挖掘错例原型 促进认知发展

王洪刚

在数学学习中，学生的错误是普遍的和必然的。错误有时候是学生在学习中产生自己特有的概念与程式造成的，也与教师在教学活动中的引导有关。笔者以教学《分数的意义》时遇到的错题为例，且行且思，获得了一些感受与大家分享。

【案例1】把12米的绳子平均分成5段，每段是几分之几米？每段是总长的几分之几？3米是这段绳子的几分之几？

在分数的意义练习中经常出现这样的错误：（1）学生搞不清两类问题（求某个数量和求两者之间的关系）的不同。如把问题1做成1÷5=米。（2）两个数量比较的时候找不准比较的量。如把问题3做成3÷5=，问题出在哪里呢？经过分析研究，其实问题的根源在于我们教学时没有讲清楚分数的本质意义。教材中的定义为：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数。这样定义的好处是直观，明白易懂，强调了“平均分”，特别是对“几分之几”做了准确说明，对理解以后的分数运算也有重要的价值。但是用份数定义分数，也有一些问题。首先一份或几份的说法，没有超出自然数的范围，没有显示出这是一种新的数。其次，分数表示的是一个整体平均分之后，其中的一份或几份，选择的素材和呈现的情境局限在整体和部分单一的纬度上。另外从书本上的例题来看，分数意义的获得来源于分东西的活动，学生往往从切分的生活情景直接跳跃到纯粹的数学概念，没有经验支撑的抽象水平，学生个体接受数学概念的内在结构就会不稳定。那么分数的本质究竟是什么？有人认为其本质意义是它的无量纲性，其意义在于可以把事物许多不可比的状态变为可比的状态。但是我们不能忘了分数同时具有量纲性，即可以表示具体的数量。缺乏两者的比较，就会出现案例1中出现的问题。

分数的意义可以从自然数除法的推广中去理解。在低年级数学课上，6个月饼平均分成3份，得到有确定大小的两块。但对于这个月饼平均分成3份应该得到什么，依除法的意义，应该看作1÷3所得的商。可是这种除数大，被除数小的除法，如果运用以前的知识就成了解决不了的问题，于是“分数”这个新朋友就闪亮登场了，突出了数系扩张的本质。用分数的商的定义去解决案例1的问题，效果很好。如问题1可以这样解答：12÷5=（米），问题2可以这样解答：1÷5=，问题3可以这样解答：3÷12=。因此，分数的份数定义可作为教学起点，但是不宜过分强调，应该迅速向更熟悉的除法转移。

【案例2】在下面的直线上标出。

[0 1 2 3][]

很多学生将的点标在这条直线上的这个位置。很明显，学生把所对应的“单位1”的量弄错了，可能是学生在学习中感受到的整体的思维定势太强了，把近乎整条直线看作“单位1”。所以引导学生领悟“单位1”的含义至关重要。

首先，教学中要注重“单位1”的认识和扩展。在“单位1”的引入部分，由自然数1到“单位1”，对于学生来说，那需要一个过程。一支笔，一个人，可以用数字1来表示。很多支粉笔装成的一盒粉笔，很多个学生组成的一个班级也可以用1来表示。这里需要超越和突破。同样3个苹果能看作1吗？一旦把3个看作“单位1”，通常这时的6个苹果就不能再看作6了，该用哪个数字来表示呢？6个里面有2个这样的单位，只能是“2”了，9个苹果里有3个这样的单位，就是“3”。这个过程中3个苹果所构成的“1”其实已经成为一个计量单位，这样引出“单位1”的概念很自然。如果有一个苹果，应该怎样表示呢？这里可以发挥分数份数定义的作用，用来表示。这样就很好地沟通了分数与自然数之间的联系，并使学生在结构性框架中获得这样的认识：无论整数、分数其实都是以“单位1”作标准计量的结果；如果包含若干个单位“1”，则可以用整数来表示；如果不是整个单位“1”的，则可根据把单位“1”平均分的份数和表示的份数，用分数来表示。

其次，利用数线认识分数。是把一个“单位1”平均分成3份中的一份，但是这一份到底有多大呢？1除以3的商有多大？它一定比1小，却一定大于0。我们可以在数射线上的0和1之间的线段平均分成3份，距离0一份的位置的地方就是，就在0和1之间中间的一点，在0和之间再分一半的位置就是……这样一画，分数是新的数的特性就清楚地表现出来了，原来自然数离散地分布在数射线上，现在分数密密麻麻填写在数线上。在研究分数的本质意义时，张奠宙先生指出：“分数是相对于整体‘1而言的。在数线上0和1之间，标出相等的若干等份，乃是认识分数关键的一步，及早进行，十分重要。”数线是一个半抽象模型，它是“圆模型”和其他平面模型的“再抽象”，可以充当分数的“份数模型”向“除法的商”定义过渡的几何载体。这也是数轴的雏形，正确应用可为今后学习数轴打下基础。

从以上学生错例看来，数学课堂需要老师用数学学科知识的结构和思维引领课堂教学，深入挖掘新知识本质与学生的认知结构的切入点，采取有效措施，从源头上切断学生可能出现的问题，促进学生知识的顺利融合和吸纳。endprint

在数学学习中，学生的错误是普遍的和必然的。错误有时候是学生在学习中产生自己特有的概念与程式造成的，也与教师在教学活动中的引导有关。笔者以教学《分数的意义》时遇到的错题为例，且行且思，获得了一些感受与大家分享。

【案例1】把12米的绳子平均分成5段，每段是几分之几米？每段是总长的几分之几？3米是这段绳子的几分之几？

在分数的意义练习中经常出现这样的错误：（1）学生搞不清两类问题（求某个数量和求两者之间的关系）的不同。如把问题1做成1÷5=米。（2）两个数量比较的时候找不准比较的量。如把问题3做成3÷5=，问题出在哪里呢？经过分析研究，其实问题的根源在于我们教学时没有讲清楚分数的本质意义。教材中的定义为：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数。这样定义的好处是直观，明白易懂，强调了“平均分”，特别是对“几分之几”做了准确说明，对理解以后的分数运算也有重要的价值。但是用份数定义分数，也有一些问题。首先一份或几份的说法，没有超出自然数的范围，没有显示出这是一种新的数。其次，分数表示的是一个整体平均分之后，其中的一份或几份，选择的素材和呈现的情境局限在整体和部分单一的纬度上。另外从书本上的例题来看，分数意义的获得来源于分东西的活动，学生往往从切分的生活情景直接跳跃到纯粹的数学概念，没有经验支撑的抽象水平，学生个体接受数学概念的内在结构就会不稳定。那么分数的本质究竟是什么？有人认为其本质意义是它的无量纲性，其意义在于可以把事物许多不可比的状态变为可比的状态。但是我们不能忘了分数同时具有量纲性，即可以表示具体的数量。缺乏两者的比较，就会出现案例1中出现的问题。

分数的意义可以从自然数除法的推广中去理解。在低年级数学课上，6个月饼平均分成3份，得到有确定大小的两块。但对于这个月饼平均分成3份应该得到什么，依除法的意义，应该看作1÷3所得的商。可是这种除数大，被除数小的除法，如果运用以前的知识就成了解决不了的问题，于是“分数”这个新朋友就闪亮登场了，突出了数系扩张的本质。用分数的商的定义去解决案例1的问题，效果很好。如问题1可以这样解答：12÷5=（米），问题2可以这样解答：1÷5=，问题3可以这样解答：3÷12=。因此，分数的份数定义可作为教学起点，但是不宜过分强调，应该迅速向更熟悉的除法转移。

【案例2】在下面的直线上标出。

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很多学生将的点标在这条直线上的这个位置。很明显，学生把所对应的“单位1”的量弄错了，可能是学生在学习中感受到的整体的思维定势太强了，把近乎整条直线看作“单位1”。所以引导学生领悟“单位1”的含义至关重要。

首先，教学中要注重“单位1”的认识和扩展。在“单位1”的引入部分，由自然数1到“单位1”，对于学生来说，那需要一个过程。一支笔，一个人，可以用数字1来表示。很多支粉笔装成的一盒粉笔，很多个学生组成的一个班级也可以用1来表示。这里需要超越和突破。同样3个苹果能看作1吗？一旦把3个看作“单位1”，通常这时的6个苹果就不能再看作6了，该用哪个数字来表示呢？6个里面有2个这样的单位，只能是“2”了，9个苹果里有3个这样的单位，就是“3”。这个过程中3个苹果所构成的“1”其实已经成为一个计量单位，这样引出“单位1”的概念很自然。如果有一个苹果，应该怎样表示呢？这里可以发挥分数份数定义的作用，用来表示。这样就很好地沟通了分数与自然数之间的联系，并使学生在结构性框架中获得这样的认识：无论整数、分数其实都是以“单位1”作标准计量的结果；如果包含若干个单位“1”，则可以用整数来表示；如果不是整个单位“1”的，则可根据把单位“1”平均分的份数和表示的份数，用分数来表示。

其次，利用数线认识分数。是把一个“单位1”平均分成3份中的一份，但是这一份到底有多大呢？1除以3的商有多大？它一定比1小，却一定大于0。我们可以在数射线上的0和1之间的线段平均分成3份，距离0一份的位置的地方就是，就在0和1之间中间的一点，在0和之间再分一半的位置就是……这样一画，分数是新的数的特性就清楚地表现出来了，原来自然数离散地分布在数射线上，现在分数密密麻麻填写在数线上。在研究分数的本质意义时，张奠宙先生指出：“分数是相对于整体‘1而言的。在数线上0和1之间，标出相等的若干等份，乃是认识分数关键的一步，及早进行，十分重要。”数线是一个半抽象模型，它是“圆模型”和其他平面模型的“再抽象”，可以充当分数的“份数模型”向“除法的商”定义过渡的几何载体。这也是数轴的雏形，正确应用可为今后学习数轴打下基础。

从以上学生错例看来，数学课堂需要老师用数学学科知识的结构和思维引领课堂教学，深入挖掘新知识本质与学生的认知结构的切入点，采取有效措施，从源头上切断学生可能出现的问题，促进学生知识的顺利融合和吸纳。endprint

在数学学习中，学生的错误是普遍的和必然的。错误有时候是学生在学习中产生自己特有的概念与程式造成的，也与教师在教学活动中的引导有关。笔者以教学《分数的意义》时遇到的错题为例，且行且思，获得了一些感受与大家分享。

【案例1】把12米的绳子平均分成5段，每段是几分之几米？每段是总长的几分之几？3米是这段绳子的几分之几？

在分数的意义练习中经常出现这样的错误：（1）学生搞不清两类问题（求某个数量和求两者之间的关系）的不同。如把问题1做成1÷5=米。（2）两个数量比较的时候找不准比较的量。如把问题3做成3÷5=，问题出在哪里呢？经过分析研究，其实问题的根源在于我们教学时没有讲清楚分数的本质意义。教材中的定义为：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数。这样定义的好处是直观，明白易懂，强调了“平均分”，特别是对“几分之几”做了准确说明，对理解以后的分数运算也有重要的价值。但是用份数定义分数，也有一些问题。首先一份或几份的说法，没有超出自然数的范围，没有显示出这是一种新的数。其次，分数表示的是一个整体平均分之后，其中的一份或几份，选择的素材和呈现的情境局限在整体和部分单一的纬度上。另外从书本上的例题来看，分数意义的获得来源于分东西的活动，学生往往从切分的生活情景直接跳跃到纯粹的数学概念，没有经验支撑的抽象水平，学生个体接受数学概念的内在结构就会不稳定。那么分数的本质究竟是什么？有人认为其本质意义是它的无量纲性，其意义在于可以把事物许多不可比的状态变为可比的状态。但是我们不能忘了分数同时具有量纲性，即可以表示具体的数量。缺乏两者的比较，就会出现案例1中出现的问题。

分数的意义可以从自然数除法的推广中去理解。在低年级数学课上，6个月饼平均分成3份，得到有确定大小的两块。但对于这个月饼平均分成3份应该得到什么，依除法的意义，应该看作1÷3所得的商。可是这种除数大，被除数小的除法，如果运用以前的知识就成了解决不了的问题，于是“分数”这个新朋友就闪亮登场了，突出了数系扩张的本质。用分数的商的定义去解决案例1的问题，效果很好。如问题1可以这样解答：12÷5=（米），问题2可以这样解答：1÷5=，问题3可以这样解答：3÷12=。因此，分数的份数定义可作为教学起点，但是不宜过分强调，应该迅速向更熟悉的除法转移。

【案例2】在下面的直线上标出。

[0 1 2 3][]

很多学生将的点标在这条直线上的这个位置。很明显，学生把所对应的“单位1”的量弄错了，可能是学生在学习中感受到的整体的思维定势太强了，把近乎整条直线看作“单位1”。所以引导学生领悟“单位1”的含义至关重要。

首先，教学中要注重“单位1”的认识和扩展。在“单位1”的引入部分，由自然数1到“单位1”，对于学生来说，那需要一个过程。一支笔，一个人，可以用数字1来表示。很多支粉笔装成的一盒粉笔，很多个学生组成的一个班级也可以用1来表示。这里需要超越和突破。同样3个苹果能看作1吗？一旦把3个看作“单位1”，通常这时的6个苹果就不能再看作6了，该用哪个数字来表示呢？6个里面有2个这样的单位，只能是“2”了，9个苹果里有3个这样的单位，就是“3”。这个过程中3个苹果所构成的“1”其实已经成为一个计量单位，这样引出“单位1”的概念很自然。如果有一个苹果，应该怎样表示呢？这里可以发挥分数份数定义的作用，用来表示。这样就很好地沟通了分数与自然数之间的联系，并使学生在结构性框架中获得这样的认识：无论整数、分数其实都是以“单位1”作标准计量的结果；如果包含若干个单位“1”，则可以用整数来表示；如果不是整个单位“1”的，则可根据把单位“1”平均分的份数和表示的份数，用分数来表示。

其次，利用数线认识分数。是把一个“单位1”平均分成3份中的一份，但是这一份到底有多大呢？1除以3的商有多大？它一定比1小，却一定大于0。我们可以在数射线上的0和1之间的线段平均分成3份，距离0一份的位置的地方就是，就在0和1之间中间的一点，在0和之间再分一半的位置就是……这样一画，分数是新的数的特性就清楚地表现出来了，原来自然数离散地分布在数射线上，现在分数密密麻麻填写在数线上。在研究分数的本质意义时，张奠宙先生指出：“分数是相对于整体‘1而言的。在数线上0和1之间，标出相等的若干等份，乃是认识分数关键的一步，及早进行，十分重要。”数线是一个半抽象模型，它是“圆模型”和其他平面模型的“再抽象”，可以充当分数的“份数模型”向“除法的商”定义过渡的几何载体。这也是数轴的雏形，正确应用可为今后学习数轴打下基础。

从以上学生错例看来，数学课堂需要老师用数学学科知识的结构和思维引领课堂教学，深入挖掘新知识本质与学生的认知结构的切入点，采取有效措施，从源头上切断学生可能出现的问题，促进学生知识的顺利融合和吸纳。endprint