2013-12-25

2014-01-19

马林涛，助教，博士，主要从事分形分析研究.