可以自圆其说

侯俊东

数学是一门严谨的学科，数学知识存在紧密的联系和内在的逻辑，因此数学教学也需要讲求科学性和逻辑性，不能出现诸如“前后不一”的尴尬现象，必须“自圆其说”。而对于个别教学内容，由于一些老师对其不甚了解，又缺乏钻研教材的意识，仅凭消极的教学态度，机械地套用一些现成的操作方法，结果出现了让学生甚至老师感到疑惑的缺乏科学性的教学问题，造成“让学生感到前后不一”的教学尴尬。

一、案例：“情有独衷”的尴尬

《一一间隔排列》是苏教版四年级上册的教学内容。从知识层面分析，一一间隔排列的物体有两种排列方式：线形排列和封闭排列，而线形排列又包括两端物体相同和两端物体不同两种类型，封闭排列也可以转化为两端物体不同的线形排列，所以教材主要以线形一一间隔排列为主，而且从两端物体相同这种情况展开教学。从教学方法分析，根据学生认识规律的一般过程，通常需要让学生根据一些数学现象抽象出数学模型，然后再根据数学模型去解决问题。而这节课教学的尴尬之处往往就出在模型的建立上。

在某次教学展示活动中，一位老师在帮助学生建立数学模型时，结合教材中主题图呈现的三组物体（木桩和篱笆、兔子和蘑菇、夹子和手帕），先让学生明确“像木桩、兔子和夹子这样在两端的物体叫两端物体，像篱笆、蘑菇、手帕这样在中间的物体叫中间物体”，发现“两端物体相同时，两端物体的数量-1=中间物体的数量，中间物体的数量+1=两端物体的数量”。这样教学本无可非议，可到了研究两端物体相同时，教师让学生思考“去掉一个两端物体，两端就相同了，为什么中间物体和两端物体的个数相同”，学生各抒己见，都能说出个大概，但有个学生答道：“去掉一个两端物体，就没有两端物体了，两端物体和中间物体就对应了，它们的个数相同了。”说者无心听者有意！一句“就没有两端物体了”，学生的意思是少了多出来的那个两端物体，但却引起了不少老师的关注。在课后研讨时，有人提出“去掉一个两端物体，两端物体就不同了，此时就不存在两端物体和中间物体之说”的置疑。

无独有偶。近期在某校一次教研活动中，可能没有适宜公开教学的内容，便又将四年级上册的这一教学内容提上来，用三年级的学生进行教学。整节课的大抵教学思路与上面的相仿，教师也提出了“为什么两端物体和中间物体的个数相同”，学生的回答也是惊人的类似。课后我主动跟执教者交流：“你知道，一一间隔排列第二种情况也就是两端不同时，还存在两端物体和中间物体吗？像你这样说，第一种情况中的中间物体也可以说成是两端物体了吗？”交流在最后，执教者虽然若有所悟，但却意外地挤出一句话：“很多教学都是这样设计的！”

“这就奇怪了，明明不科学，难道大家都这样教吗？”我有点惊讶。带着自己的疑惑，我翻阅了一些教学杂志，也在网络中搜索了不少教学案例，结果发现老师们对这样的说法和教法还真是“情有独衷”！所有的教学设计的主要环节和教学方式都一样，连规律的总结都大致相同：“两端物体的个数-1=中间物体的个数，中间物体的个数+1=两端物体的个数”，区别在于有的说是“两端相同”和“两端不同”，有的说是“首尾相同”和“首尾不同”。但都没有避免“中间物体”和“两端物体”这两个词，所以可以预见，老师们在教学中难以说清“什么是两端？什么是两端物体”等问题，也就难以避免无法自圆其说的教学尴尬。

二、思考：以合理彰显科学

为什么老师们总喜欢用这些课本中原本没有的术语来进行教学呢？其实，原因是显然的，就是为了方便总结一一间隔排列中两种物体数量的特征，为了帮助学生建立数学模型解决问题。姑且不论表述是否科学，“两端相同，两端物体的个数-1=中间物体的个数，中间物体的个数+1=两端物体的个数；两端不同，两端物体和中间物体个数相同”，这些就是师生总结出来的用文字表述的数学模型。但是如何避免个中概念混淆和缺乏科学性的教学缺憾呢？个人以为，作为数学教师，我们不但要了解编排内容，理解教材的编排意图，还要提高善于钻研教材和对创造性教学方式进行必要审视与辨别的能力，选择合理的教学方式和手段，让学生构建科学的知识体系。

数学模型是用数字、字母以及其他符号来体现和描述现实原型的各种因素、形式以及数量关系的一种数学结构。教学中，我们给学生提供丰富的教学资源，给学生创造运用数字、字母、图形等方式来感悟和表现数学现象或规律中的数学结构的机会，进而通过数学化的方式让学生深刻把握数学的本质。在《一一间隔排列》的教学中，帮助学生建立数学模型是必要的也是必须的。但是建立数学模型的方式是多样的，不必如上面案例中所描述的钟情于抽象的文字表述，也可以借助字母和图形进行数学建模，以“图形或字母”来代替“文字”。例如明确什么是一一间隔排列，出示主题图中的三组教学素材后，我们还可以补充两组“两端相同的一一间隔排列”的教学资源，让学生观察：“这种一一间隔排列有什么相同的地方？”有的学生发现“排列中的物体是一个挨着一个的”，有的学生发现“这些物体是依次出现的”，有的学生发现“这些物体是确定的”，也有的会发现 “这些排列第一个物体和最后一个物体相同”……引导学生感受：“像这样的例子有很多，我们能否用一种数学的方式来表示呢？”继而带领学生用大写字母A和B来替代这些数学现象中的具体的事物，抽象成“ABAB……ABA”并命名为“首尾相同”，再研究这种情况中A和B的个数关系“A的个数-1=B的个数，B的个数+1=A的个数”。在下面的学习中，学生轻而易举地用字母表示出“首尾不同”的类型“ABAB……AB”，得出“A和B的个数相同”。

用字母来替代上面的文字实施教学，首先，对于学生而言，与字母比较，文字更加抽象，所以这样操作，可以避免文字过于抽象和空洞的缺陷，结合实际问题的解决，用字母表示的一一间隔的两种类型表象会深深印在学生头脑里；其次，字母也是建构数学模型的素材，让学生从众多一一间隔排列现象中抽象出“ABAB……ABA”和“ABAB……AB”两种类型，也是帮助学生建构数学模型的过程，也是学生把握数学规律本质的过程；第三，这样的改变，避免了文字表述时不科学的地方，弥补了对文字表述概念时容易模糊、混淆的不足，学生的学习目更加清晰，教师的教学更加轻松。换言之，不必自圆其说的教学方式达成了自圆其说的教学要求。这般调整，可谓一举多得。