保E且严格保序部分一一变换半群的秩

龙伟锋, 徐 波, 游泰杰, 汪继秀

(1. 贵州师范大学 数学与计算机科学学院, 贵州 贵阳 550001; 2. 湖北文理学院 数学与计算机学院, 湖北 襄阳 441053)

在半群代数的研究中,变换半群的秩一直是研究的重要课题之一,关于它的研究已经有了许多成果[1-6].

通常,一个有限变换半群S的秩定义为:rankS={min|A|:A⊆S,〈A〉=S}.如果S是由幂等元集E生成的,那么S的幂等元秩定义为:irankS={min |A|:A⊆E,〈A〉=S}.显然有rankS≤irankS.

设[n]={1,2,…,n}并赋予自然序,In与Sn分别表示[n]上的对称逆半群和对称群.设α∈In,若∀x,y∈dom(α),x≤y蕴含xα≤yα,则称α为保序部分一一变换.令POIn={α∈InSn:∀x,y∈dom(α),x≤y蕴含xα≤yα},则POIn是In的一个逆子半群,称之为保序部分一一变换半群.文献[1]刻画了POIn的秩与表示.

设X为有限集合,E为X上的等价关系且IX为X上的对称逆半群.令

IE*(X)={f∈IX:∀x,y∈dom(f),(x,y)∈E

当且仅当(f(x),f(y))∈E},

则IE*(X)为IX的逆子半群,称为保E*关系部分一一变换半群.文献[2]讨论了它的Green关系与秩.

令X为有限集合,E为X上的等价关系且IE*(X)为X上的保E*关系部分一一变换半群.设f∈IE*(X)且dom(f)={a1,a2,…,ar},其中a1

任取x,y∈X,若x≤y,定义[x,y]={z∈X:x≤z≤y}.对于一般情形,即对任意的有限全序集X和X上的任意等价关系,很难描述半群SPOIE(X)的秩.因此,先考虑一种特殊情形.本文总是假设X={1,2,…,nm}(n≥3,m≥2)为全序集,E为X上的等价关系,满足

E=(A1×A1)∪(A2×A2)∪…∪(Am×Am),

其中,Ai=[(i-1)n+1,in],i=1,2,…,m.本文在上述全序集与等价关系下,讨论了SPOIE(X)的秩.

1 预备知识

为了叙述方便,在SPOIE(X)上引入下面的二元关系,∀f,g∈SPOIE(X),定义

(f,g)∈L△当且仅当im(f)=im(g),

(f,g)∈R△当且仅当dom(f)=dom(g),

(f,g)∈H△当且仅当im(f)=im(g)且dom(f)=dom(g),

(f,g)∈J△当且仅当|im(f)|=|im(g)|,

则H△、L△、R△、J△都是SPOIE(X)上的等价关系,易见H△⊆L△⊆J△,H△⊆R△⊆J△.对1≤r≤nm-1,记

文中未说明的符号与概念请参看文献[9].

2 主要结果与证明

首先给出本文的主要结果.

定理1rank SPOIE(X)=nm.为了完成定理1的证明,下面给出若干引理.

情形1|Ap∩dom(f)|=n-1,不妨设

其中a1

a1

f(a1)

f(aj+1)<…

以下分3种情况讨论.

则有

2)i

f∣Ap=ψφ=η∣Aqξ∣Ap=

此外考虑当x∈dom(f)Ap时,ηξ(x)=η(f(x))=f(x).故f=ηξ.

3)i>j.证明类似于2)的证明.

情形2|Ap∩dom(f)|≤n-2,设

其中a1

设s是在1,2,…,t中使得f(as)≠qn+s的最小整数,则f(as)≥qn+s+1.下面分3种情况一一讨论.

1)s

下证f=η2η1ξ.由ξ、η1、η2的定义,易验证dom(η2η1ξ)=dom(f)且

f∣Ap=νμθ=η2∣Aqη1∣Aqξ∣Ap=

2)s=i+1.令

下证f=η2η1ξ.由ξ、η1、η2的定义,易验证dom(η2η1ξ)=dom(f)且

f∣Ap=σρθ=η2∣Aqη1∣Aqξ∣Ap=

3)s>i+1,证明类似于2)的证明.

1) 当j∈{1,2,…,n-1},

gij:X{in+j}→X{in+j+1},

2) 当j=n时

gin:X{(i+1)n}→X{in+1},

由gi1,gi2,…,gin的定义,易验证对∀i∈{1,2,…,m},都有im(gij)=dom(gij+1)(j∈{1,…,n-1}),im(gin)=dom(gi1).

引理2令A={gij:1≤i≤m,1≤j≤n},则SOPIE(X)=〈A〉.

由引理2及有限半群秩的定义可得如下推论:

推论2rank SOPIE(X)≤nm.

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[3] Fernandes V H. The monoid of all injective orientation preserving partial transformations on a finite chain [J]. Commun Algebra,2000,28(7):3401-3426.

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