深海复合材料悬链线立管基于可靠度的优化设计

沈钦雄，杨和振，朱云

上海交通大学船舶海洋与建筑工程学院海洋工程国家重点实验室，上海200240

0 引 言

随着经济的快速增长，为了满足市场需求，油气的勘探与开采逐渐由陆地向海洋延伸，由浅海迈向深海。然而，深海复杂多变的水文环境与海况使得传统立管容易遭受破坏。一方面，传统的深海立管多由金属材料结构设计而成，而金属材质的高密度使得其随着作业水深的增加，钢制立管的重量会使得结构的顶部张力急剧增大，从而严重限制海洋平台的开采输出能力；另一方面，在海水的长期浸泡下，钢制立管容易发生腐蚀，因此必须进行周期性的检修与维护，但繁琐的拆卸与安装过程会影响正常的生产运营能力。复合材料作为新型的结构材料，由于其具有比强度高、比刚度大、抗疲劳、耐腐蚀性能好以及良好的阻尼特性等优点，近年来得到许多企业的关注，也投资了大量的资金用于不同行业的研究与推广，尤其在航空及深海钻井领域最为显著［1-5］。本研究采用的是异于传统柔性管和钢制立管的新型粘结性深海立管，由于该类型的立管目前国内还没有，国外也只是处于研究阶段，因此进行实用的例子较少，本文只是提出一种指导性的设计方法。

复合材料立管的可设计性较强，叠层顺序不同、各层铺角变化以及层间厚度差异等都会影响到结构的应力状态，可能导致结构性能降低或可靠性指数不足。传统的确定性优化设计并没有将设计变量的不确定性因素考虑进去，这就有可能使所设计的结构可靠性不高甚至是无效。在工程实际中，不确定性因素主要包括材料属性、环境载荷的变化以及制造工艺水平的差异等。由于复合材料结构复杂，设计变量众多，因此材料参数属性的微小变化都会对结构力学性能产生较为明显的影响；再者，深海复合材料立管的工作环境恶劣，若立管破坏，会造成重大的环境污染和人员伤亡。由此，基于可靠性的深海复合材料立管优化设计就显得尤为重要。

近年来，有关深海复合材料海洋管线结构的相关研究日益得到重视。Sparks 等［6］首次对采用复合材料生产立管进行了设计和分析。Baldwin等［7］系统地阐述了采用复合材料生产立管的设计，并将其运用于3 000～5 000 ft 的海域，发现减重效果良好，并能降低成本。由于复合材料具有可设计性强的特点，许多学者也对其结构上的关键参数进行了优化设计研究。Lemanski 等［8］在给定的截面刚度特性下，对具有4 个叠层的复合材料圆柱壳进行确定性优化，提出了基于全局目标的近似迭代方法，该方法相对于传统的一阶连续线性规划方法具有较高的运算效率及鲁棒性。Teófilo 等［9］运用优化技术对复合材料悬链线立管进行初步设计，将结构强度和稳性作为优化模型的边界约束，以复合材料层厚度和纤维角为设计变量，得到了较好的设计结果。刘昊等［10］在考虑多工况不同危险截面的强度和屈曲的情况下，建立了等效结构模型，使用多岛遗传算法进行优化设计，为深海复合材料立管的工程实际设计提供了一定的借鉴价值。Yang［11］采用蒙特卡罗及代理模型的方法对深海钢悬链线立管进行了随机性优化，相比于确定性优化结果，该方法既能保证结构的可靠性，又能降低材料成本，还可大大提高计算效率。

基于上述研究，本文将为深海复合材料立管设计提供一种确保安全性的、基于可靠度的优化设计方法。深海复合材料悬链线立管一般动辄上千米，为简化运算，本文拟采用整体局部分析的方法，通过整体分析得到危险截面的内力，再用这些内力进行局部有限元分析。在对局部模型进行优化分析时，若每次优化均调用有限元模型，将耗费较大的运算成本。因此，提出运用试验设计方法来构建Kriging 近似模型，然后利用蒙特卡罗撒点方法对比分析确定性优化（Deterministic Optimiza⁃tion，DO）与可靠性优化（Reliability-Based Design Optimization，RBDO）的结果。

1 方法介绍

1.1 复合材料立管等效力学特性

复合材料层合立管是由一系列单层板根据设计所需的刚度和厚度按一定的顺序和铺角叠合而成。建立如图1 所示的全局坐标系，其中x 轴平行于管线的纵向，y 轴和z 轴构成的平面平行于管线横截面，在全局坐标系下计算复合材料立管的等效力学特性。

图1 复合材料管线全局坐标系Fig.1 Global coordinate system of the composite tube

由于复合材料结构存在层合角，为便于计算分析，常引进材料坐标系，即局部坐标系（x1，x2，x3）。其中x1为纤维角方向，x2为垂直于纤维角指向面内方向，x3为垂直于x1和x2组成的平面指向面外方向。

在局部坐标系下，由广义胡克定律可知相应的应力—应变关系

其中，系数矩阵Q 可由本构关系得到

由上述分析可知，在实际应用中，材料坐标系与全局坐标系并不重合，因此，需要对结构进行偏轴方向上的应力—应变转换，即

式中，Tσ和Tε分别为应力和应变转换矩阵。

由式（3）可知偏轴下的应力—应变关系为

式中：m=cos θ ；n=sin θ 。其中，θ 为单向板纤维角。

由经典层合板理论（CLT）可知，与中性面相平行的应变可表示为

式中：ε0为中面应变（膜应变）；κ 为层合板曲率；z 为距中和轴的距离。

由经典层合板理论，可知

式中：A 为拉伸刚度；D 为弯曲刚度；B 为拉伸与弯曲的耦合刚度矩阵；N，M 分别为层合板的内力和内力矩。

对于对称铺设结构而言，层与层的拉伸和弯曲之间没有耦合，因此B=0。将式（7）进行相应的求逆变换，可得到相应的柔度矩阵

对于细长梁结构而言，通常假定Nx=0 和Mx=0。则上式可简化为

将上式求逆并忽略耦合项，可得相应的新的刚度矩阵

1.1.1 轴向刚度计算

考虑应变仅有εx且在每层中为常数的情况，轴向拉力可表示为

考虑复合材料的对称性，没有刚度耦合项，即Bx=0 时，由式（11），有

由于ds=Rdα（R 为中性面半径），则

1.1.2 弯曲刚度计算

由材料力学可知，复合材料的截面弯曲刚度在旋转坐标下为

根据平行移轴定理，可得整体坐标系下的弯曲刚度

将上式进行积分，得复合材料管线的等效弯曲刚度

1.2 试验设计及近似模型

试验设计（Design of Experiment，DOE）是以概率论和数理统计为理论基础，经济、科学地安排试验的一项技术，它为研究者展示如何进行科学研究的概貌，试图解决研究的全过程。DOE 可以获得更多的设计空间信息，了解各个设计变量是如何对目标函数及约束产生影响，得到设计后的一组结构化数据，从而构建出近似模型。本文将运用局部有限元模型对结构进行深入分析，但在进行优化时，如果每次都调用有限元仿真模型，其迭代时间的耗费将非常巨大。因此，为了避免高强度的仿真迭代计算，减少计算成本，引进了近似模型［12］。近似模型（Approximation Model）用于模拟一系列输入参数与输出响应之间的响应关系，其可以在不降低计算精度的前提下有效减少计算运行时间。常用的近似模型为Kriging 模型

式中：βi为回归系数；fi(x)为基于设计变量x 的多项式函数；Z(x)是一个随机过程，满足均值为0、方差为σ2的高斯随机分布函数。在预定的设计空间中，fi(x)提供了全局模拟近似，而Z(x)则提供了局部模拟近似。

Kriging 近似模型是基于小样本数据点的建模方法。不同于传统的数值参数化模拟，Kriging 模型是一种半参数模型，模型的有效性并不依赖于试验设计点随机误差的存在，这就使得模型的运用范围更广，更为灵活方便［13］。另外，所构造的Kriging 近似模型覆盖了所有的设计样本点，这使得所包含的变量信息更为全面，模型精度更高，但同时也使得构建模型所耗费的时间成本更大。

2 算例分析

深海立管作为深水资源开发的关键设备，其一端连接海底井口，另一端连接水上浮式平台结构。由于管线自身重量，再加上海上波浪的作用，使得立管与顶部平台悬挂区域有着较大的张力，立管与底部触地区域有着较高的屈曲应力，因此，传统的钢制立管在深海工作中面临着诸多挑战。而复合材料立管由于具有高比强度、高比刚度、低重量和耐腐蚀等优良特性，使得其在深海油气开发中发挥着日益重要的地位。复合材料悬链线立管较轻的重量特性大大降低了立管顶端张力，使得所连接的海洋平台更小，从而可相应地降低成本。另外，复合材料悬链线立管的高比强度与高比刚度特性使其能适应更为恶劣的海况［14］。

2.1 整体—局部分析法

在结构设计中，往往会涉及到大构件的局部详细分析，即分析大型结构在不同工况下，某些关键截面的局部力学响应。要深入分析关键截面的局部特性，普遍的做法是借助通用有限元软件对结构进行较密的网格划分，加载求解以获得所需区域的截面应力、应变与弯矩等力学特性。对深海复合材料立管而言，一般是采用壳单元或者实体单元建立仿真模型，然而要建上千米的深海复合材料立管，再进行相应的网格划分以获得关键截面的力学响应，面对如此庞大的结构，一般难以承担高昂的运算成本。因此，本文分析的方法是：先利用复合材料等效理论分析得到相应的等效弹性模量等力学特性，利用有限元软件建立整体模型，加载求解得到关键截面的力学响应；然后再建立详细的局部结构模型，从而精确求解结构在不同工况下的响应。相比于建立细化的整体模型而言，整体—局部分析方法不仅能简化建模过程，提高运行效率，还能节约大量的计算成本，并在一定程度上改善计算精度。图2 所示为整体与局部分析模型。

图2 深海复合材料悬链线立管整体模型与局部模型Fig.2 The global and local model of the deep-water composite catenary riser

2.2 设计参数分析

优化设计的主要流程如图3 所示。

图3 复合材料悬链线立管优化设计流程图Fig.3 The flow chart of composite catenary risers optimization design

设计变量：

1）复合材料铺层厚度ti(i=1，2，3，4，5)，为连续性变量，其中0.5 mm ≤ti≤10 mm ；

2）复合材料铺层角度θi(i=1，2，3，4，5)，为连续性变量，其中-90°≤θi≤90°。

约束条件：

1）内衬层需要满足结构强度约束条件，查相关手册［15］可知，X80 钢的屈服强度为550 MPa，相应的应力衡准系数为SFline＞1；

2）复合材料层满足结构强度约束条件，考虑到首层破坏时的最大应力，通过最大应力准则计算得到最大应力衡准系数SFstress＞3；

3）复合材料管满足外压屈曲约束条件，在1 500 m 水深下计算的屈曲应力为Buckling ≥45.2 MPa。

优化数学模型：

深海复合材料立管截面属性如表1 所示。其内衬层由X80 钢制成，内衬层的主要作用是保证内部管道封闭，使管内流体顺利流通。选用AS4-Epoxy 作为复合材料层，这样一方面可以有较明显的减重效果，另一方面，相应的力学性能也较为优越。

表1 复合材料立管材料属性Tab.1 The mechanic properties of composite riser

初始设计选用正交铺设方式，铺设为（90/0/90/0/90）s，其中s 表示对称铺设形式。立管内衬层厚度为5 mm，复合材料各层厚度均为2 mm。利用经典层合板理论以及复合材料等效理论对立管做整体梁模型的等效，计算得到相应的等效材料属性如表2 所示。

表2 等效后的复合材料立管属性Tab.2 The effective properties of composite riser

通过上述等效材料属性，建立整体分析模型，加载求解关键截面的响应。随机性优化参数如表3 所示。

表3 复合材料立管随机性优化参数Tab.3 The probabilistic optimization parameteters of composite riser

2.3 Kriging 模型的精度评估

本次研究采用优化拉丁方方法进行试验设计以获得设计空间信息，优化拉丁方方法是随机拉丁试验方法的一种改进方法，其优化了试验设计矩阵每列中各个水平出现的次序，这样，就使得各个样本设计点的分布较为均匀，所构建的近似模型也更加准确。近似模型的构建采用Kriging 代理模型，采用交叉验证图来对代理模型的精度做直观验证，并给出相应的均方根误差RSME（又称标准误差）进行衡量。

式中：yi为局部复合材料立管的实际响应值；y^i为由Kriging 代理模型计算的预测值；n 为总的样本数据点。均方根误差并不是实际的测量值误差，也不是误差范围，它是对一组测量数据可靠性的估计。均方根误差越小，测量的可靠性就越大，反之，测量就不大可靠，它是用来衡量观测值与真值之间偏差的。

图4 中的预测响应值代表的是由Kriging 代理模型计算得到的输出响应值，真实响应值代表的是直接由有限元模型计算得到的输出响应值。从最终总质量的交叉验证图可以看到，Kriging 代理模型具有较高的拟合精度。另外，计算边界约束最大应力衡准系数SFstress、内衬层应力衡准系数SFline以及外压屈曲应力Buckling 的均方根误差RSME 分别为2.63%，3.69%和3.48%，从近似模型精度评估指标RSME 上看，Kriging 代理模型的拟合效果满足初步设计的要求。因此，完全可以用Kriging 代理模型来近似取代局部复合材料立管的有限元模型，进行进一步的结构优化设计，这样不仅能有效减少计算运行成本，还不失计算精度，从而提高优化效率。

图4 Krging 模型对总质量Tcom的交叉验证Fig.4 Cross validation for Tcom（Kriging）

图5 与图6 分别为确定性优化（DO）和可靠性优化（RBDO）的结果时间历程图。由于确定性优化较为简单，本次确定性优化采用外点罚函数优化算法；而可靠性优化由于考虑了更多的不确定性因素，样本空间更大，单一的优化算法可能会出现不收敛或者收敛速度慢等问题，因此在此次可靠性优化中采用多岛遗传和外点罚函数联合算法。由图中可以看到，确定性优化时间短，运行效率高，在运行约300 次迭代步数后即得到了优化结果；而可靠性优化的计算成本要比确定性优化的高，但也在运行约2 000 步后得到了最终的优化结果。

图5 确定性优化Tcom的迭代时间历程Fig.5 Time history iteration steps of DO

图6 可靠性优化Tcom的迭代时间历程Fig.6 Time history iteration steps of RBDO

为了对比得到确定性优化与可靠性优化的可靠度，研究采用蒙特卡罗模拟方法（MCS）进行结构可靠度的分析。由概率的定义可知，某事件发生的概率可以用大量试验中该事件发生的频率来估算，当样本容量足够大时，可以认为该事件的发生频率即为其概率。因此，可以先对影响其可靠度的随机变量进行大量的随机抽样，然后再把这些抽样值依次代入功能函数式，确定结构是否失效，最后求得结构的失效概率。样本点的采集数量越多，得到的结果便更精确。为此，本文采用50 000 个数据样本点进行蒙特卡罗模拟，得到了相应的确定性优化和可靠性优化蒙特卡罗撒点结果。为了更好地对比确定性优化与可靠性优化的结果，将蒙特卡罗撒点结果进行了正态化，并将相应的概率密度函数（Probability Density Function，PDF）在同一张图中予以了表示，如图7～图9 所示。由图7～图9 可以看到，可靠性优化因牺牲了部分结构性能，因而获得了更高的可靠性。由图8 和图9 可以看到，确定性优化的内衬层应力衡准系数SFline以及外压屈曲应力Buckling 的可靠性均在50%左右，没能满足实际工程需要；而可靠性优化仅在厚度和角度上进行微小的变化，便可得到较高的可靠性，体现了可靠性优化的实际可操作性。

图7 SFstress的概率密度函数Fig.7 The PDF of SFstress

图8 SFline的概率密度函数Fig.8 The PDF of SFline

图9 Buckling 的概率密度函数Fig.9 The PDF of Buckling

优化结果如表4 所示。由表中可知，在确定性优化条件下，复合材料立管由原来的58.36 kg/m下降到了43.21 kg/m，结构重量减幅达到25.95%，减重效果明显。在确定性优化条件下，由于相应的内衬层强度约束、复合材料立管外压屈曲强度均接近临界边界值，若考虑到海洋环境的复杂多样、材料属性变化以及立管加工工艺等，各设计变量均存在一定的变化，因此确定性优化结果不可接受。为了提高结构在恶劣深海环境下的可靠性，可采用可靠性优化设计方案。从表4 中可以看到，为了达到较理想的安全性水平，可靠性优化牺牲了部分结构质量，但相应的可靠度却由确定性优化的50.54%和50.24%分别提高到了99.69%和94.54%。可靠性优化相对于传统的确定性优化更为保守，但却考虑了外界环境的变化，提高了结构的可靠度，可为深海复合材料立管的结构设计提供新的方案。

表4 确定性优化与可靠性优化结果对比Tab.4 Comparison of DO and RBDO

3 结 论

本文研究了深海复合材料立管的可靠性优化设计，通过对整体—局部模型的分析，以整体分析提取的关键截面响应作为局部模型的边界。为降低运算成本，采用优化拉丁方算法进行实验设计，对目标函数和约束函数构建Kriging 近似模型，最后，通过蒙特卡罗模拟，对比分析了确定性优化与可靠性优化的可靠度结果。主要结论如下：

1）采用整体—局部分析方法，通过梁单元理论和经典层合板理论分析复合材料的结构力学特性，运用等效理论计算复合材料的等效刚度，结合单元的本构关系计算材料系统下的应力水平，从而得到局部分析模型的边界条件，避免了建立庞大、复杂的整体分析模型，可有效减少运算成本，提高工作效率。

2）将优化拉丁方方法、Kriging 近似模型以及蒙特卡罗方法相结合，把深海复合材料立管的复杂模型（非线性程度高、设计变量多）转化成简单的数值Kriging 近似模型，避免了每次优化计算时都要调用有限元模型而耗费大量的运算成本，从而可节省计算时间，提高运行效率。

3）对深海复合材料立管结构进行可靠性优化设计，从优化结果看，方法是可行的。基于可靠度的优化设计不仅能降低结构重量，还在一定程度上保证了结构在工作期间的可靠性，体现了经济性与安全可靠性的结合，具有一定的工程实用价值。

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