一种新的正则化图像重建算法及参数优化

陈晓艳，房晓东

(天津科技大学电子信息与自动化学院，天津 300222)

一种新的正则化图像重建算法及参数优化

陈晓艳，房晓东

(天津科技大学电子信息与自动化学院，天津 300222)

针对电学层析成像技术的反问题求解，提出一种新的正则化图像重建算法及正则参数选择方法．采用最小二乘拟合法构建正则参数与评价参数的Matlab数学模型，取极值获得正则参数值；利用COMSOL Multiphysics建立仿真场域，最后利用Matlab求解反问题，重建图像．通过对重建图像及评价参数的对比分析，验证了方法的有效性．结果表明，所用方法及正则参数能够有效改善反问题的病态性，使反问题的求解质量最优．

正则化；反问题；图像重建

电学层析成像技术(electrical tomography，ET)是过程层析成像技术(process tomography，PT)的一类，已被广泛应用于医学诊断、工业测量等诸多领域．它在被测对象上按一定规律安放若干个电极，以非接触或非侵入的方式测量被测对象的边界电信息，然后利用图像重建算法重建出被测对象内部的电特性分布，实现对被测对象的可视化测量[1–2]．ET的反问题求解具有高度的病态性，即使在测量数据中有很小的测量误差，也会给反问题的求解带来灾难性的影响[3]．如何采取有效手段改善反问题的病态性，从而获得符合条件的满意解，国内外学者对此进行了长期的探索与研究．

正则化方法是解决反问题病态性必不可少的方法，从某种角度，它可被视为保持解的存在性、唯一性及稳定性的一个约束[4]．在20世纪60年代中期，苏联科学院院士Tikhonov最先提出求解不适定问题的正则化方法[5]，为改善反问题的病态性提供了解决的依据．2004年，Daubechies等[6]首次给出了稀疏正则化方法与迭代伸缩算法的理论分析，并指出其求解具有稀疏性的线性反问题的有效性．2011年，彭黎辉[7]用Tikhonov正则化Landweber迭代方法对病态反问题求解进行了研究．正则化方法的求解质量依赖于正则参数的选择，目前主要还是依靠经验来选取[8]．本文提出一种新的正则化算法，采用对角阵Q

代替单位阵I以施加阻尼作用，利用最小二乘拟合建立了正则参数和评价参数的数学模型，取极值获得正则参数值，并优化获得最佳的正则参数，最后，通过重建图像质量和评价参数两方面对方法的有效性进行了验证．

1 算法原理

式中：U为被测对象的边界电压分布；J为灵敏度矩阵；σ为被测对象内部的电特性分布矩阵(介电常数、电导率、磁导率)．ET反问题求解，即已知被测对象的边界电压分布U及灵敏度矩阵J，求解对象内部的电特性分布σ．若采用最小二乘法求解，可表示为

ET问题的数学模型可表示为

令P=JTJ，由于矩阵P具有很高的条件数，导致求逆运算中噪声信号被放大，造成解的不稳定．因此必须采取正则化手段，保证解的存在性、唯一性及稳定性．

Tikhonov正则化算法是取与P同阶次的单位阵I作为阻尼项，对P施加阻尼作用之后，经过求逆运算，从而进行反问题求解：

由于P=JTJ，J为任意矩阵时，P为对称方阵，取P的每一行向量或列向量的最大元素均可构成对角阵Q(Q的主对角元素非0，其他元素为0)．利用Q对P施加阻尼作用，从而获得新的正则化算法：

在式(3)—式(4)中，α 为正则参数，通过调整α可改变阻尼作用的强弱．由于Q与P量级相同，在选取α 时，一般只需令其为0～1之间．相比于其他正则化算法，α 的范围小，便于选择，因而容易得到较为理想的求解结果．

2 评价参数

显然，不同正则参数α 的选取，影响阻尼作用的强弱，会导致反问题的求解结果σ 的不同．选取3个参数作为正则参数α 对σ 影响的评价参数．

2.1 误差总和

定义误差总和

式中：Ne为重建图像的单元数；σi为重建电特性分布；σi*为真实电特性分布．E越小反问题求解质量越好．

2.2 相关系数

定义相关系数

2.3 结构相似度

定义结构相似度

3 正则参数优化

由于正则参数α 会影响ET反问题的最终结果，3个评价参数E、r、S也有差异．根据式(4)选取0～1范围内的α 进行ET反问题求解，相应结果见表1．

由表1数据可知：当α的值由0到1逐渐增大时，误差总和E先减小后增大，相关系数r、结构相似

度S先增大后减小，这表明反问题求解质量随α值的增加先提高后降低．

3.1 模型建立

为得到理想的α值，采用最小二乘拟合的方法，以y＝f(x)的形式描述表1中各评价参数值随α变化的规律．利用Matlab曲线拟合工具箱，取α＝0.1～1.0，步长为0.01，采用四阶拟合建立数学模型：

采用归一化均方误差(normalized mean square error)表征拟合精度，其表达式为如

3.2 α 求解

通常，α 取值越大，抗干扰性越强，问题求解的稳定性越高；但是α 过大会影响模型精度，覆盖模型的有效信息．简言之，如果一个模型中α取值较小并且模型稳定性好，则效果最好．分析表2中数据，当α取0.403,1时，3个评价参数均较为理想．

4 图像重建

利用有限元仿真软件COMSOL Multiphysics 3.5,a对场域建模．圆形场域半径为15,cm，场域表面安放16个电极，电极长1,cm，电极宽度的占空比为20%，背景电导率为0.01,S/m，目标电导率为1,S/m，激励电极选取钛电极(Titanium beta-21S)，激励电流密度为1.392,mA．采用电流激励–电压测量、相邻激励–相邻测量的模式．为了体现实际情况下的干扰，使结果更具一般性，在仿真数据中加入信噪比为42,dB的噪声，根据不同的α值，重建图像．场域原始模型和重建图像如图2所示．图2(a)中白色区域为目标区域，黑色区域为背景区域．重建图像的灰度代表对应的电导率数值．

根据图2的重建图像结果可知：当α＝0，即不进行正则化作用时，成像效果很不理想，场域中无法识别目标的位置；当α＝0.01时，成像效果有所改善，能够分辨出目标的大概位置，但伪影较多，目标对比度较低；当α＝0.403,1时，成像效果进一步改善，伪影减少，目标对比度增加，目标大小与真实大小基本吻合，参照图像右侧的色度条，此时目标区域的灰度、背景区域的灰度所对应的电导率值与模型的设定值0.01,S/m、1,S/m最为接近；当α＝10时，伪影增加，目标边界模糊，成像质量下降．表3给出了图2对应的评价参数值．

由表3可知：当α＝0.01时，与α＝0(即不采用正则化方法)相比，各参数值趋于改善，这是由于进行了正则化，在阻尼项的作用下，增强了反问题求解时矩阵求逆的稳定性；当α＝0.403,1时，各参数值进一步改善，求解质量提高，这是由于此时的正则参数增加，正则化效果加强，模型稳定性进一步增强；当α＝10时，各参数的质量下降，求解质量下降，这是由于当正则参数过大时，过于强调模型的稳定性和抗扰性，忽视模型自身的有效信息，导致了图形伪影显著，边界模糊．表3的参数数据与图2的重建图像结果一致，且验证了算法具有一定的抗干扰能力．

5 结 语

本文针对二维ET反问题求解，提出一种新的正则化图像重建算法，采用最小二乘拟合法建立数学模型，取极值获取了正则参数值．通过求解，从重建图像效果及评价参数两方面证实了方法的有效性．

不同于一般正则化算法采用单位阵作为阻尼项，本研究提出的正则化图像重建算法，结合问题自身的灵敏度矩阵，采用矩阵P的每一行向量或列向量的最大元素构成对角阵Q进行阻尼约束，从而使阻尼项Q较I更加贴近模型本身，与模型的相关性更强，与一般的正则化方法相比，大大缩小了α的选择区间；采用最小二乘拟合建立数学模型，利用数学方法，通过取极值获得正则参数α的值，使其在取值范围内最优，与一般的正则化方法相比，避免了凭经验选取α的盲目性及不确定性．这将为今后进一步研究反问题求解奠定基础．

本研究的建模方法采用基于Matlab的最小二乘拟合法，未讨论其他形式的拟合方法，今后将围绕不同的方法建立数学模型，进行对比研究．

［1］ Yue S H，Wu T，Cui L J，et al. Clustering mechanism for electric tomography imaging[J]. Science China：Information Sciences，2012，55(12)：2849–2864.

［2］ 何泳成. 电学层析成像图像重建算法研究及软件系统设计[D]. 天津：天津大学，2010.

［3］ Colton D，Kress R. Inverse acoustic and electromagnetic scattering theory[M]. 2nd ed. Berlin：Springer，1998.

［4］ Polydorides N. Image reconstruction algorithms for soft

field tomography[D]. Manchester，UK：University of Manchester Institute of Science and Technology，2002.［5］ 吕琪. 不适定问题的迭代正则化方法研究[D]. 武汉：武汉理工大学，2012.

［6］ Daubechies I，Defrise M，De Mol C. An iterative thresholding algorithm for linear inverse problems with a sparsity constraint[J]. Communications on Pure and Applied Mathematics，2004，57(11)：1413–1457.

［7］ 彭黎辉. 用于病态反问题求解的正则化方法算例分析[J]. 云南民族大学学报：自然科学版，2011，20(2)：79–85.

［8］ 周旭胜，寇戈. 基于MATLAB的EIT图像重构算法研究[D]. 南京：南京理工大学，2010.

［9］ 吴克坚. 有限元近似误差对EIT正逆问题影响的定量研究及算子分解方法的应用[D]. 西安：第四军医大学，2012.

责任编辑：常涛

A New Regularization Image Reconstruction Algorithm and its Parameter Optimization

CHEN Xiaoyan，FANG Xiaodong
(College of Electronic Information and Automation，Tianjin University of Science & Technology，Tianjin 300222，China)

Focused on solving the inverse-problem of electrical tomography，a new regularization image reconstruction algorithm and a method to select the regularization parameters were proposed. A Matlab mathematic model of regularization parameter and evaluation parameter was constructed by the least square fit method．The values of regularization parameter can be obtained by taking the extreme．COMSOL Multiphysics was adopted to construct the simulation field，and Matlab was used to solve the inverse-problem and reconstruct the image. The effectiveness of the method was verified by contrasting the reconstructed image and the evaluation parameters. The result indicates that the method and regularization parameters can improve the ill-pose of the inverse-problem effectively and make the solution to the inverse problem optimal.

regularization；inverse-problem；image reconstruction

TP391.9

A

1672-6510(2014)06-0074-04

10.13364/j.issn.1672-6510.2014.06.014

2014–04–10；

2014–07–08

国家自然科学基金资助项目(61301246)；天津市自然科学基金资助项目(12JCYBJC19300)

陈晓艳（1973—），女，四川成都人，教授，cxywxr@tust.edu.cn.