数形“相依”促发展

丁月芳

很多教师在《有余数的除法》的教学中经常设计这样的教学活动：有13个奖品（或者其他物品），每个小朋友分4个，能分给多少个小朋友？

先是学生动手操作，分“模拟”奖品来理解算理，然后利用“圈一圈”活动进一步理解算理，借助“形”来理解抽象的算式中每个数与运算符号的意义，建立“形”与有余数除法算式之间的联系，渗透数形结合思想，如下图。

从而得出：13÷4=3……1。

借助直观形象模型来理解抽象的数学概念以及抽象的数量关系是小学生学习数学的重要方法，可以说，上述教学活动对让学生理解除法，尤其是余数的意义非常重要。“分一分”与“圈一圈”是非常有价值的数学活动，但在上述活动中并没有渗透数学意义上的数形结合思想，它至多只能是数形结合方法的雏形。

【内涵】数形结合思想的内涵究竟是什么呢？带着这个问题，我认真学习了北京教育学院刘加霞教授《“数形结合”思想的内涵、发展及其在小学数学教学中的渗透》这篇文章，文中对数形结合思想的内涵作了全面而深刻的诠释。

数形结合一词正式出现，是在华罗庚先生于1964年1月撰写的《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》科普小册子中。“数无形时少直观，形少数时难入微”，形象生动、深刻地指明了数形结合思想的价值，也揭示了数形结合思想的本质。在这里，“数”主要指数、数量关系式、运算式、函数关系式、方程等；“形”则主要指几何图形与直角坐标系下的函数图像。理解抽象的数、数量关系与函数关系式不能脱离直观的图形与图像，同时对几何图形的认识与理解也不能离开从数量上刻画图形的大小、形状。“数形结合就是把数学问题中的运算、数量关系等与几何图形与图像结合起来进行思考，从而使“数”与“形”各展其长，优势互补，相辅相成，使逻辑思维与形象思维完美地统一起来。

【体会】基于以上对数形结合思想的认识，结合自己的教学实践，谈谈在小学数学课堂中渗透数形结合思想的体会。

《数学课程标准》（2011年版）明确提出：“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号思想、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。”为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还特别注重发展学生的应用意识和创新意识。所有这些能力的培养都离不开数学思想的支撑，而数形结合思想在小学数学课堂教学中尤为重要。

一、应用数形结合思想，有助于发展学生的数感

加强数感的培养是数与计算教学领域改革的一个重要理念。学生数感的建立需要一个逐步体验和发展的过程，小学阶段培养数感都是运用了数形结合，给学生提供丰富的学习素材，使学生在数学学习过程中形象感知数的实际意义，逐步形成良好的数感。

由于小学生对直尺非常熟悉，所以在学习中通常以直尺为原型，逐步经历从“数尺”到“数线”再到“数轴”的过程，把数与“数尺”“数线”“数轴”上的点一一对应起来，数可以视为点，点可以视为数，帮助学生理解数的意义、顺序和大小。

如，在教学“负数”之后，我在数轴上表示出正数和负数的排列顺序。

首先引导学生观察“0”在数轴上的特殊位置，以“0”为分界点，“0”的右边是正数，从左往右依次排列，越来越大；“0”的左边是负数，从右往左依次排列，越来越小。借助数轴形象感知数轴上的数从左往右的顺序就是从小到大的顺序，比“0”大的数是正数，比“0”小的数是负数，“0”既不是正数也不是负数，实现对数的结构的整体建构。

又如，在教学《求一个小数的近似数》时，为了突破教学难点“区别近似数1.5和1.50，理解保留的小数位数越多，求出的近似值越精确”，一位教师就出示了如下数轴：

由于数轴实现了数与形的联系，将数与直线上的点建立了对应关系，揭示了数与形的内在关系，从而使抽象的数有“形”可依。通过借助数轴对比，让学生直观感受近似数是1.5的两位小数在1.45～1.54之间，而近似数是1.50的三位小数在1.495～1.504之间，范围小了，所以1.50比1.5更精确。之后又追问：近似数是1.500的四位小数的范围呢？近似数是1.5000的呢？拓展思维，并渗透了极限思想，学生能感受到保留的小数位数越多，近似数的精确度越高。这样，本节课的教学难点就迎刃而解了。

可见，我们在研究抽象的“数”时，往往要借助于直观的“形”，利用数形结合方法能使“数”和“形”统一起来，丰富学生对数的形象感知，进一步发展学生的数感。

二、应用数形结合思想，有助于发展学生的运算能力

运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。有些算理比较抽象，学生理解起来有些困难，我们可以通过让学生在纸上涂一涂、画一画、分一分，或通过课件动态演示等方法，借助直观图形把抽象的算理具体化，复杂问题简单化，化难为易，形象地帮助学生理清算理，掌握计算方法，提高运算能力。

如六年级学生学习《分数乘分数》时，要记住分数乘分数的计算法则并不困难，但理解分数乘分数的计算算理有些难度，所以在教学《分数乘分数》一课时的导入环节，教师呈现了以下动态过程，借助图形语言来引导学生理解分数乘分数的意义，探索并掌握分数乘分数的计算方法。

首先创设了如下问题情境：

如果老师把一个 看作单位“1”，你能用一个式子表示下面的图意吗？

（1）动态出示：

得到：1×，引出：“求一个数的几分之几是多少，用乘法”。

（2）动态完善图形：

得到：×，引出：“求一个分数的几分之几是多少，也用乘法。”

（3）继续动态完善图形：

得到：×，再次指出：求一个数的几分之几是多少，可以用乘法计算。这个数可以是整数，也可以是分数，从而理解分数乘分数的意义。

接着以×为例，让学生自己折一折、数一数、涂一涂，亲自操作体验后，观察自己的涂色部分，使学生明白×就是把一个长方形平均分成2×4份，取其中的1份，从而推导出×=。在此基础上继续研究×的算理和算法，这样让学生亲身经历、体验数形结合的过程，脑中就会真正建立起数和形的联系，看到算式就联想到图形，看到图形能联想到算式，建立算理的探究、算法的构建，从而达到对算理的深层理解和对算法的正确掌握。

可见，在计算教学中，教师要适时引导学生借助直观图和操作学具等方法，帮助学生理清算理，正确掌握计算方法，做到“循理入法，以理驭法”。利用数形结合的方法，学生表象清晰，记忆深刻，对算理的理解透彻，既知其然又知其所以然。事实上，也是形象思维与抽象思维协同应用的一种过程，其教学效果显而易见。

三、应用数形结合思想，有助于发展学生的空间观念

空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。

小学数学中虽然没有学习函数，但还是慢慢地开始渗透函数思想。例如，在教学五年级下册《确定位置》一课时，教师设计了如下环节：

1.出示图一。

公园里的这两个景点画在方格纸上，你能试着用数对表示它们的位置吗？

这里有个大门，你知道它的位置吗？

师：（0，0）这个位置很重要，它表示这个图的起点，到中学我们继续研究。

2.出示图二。

师：这里还有几个景点，你能用数对表示它的位置吗？（引导学生说出把方格线延长。）

课件动态演示方格线延长，然后用数对表示各景点的位置。

重点引导：游乐场的位置（2，-1），表示第2列，第-1行。

小结：可别小看这一小小的负数，有了它的加盟，想一想，如果我们再往下一些，或者干脆到了左边，平面上任何一点，我们都可以用数对来确定它的位置。

以上教学设计从现实情景过渡到平面图形，再将平面图抽象为比较形象的直角坐标系，建立数对与平面上点之间的一一对应关系，是学生进一步理解数形结合思想的又一载体。在此过程中学生初步体验到，有了坐标系（参照点即原点、相互垂直的带有方向的两条直线、每条直线上规定单位长度）后，整个平面就结构化了，学生经历了方格线从无到有的延伸，从一般数对到负数数对的拓展。对于平面上任何一点的位置，我们都可以用一对有顺序的数来唯一地加以确定，“数”与“形”再一次结合，学生的空间观念得到进一步发展。

四、应用数形结合思想，有助于发展学生的数学思考

课程改革中特别强调对知识的过程性体验，即让学生亲身经历知识形成的过程。但如果这种经历缺乏数学思考的支撑，也就失去了本身的价值和意义。数学思考是学生经历一个观察、猜想、实验、判断、证明的思维过程，是用数学的方法去解决问题。数学思考不是指增加思考难度，而应是数学思考过程的增加，简单的问题中也能体现出数学思考的轨迹。数形结合就是把抽象难懂的数学语言、数量关系与直观形象的几何图形、位置关系结合起来，通过数形结合为学生提供恰当的形象材料，可以将抽象的数量关系具体化，把隐性的数学本质显性化。

本学期，在我校开展的导师工作室研讨活动中，我尝试把“正比例的意义”和图像结合起来组织教学，对教材进行了一次大胆的重组。正比例的概念比较抽象，如何让学生正确建构出正比例的模型，关键是要带领学生找到正比例最核心的本质，即“比值一定”。应用数形结合思想可以把抽象的数量关系与形象的直观坐标图联系起来，在“数”“形”互译中去理解正比例的本质，发展学生的数学思考。

数学知识的获得不是一蹴而就的，需要让学生经历知识的形成过程。在这个过程中，最重要的是激发学生不断深入地进行数学思考。

实践表明：学生在研究数学问题时，由数思形、见形思数、数形结合地考虑问题是一种常用的思想方法。数形结合不仅是一种数学思想，也是一种很好的教学方法，它反映了新的课程观渗透数形结合思想的必要性和可行性。由此，我们的教学应当给学生提供必要的数学思想和丰富的学习经历，只要这样，才能有利于发展学生的学习能力，促进学生的可持续发展。