外部动态激励作用下齿轮系统非线性动力学特性

李应刚，陈天宁，王小鹏，于坤鹏，周汉，张哲

（1.西安交通大学机械工程学院，710049，西安；2.西安交通大学机械结构强度与振动国家重点实验室，710049，西安）

目前，齿轮传动系统已被广泛应用于现代工业生产中，国内外学者对齿轮系统的振动、噪声及其动力稳定性开展了深入研究［1-2］。Kahraman等人利用数值分析方法和谐波平衡法，研究了内部动态激励作用下具有齿侧间隙的齿轮副系统的非线性动力学频响特性［3-4］。Padmanabhan等人采用参数延展技术和谐波平衡法，研究了具有参数激励和外激励共同作用的非线性振动系统的动态响应［5］。1997年，Kahraman等人对具有时变啮合刚度、齿侧间隙和外部激励的齿轮系统进行了实验研究，发现齿轮系统振动响应中存在大量的非线性现象［6］。文献［7-9］采用数值方法研究了内部动态激励作用下齿轮时变间隙非线性系统的分岔与混沌特性，但这些都是针对内部动态激励和外部名义载荷作用下齿轮副系统非线性动力学特性进行的研究，而忽略了外部动态激励的影响。Comparin等人利用数值分析方法和谐波平衡法，研究了外部动态激励作用下冲击副的非线性动力学特性，并在冲击副模型中忽略了时变刚度的影响［10］。张锁怀用A算符方法对扭矩激励作用下齿轮时变系统的动态特性进行求解［11］，模型中忽略了间隙非线性特性。Theodossiades等人采用分段多尺度法研究了外部动态激励作用下齿轮副非线性时变系统的稳态周期响应［12］，但分段多尺度法求解却丢失了系统的亚谐波响应及超谐波响应。

对于具有时变刚度和分段非线性系统，利用增量谐波平衡法（IHBM）可以求得任意阶的近似解。Lau提出了增量谐波平衡法，对分段线性机械系统的动态特性进行了研究［13］，使增量谐波平衡法被广泛应用于求解各类非线性动力学的问题［14-16］。本文采用增量谐波平衡法，对外部动态激励作用下齿轮副时变间隙非线性系统的动力学特性进行了研究，建立了齿轮副系统扭转振动模型。模型考虑了周期时变刚度、齿侧间隙、黏弹性阻尼以及外部动态激励等因素，利用增量谐波平衡法，给出了齿轮非线性时变系统的一般解形式，采用四阶变步长数值方法（Runge-Kutta）进行了验证，并根据增量谐波平衡法研究了系统参数对齿轮系统非线性动态特性的影响。

1 非线性动力学模型

如图1所示，模型中考虑了时变啮合刚度、齿侧间隙、黏弹性阻尼及外部动态激励等因素，忽略传动轴的横向和轴向弹性变形，以及支持系统的弹性变形。齿轮副扭转振动系统的运动微分方程为

图1 齿轮副系统的非线性动力学模型

式中：T1m为作用在主动齿轮上的外部名义力矩；T1a（t）为作用在主动齿轮上的外部动态力矩；T2m为作用在从动齿轮上的外部名义力矩；T2a（t）为作用在从动齿轮上的外部动态力矩。如果忽略负载扭矩波动和静传递误差的作用，式（1）、（2）可简化为

将时变啮合刚度进行Fourier展开至L阶，则有

式中：u（t）为齿轮系统的振动位移；L为阶数；me为等效质量；FmT为传递名义载荷；FaT为动态激励；f（u）为间隙非线性函数；km为平均刚度；ω为啮合频率；εl为反映刚度变化的参数。对式（4）进行归一化处理，得到

式中：x为归一化的振动位移；ωn为固有频率；¯t为归一化时间；ζ为阻尼比；Ω为归一化啮合频率。由此，式（4）可改写为

2 增量谐波平衡法求解

利用时间尺度τ=Ω¯t，将式（10）改写为

利用Newton-Raphson算法求解式（12）表示的分段线性差分系统，得到微分方程的解为

其中x0（τ）为式（12）的近似解，Δx（τ）为增量方程。设式（12）的N阶近似解为

式中：a0为基波幅值；an、bn为高次谐波幅值。增量方程为

将式（13）代入式（12）中进行泰勒级数展开，并略去高阶项得到

令

利用Galerkin过程，将式（16）方程左右两端同时乘以cos（iτ）、sin（iτ）（i=0，1，2，3，…，N），并在0～2π之间积分，得到关于Δa的2 N+1阶线性方程组

式中：C 为2 N+1阶 矩 阵；R 为2 N+1阶 列 向 量。式（17）即为应用增量谐波平衡法推导出的以Δa为未知量的非线性系统振动稳态周期响应的迭代计算公式。

3 齿轮系统非线性动态特性

系统参数［4，12］取L=3，N=11，ζ=0.024，Fm=0.25，Fa=0.075，ε1=0.03，ε2=0.02，ε3=0.01。应用增量谐波平衡法得到齿轮系统的频响特性曲线，采用四阶变步长Runge-Kutta法进行数值仿真验证（见图2），增量谐波平衡法的求解结果与数值仿真结果吻合得较好。在外部动态激励作用下，齿轮系统频响曲线不仅出现主共振，同时得到了超谐波响应（见图3），并且频响曲线存在多值解和跳跃非线性的特性。由图4可知，多值解和跳跃现象对应齿轮副系统的无冲击状态、单边冲击和双边冲击状态。

图2 齿轮副系统的频响特性曲线

图3 齿轮副系统的超谐波响应

4 参数分析

图4 Ω=0.6时齿轮副系统的稳态响应

由齿轮副系统非线性动力学模型可知，在外部动态激励作用下，齿轮系统的非线性振动响应的影响因素主要有周期时变刚度、齿侧间隙、激励幅值和阻尼比等。

4.1 时变刚度和间隙的影响

线性时变模型、非线性时不变模型及非线性时变模型的动态特性如图5所示。由非线性时不变模型与非线性时变模型的对比可知，时变刚度的存在使齿轮系统归结为参数振动范畴，引起系统参数共振。对比线性时变模型与非线性时变模型可知，间隙非线性的存在导致齿轮副系统出现多值解和幅值跳跃等非线性动力学特性。

图5 时变刚度与间隙对齿轮系统振动响应的影响

4.2 激励幅值的影响

如图6所示，对3种不同激励幅值条件下的系统频响特性曲线进行了对比分析。随着激励幅值的增大，齿轮副系统非线性动态特性如多值解及跳跃现象逐渐消失，齿轮系统在重载荷工况时，表现为线性振动特性。因此，增大激励幅值能够有效控制齿轮系统的非线性动态响应。

4.3 阻尼比的影响

在3种不同阻尼比条件下，对系统频响特性曲线进行了对比分析（见图7）。通过分析计算［17-18］，一般取ξ为0.02～0.17，随着ξ的增大，齿轮副系统的振动幅值明显降低，齿轮副系统非线性动态特性如多值解及跳跃现象逐渐消失。因此，增大系统ξ能够有效控制齿轮系统的非线性动态响应。

图6 激励幅值对齿轮系统振动响应的影响

图7 阻尼比对齿轮系统振动响应的影响

5 结 论

（1）本文根据增量谐波平衡法，研究了齿轮间隙非线性时变系统在外部动态激励作用下的非线性动力学特性，其求解结果与数值仿真结果吻合得较好。在外部动态激励作用下，齿轮副系统的频响曲线存在着多值解和跳跃非线性特性，并对应于齿轮副系统的无冲击状态、单边冲击状态和双边冲击状态。齿轮系统频响曲线不仅出现主共振，而且得到了超谐波响应。

（2）本文针对周期时变刚度、齿侧间隙、激励幅值和阻尼比对齿轮副系统动力学特性的影响进行了研究。研究结果表明，周期时变刚度的存在会引起参数共振，齿侧间隙的存在则导致齿轮副系统出现多值解和幅值跳跃等非线性动力学行为，而增大激励幅值和阻尼比能够有效地控制系统的非线性振动响应。

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